יהיה לכם קשה למצוא את קניגסברג בכל מפה מודרנית בה תעיינו,
אבל מאפיין אחד מוזר בגיאוגרפיה שלה
הפך אותה לאחת הערים המפורסמות ביותר בתחום המתמטיקה.
העיר הגרמנית מימי הביניים שוכנת על שתי גדות נהר פרגל.
במרכזו היו שני איים גדולים.
שני האיים היו מחוברים ביניהם וכן מחוברים לגדות הנהר
על ידי שבעה גשרים.
קארל גוטליב אהלר, מתמטיקאי שהפך מאוחר יותר לראש העיר של עיירה סמוכה,
היה אובססיבי לגבי האיים והגשרים הללו.
הוא תמיד חזר להתחבט באותה שאלה:
איזה מסלול יאפשר חצייה של כל שבעת הגשרים
מבלי לחצות אף אחד מהם פעמיים?
חישבו על כך לרגע.
7
6
5
4
3
2
1
ויתרתם?
כדאי שתוותרו.
זה בלתי אפשרי.
אבל הניסיון להוכיח זאת הוביל את המתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר
לגילוי תחום חדש במתמטיקה.
קארל פנה בכתב לאוילר בבקשת עזרה עם הבעיה.
אוילר טען בתחילה שלבעיה אין בכלל קשר למתמטיקה,
אבל ככל שהוסיף להתחבט בבעיה,
כך הלך והתבהר לו שאולי קשר שכזה אכן קיים.
הפתרון שהגיע אליו התבסס על תחום בגיאומטריה
שלא היה קיים אז, תחום שהוא כינה בשם גיאומטריה של מיקום,
או בשמו הנוכחי תאוריית הגרפים.
האבחנה הראשונה אליה הגיע אוילר
היא שהמסלול המסויים שבו נבחר להכנס ולצאת מאי או מגדה
הינו חסר כל חשיבות.
לכן, ניתן לפשט את המפה לכזו שבה כל אחת מארבע היבשות
מיוצגת על ידי נקודה בודדה,
לה אנו קוראים כיום בשם צומת,
עם קווים או קשתות המקשרות בינהם ומייצגות את הגשרים.
וגרף פשוט זה, מאפשר לנו לספור בקלות את הדרגה של כל צומת,
שמשמעה מספר הגשרים המחוברים לכל יבשה.
למה הדרגה חשובה?
ובכן, לפי חוקי המשחק,
ברגע שנוסע מגיע ליבשה דרך אחד הגשרים,
הוא יאלץ לעזוב אותה דרך גשר אחר.
במילים אחרות, הגשרים הנכנסים ויוצאים מכל צומת בכל מסלול שהוא
חייבים להתקיים בזוגות,
כלומר, מספר הגשרים המחוברים לכל יבשה בה מבקרים
חייב להיות זוגי.
החריגה היחידה מתנאי זה קשורה במיקום צומת ההתחלה
וצומת הסיום של המסלול.
במבט על הגרף, ניתן לראות שלכל הצמתים יש דרגה אי זוגית.
אז לא חשוב באיזה מסלול בוחרים,
בשלב כלשהו, נאלץ לחצות את אותו גשר פעמיים.
אוילר השתמש בהוכחה זו לניסוח תורה שלמה
שתקפה עבור כל גרף שהוא בעל שני צמתים או יותר.
מסלול אוילר שמבקר בכל קשת של גרף פעם אחת בדיוק
קיים עבור שני מצבים בלבד.
במצב הראשון ישנם בדיוק שני צמתים מדרגה אי זוגית,
וכל שאר הצמתים הם זוגיים.
במצב זה, נקודת ההתחלה היא באחד הצמתים האי זוגיים,
ונקודת הסוף היא בשנייה.
במצב השני כל הצמתים הם בעלי דרגה זוגית.
במצב זה, מסלול אוילר יתחיל ויסתיים באותה נקודה,
לכן הוא קרוי לעיתים בשם מעגל אוילר.
אז איך ניתן ליצור מסלול אוילר בקניגסברג?
פשוט.
הסירו גשר אקראי אחד בלבד.
והסתבר, שההיסטוריה יצרה מסלול אוילר משלה.
בזמן מלחמת העולם השנייה, חיל האויר הסובייטי הרס שניים מגשרי העיר,
ובעשותו כך סלל את הדרך לקיום מסלול אוילר.
אולם אם להיות כנים, זה ודאי לא נעשה בכוונה תחילה.
ההפצצות האלו למעשה, מחקו את קניגסברג מהמפה,
וזאת נבנתה לאחר מכן כעיר הרוסייה קלינינגרד.
אז למרות שקניגסברג ושבעת גשריה כבר אינם קיימים
הם יחרטו בדפי ההיסטוריה בשל החידה הפשוטה למראה
שהובילה לגילוי תחום חדש לגמרי במתמטיקה.