1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
יהיה לכם קשה למצוא את קניגסברג
בכל מפה מודרנית בה תעיינו,

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
אבל מאפיין אחד מוזר בגיאוגרפיה שלה

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
הפך אותה לאחת הערים 
המפורסמות ביותר בתחום המתמטיקה.

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
העיר הגרמנית מימי הביניים
שוכנת על שתי גדות נהר פרגל.

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
במרכזו היו שני איים גדולים.

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
שני האיים היו מחוברים ביניהם
וכן מחוברים לגדות הנהר

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
על ידי שבעה גשרים.

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
קארל גוטליב אהלר, מתמטיקאי שהפך
מאוחר יותר לראש העיר של עיירה סמוכה,

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
היה אובססיבי לגבי האיים והגשרים הללו.

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
הוא תמיד חזר להתחבט באותה שאלה:

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
איזה מסלול יאפשר 
חצייה של כל שבעת הגשרים

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
מבלי לחצות אף אחד מהם פעמיים?

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
חישבו על כך לרגע.

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
7

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
6

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
5

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
4

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
3

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
2

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
1

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
ויתרתם?

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
כדאי שתוותרו.

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
זה בלתי אפשרי.

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
אבל הניסיון להוכיח זאת הוביל 
את המתמטיקאי המפורסם לאונרד אוילר

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
לגילוי תחום חדש במתמטיקה.

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
קארל פנה בכתב לאוילר 
בבקשת עזרה עם הבעיה.

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
אוילר טען בתחילה שלבעיה
אין בכלל קשר למתמטיקה,

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
אבל ככל שהוסיף להתחבט בבעיה,

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
כך הלך והתבהר לו
שאולי קשר שכזה אכן קיים.

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
הפתרון שהגיע אליו
התבסס על תחום בגיאומטריה

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
שלא היה קיים אז,
תחום שהוא כינה בשם גיאומטריה של מיקום,

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
או בשמו הנוכחי תאוריית הגרפים.

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
האבחנה הראשונה אליה הגיע אוילר

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
היא שהמסלול המסויים שבו נבחר 
להכנס ולצאת מאי או מגדה

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
הינו חסר כל חשיבות.

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
לכן, ניתן לפשט את המפה
לכזו שבה כל אחת מארבע היבשות

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
מיוצגת על ידי נקודה בודדה,

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
לה אנו קוראים כיום בשם צומת,

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
עם קווים או קשתות המקשרות בינהם
ומייצגות את הגשרים.

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
וגרף פשוט זה, מאפשר לנו לספור בקלות
את הדרגה של כל צומת,

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
שמשמעה מספר הגשרים המחוברים לכל יבשה.

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
למה הדרגה חשובה?

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
ובכן, לפי חוקי המשחק,

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
ברגע שנוסע מגיע ליבשה דרך אחד הגשרים,

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
הוא יאלץ לעזוב אותה דרך גשר אחר.

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
במילים אחרות, הגשרים הנכנסים ויוצאים 
מכל צומת בכל מסלול שהוא

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
חייבים להתקיים בזוגות,

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
כלומר, מספר הגשרים המחוברים 
לכל יבשה בה מבקרים

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
חייב להיות זוגי.

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
החריגה היחידה מתנאי זה קשורה
במיקום צומת ההתחלה

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
וצומת הסיום של המסלול.

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
במבט על הגרף, ניתן לראות
שלכל הצמתים יש דרגה אי זוגית.

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
אז לא חשוב באיזה מסלול בוחרים,

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
בשלב כלשהו, נאלץ לחצות
את אותו גשר פעמיים.

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
אוילר השתמש בהוכחה זו 
לניסוח תורה שלמה

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
שתקפה עבור כל גרף שהוא
בעל שני צמתים או יותר.

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
מסלול אוילר שמבקר בכל קשת
של גרף פעם אחת בדיוק

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
קיים עבור שני מצבים בלבד.

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
במצב הראשון ישנם בדיוק 
שני צמתים מדרגה אי זוגית,

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
וכל שאר הצמתים הם זוגיים.

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
במצב זה, נקודת ההתחלה היא
באחד הצמתים האי זוגיים,

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
ונקודת הסוף היא בשנייה.

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
במצב השני כל הצמתים 
הם בעלי דרגה זוגית.

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
במצב זה, מסלול אוילר
יתחיל ויסתיים באותה נקודה,

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
לכן הוא קרוי לעיתים בשם מעגל אוילר.

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
אז איך ניתן ליצור 
מסלול אוילר בקניגסברג?

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
פשוט.

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
הסירו גשר אקראי אחד בלבד.

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
והסתבר, שההיסטוריה
יצרה מסלול אוילר משלה.

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
בזמן מלחמת העולם השנייה,
חיל האויר הסובייטי הרס שניים מגשרי העיר,

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
ובעשותו כך סלל את הדרך
לקיום מסלול אוילר.

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
אולם אם להיות כנים, זה ודאי 
לא נעשה בכוונה תחילה.

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
ההפצצות האלו למעשה,
מחקו את קניגסברג מהמפה,

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
וזאת נבנתה לאחר מכן
כעיר הרוסייה קלינינגרד.

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
אז למרות שקניגסברג ושבעת גשריה
כבר אינם קיימים

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
הם יחרטו בדפי ההיסטוריה
בשל החידה הפשוטה למראה

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
שהובילה לגילוי 
תחום חדש לגמרי במתמטיקה.