0:00:09.036,0:00:13.976
Vous aurez beaucoup de mal à trouver[br]Königsberg sur une carte moderne

0:00:13.976,0:00:17.415
mais une particularité géographique

0:00:17.415,0:00:22.135
a fait d'elle l'une des villes[br]les plus célèbres des mathématiques.

0:00:22.135,0:00:26.214
Cette ville médiévale allemande[br]était traversée par la rivière Pregel.

0:00:26.214,0:00:28.875
En son centre, il y avait[br]deux grandes îles.

0:00:28.875,0:00:33.124
Ces deux îles étaient reliées [br]entre elles et aux berges

0:00:33.124,0:00:35.884
par sept ponts.

0:00:35.884,0:00:41.256
Carl Gottlieb Ehler, un mathématicien[br]devenu ensuite maire d'une ville proche,

0:00:41.256,0:00:44.395
en fit son idée fixe.

0:00:44.395,0:00:47.205
Il en revenait toujours[br]à la même question :

0:00:47.205,0:00:51.095
quel trajet permettrait à quelqu'un[br]de traverser l'ensemble des sept ponts

0:00:51.095,0:00:55.136
en ne les franchissant chacun[br]qu'une seule fois ?

0:00:55.136,0:00:56.726
Réfléchissez-y un instant.

0:00:56.726,0:00:57.686
7

0:00:57.686,0:00:58.707
6

0:00:58.707,0:00:59.746
5

0:00:59.746,0:01:00.687
4

0:01:00.687,0:01:01.726
3

0:01:01.726,0:01:02.806
2

0:01:02.806,0:01:03.906
1

0:01:03.906,0:01:05.016
Vous jetez l'éponge ?

0:01:05.016,0:01:06.168
Vous devriez.

0:01:06.168,0:01:07.353
C'est impossible.

0:01:07.353,0:01:12.468
En tentant d'expliquer pourquoi,[br]le célèbre mathématicien Leonhard Euler

0:01:12.468,0:01:15.937
inventa une nouvelle branche[br]des mathématiques.

0:01:15.937,0:01:18.648
Carl écrivit à Euler[br]pour lui demander son aide.

0:01:18.648,0:01:19.767
Dans un premier temps,

0:01:19.767,0:01:23.237
Euler écarta le problème,[br]qui ne concernait pas les maths.

0:01:23.237,0:01:25.136
Mais plus il s'interrogeait,

0:01:25.136,0:01:28.977
plus il lui semblait que finalement,[br]il y avait là quelquechose.

0:01:28.977,0:01:32.906
Il trouva la réponse[br]grâce à une branche de la géométrie

0:01:32.906,0:01:38.258
qui n'existait pas encore[br]et qu'il nomma Géométrie de position,

0:01:38.258,0:01:41.897
désormais connue comme[br]la Théorie des graphes.

0:01:41.897,0:01:43.443
La première idée d'Euler

0:01:43.443,0:01:48.507
était que le trajet emprunté pour entrer[br]sur une île ou une berge et la quitter

0:01:48.507,0:01:50.578
n'avait pas vraiment d'importance.

0:01:50.578,0:01:54.427
Donc, la carte pouvait être simplifiée[br]en représentant les quatre zones de terre

0:01:54.427,0:01:56.627
[br]par un simple point,

0:01:56.627,0:01:59.297
que nous appellerons nœud,

0:01:59.297,0:02:04.198
reliés par des lignes ou des arcs[br]représentant les ponts.

0:02:04.198,0:02:09.499
Ce graphe simplifié nous permet de compter[br]facilement les degrés de chaque nœud.

0:02:09.499,0:02:12.909
C'est-à-dire le nombre de ponts[br]partant de chaque rive.

0:02:12.909,0:02:14.868
Pourquoi les degrés sont-ils importants ?

0:02:14.868,0:02:16.828
Selon les règles du défi,

0:02:16.828,0:02:20.678
une fois arrivé sur la terre par un pont,

0:02:20.678,0:02:23.800
le voyageur doit en repartir[br]par un autre pont.

0:02:23.800,0:02:28.168
Autrement dit, les ponts menant[br]d'un nœud à un autre

0:02:28.168,0:02:30.587
doivent, pour chaque parcours,[br]aller par paire,

0:02:30.587,0:02:34.239
ce qui signifie que le nombre de ponts[br]menant aux différentes berges visitées

0:02:34.239,0:02:36.338
doit être pair.

0:02:36.338,0:02:40.029
Les seules exceptions possibles[br]seraient le point de départ

0:02:40.029,0:02:41.917
et d'arrivée du trajet.

0:02:41.917,0:02:47.028
Sur le graphe, on voit que[br]les quatre nœuds ont un degré impair.

0:02:47.028,0:02:49.187
Du coup, peu importe le trajet choisi,

0:02:49.187,0:02:54.070
à un moment ou à un autre, l'un des ponts[br]devra être traversé deux fois.

0:02:54.070,0:02:57.709
Euler mit cette preuve à profit[br]pour formuler une théorie générale

0:02:57.709,0:03:01.721
s'appliquant à tous les graphes[br]comportant au moins deux nœuds.

0:03:01.721,0:03:05.790
Un chemin eulérien ne passant[br]qu'une fois par chaque sommet

0:03:05.790,0:03:09.159
n'est possible[br]que dans un cas sur deux.

0:03:09.159,0:03:13.769
Dans le premier, il y a exactement[br]deux nœuds de degré impair,

0:03:13.769,0:03:16.310
tous les autres étant donc pairs.

0:03:16.310,0:03:19.659
Dans ce cas là, le point de départ[br]est l'un des nœuds impairs

0:03:19.659,0:03:22.200
et l'autre, le point d'arrivée.

0:03:22.200,0:03:26.091
Dans le deuxième cas, tous les nœuds[br]sont de degré pair.

0:03:26.091,0:03:30.961
Le chemin eulérien commence[br]et s'achève alors au même point ;

0:03:30.961,0:03:34.768
de fait, on le nomme également[br]cycle eulérien.

0:03:34.768,0:03:37.917
Du coup, comment créer[br]un chemin eulérien à Königsberg ?

0:03:38.180,0:03:39.202
C'est simple.

0:03:39.202,0:03:41.402
Il suffit de supprimer l'un des ponts.

0:03:41.402,0:03:45.810
Et il s'avère que l'Histoire[br]en a elle-même créé un.

0:03:45.810,0:03:49.038
Pendant la seconde guerre mondiale,[br]les forces aériennes soviétiques

0:03:49.038,0:03:53.568
ont détruit deux des ponts de la ville,[br]ouvrant la voie à un chemin eulérien.

0:03:53.568,0:03:57.261
Mais, pour être honnête, ce n'était[br]sans doute pas intentionnel.

0:03:57.261,0:04:00.781
Ces bombardement ont pratiquement[br]rayé Königsberg de la carte.

0:04:00.781,0:04:04.910
Elle fut ensuite reconstruite pour devenir[br]la ville russe de Kaliningrad.

0:04:04.910,0:04:09.083
Königsberg et ses sept ponts[br]ne sont peut-être plus aujourd'hui,

0:04:09.083,0:04:13.361
mais ils resteront dans l'Histoire[br]comme l'énigme en apparence triviale

0:04:13.361,0:04:17.662
à l'origine d'une branche complètement[br]nouvelle des mathématiques.