Lo pasarás mal si buscas Köningsberg en un mapa moderno.
Pero un rasgo particular de su geografía
la hizo una de las ciudades más famosas en matemáticas.
Esta ciudad alemana medieval descansaba en ambos lados del río Pregel.
En el centro tenía dos grandes islas.
Ambas estaban conectadas entre sí y hacia las orillas del río
por siete puentes.
Carl Gottlieb Ehler, matemático devenido en alcalde de un pueblo cercano,
se obsesionó con esas islas y puentes.
Seguía repitiéndose una sola pregunta:
¿Qué ruta le permitiría a alguien cruzar los siete puentes
atravesando cada uno una sola vez?
Piénsalo por un momento.
7
6
5
4
3
2
1
¿Te rindes?
Deberías.
Es imposible.
Al intentar explicar por qué el célebre matemático Leonhard Euler
creó un nuevo campo en las matemáticas.
Carl le escribió a Euler pidiendo ayuda con el problema.
Euler primero ignoró la pregunta al no tener nada que ver con las matemáticas.
Pero entre más enfrentaba el problema
más le parecía que podría haber algo allí después de todo.
La respuesta con la que lo resolvió tenía que ver con un tipo de geometría
que no existía aún, la llamó la Geometría de la Posición,
ahora conocida como Teoría de Grafos.
La primera percepción de Euler
fue que el camino que se tomaba para entrar a una isla y salir de ella
no importaba realmente.
Así, el mapa podía ser simplificado con cada una de las 4 masas de tierra
representadas con un punto,
es lo que ahora llamamos nodo,
y líneas, o arcos, entre ellos para representar los puentes.
Este grafo simplificado nos permite fácilmente contar el grado de cada nodo.
O sea la cantidad de puentes que toca cada masa de tierra.
¿Por qué importan los grados?
Bien, según las reglas del desafío,
una vez que los viajeros lleguen a tierra por un puente,
tendrán que salir de la misma por otro puente.
O sea, los puentes que conducen desde y hacia cada nodo en cualquier ruta
deben pasar en distintos pares,
es decir que la cantidad de puentes que toca cada masa de tierra visitada
debe ser par.
Las únicas posibles excepciones podrían ser al principio
y al final del paseo.
Viendo el grafo, se observa que los cuatro nodos tienen grados impares.
Así que en cualquier camino que se tome,
en un punto, habrá que cruzar un puente dos veces.
Euler usó esta prueba para formular una teoría general
que se aplica a todos los grafos que dos o más nodos.
Un camino euleriano que visita cada arco solo una vez
solo es posible en uno de dos escenarios.
El primero es cuando hay exactamente dos nodos de grado impar
lo que significa que los demás son pares.
Así, el punto de partida es uno de los nodos impares,
y el punto de llegada es el otro.
El segundo escenario es cuando todos los nodos son de grado par.
Entonces, el camino euleriano empezará y terminará en el mismo lugar,
lo que crea algo conocido como ciclo euleriano.
Entonces ¿cómo crearías un camino euleriano en Königsberg?
Es muy simple.
Solo quitamos cualquier puente.
Resulta que la historia creó un camino euleriano por sí misma.
En la 2da Guerra Mundial, los soviéticos destruyeron dos puentes de la ciudad,
haciendo posible un camino euleriano.
Aunque, para ser justos, esa no era probablemente su intención.
Estos bombardeos casi borraron Königsberg del mapa,
y luego fue reconstruida como la ciudad rusa de Kaliningrado.
Aunque Königsberg y sus siete puentes ya no estén con nosotros,
serán recordados en la historia por el acertijo aparentemente trivial
que llevo a la creación de un campo totalmente nuevo en las matemáticas.