WEBVTT

00:00:00.505 --> 00:00:05.512
Máme za úkol nakreslit graf funkce
y = log x o základu 5.

00:00:05.512 --> 00:00:07.767
Pro připomenutí, co to vlastně znamená.

00:00:07.767 --> 00:00:13.201
y je rovno exponentu, kterým musím
umocnit 5, abych dostal x.

00:00:13.201 --> 00:00:17.726
Nebo pokud bych napsal tuto logaritmickou
rovnici jako exponencionální rovnici,

00:00:17.726 --> 00:00:23.513
5 je můj základ, 'y' je exponent,
kterým musím umocnit základ

00:00:23.513 --> 00:00:28.330
a 'x' je potom výsledek, který dostanu
když umocním 5 na y.

00:00:28.330 --> 00:00:40.596
Jiný způsob zápisu rovnice by tedy byl
'5 na y' se rovná x.

00:00:40.596 --> 00:00:43.034
Je to vlastně to stejné…

00:00:43.034 --> 00:00:48.513
Zde máme 'y' jako funkci o neznámé 'x' a
tady zase 'x' jako funkci o neznámé 'y'.

00:00:48.513 --> 00:00:51.028
Ale ve skutečnosti nám obě 
dávají stejnou informaci:

00:00:51.028 --> 00:00:53.504
"Umocnit 5 na 'y', abych dostal x".

00:00:53.504 --> 00:00:55.490
Vyjádřeno jako logaritmus:

00:00:55.490 --> 00:00:57.871
"Čím umocnit 5, abych dostal 'x' ?

00:00:57.871 --> 00:00:59.460
Musím to umocnit na y.

00:00:59.460 --> 00:01:03.737
Tady, co dostanu, když umocním 5 na 'y' ?
Dostanu x.

00:01:03.737 --> 00:01:04.704
Můžeme přejít dál.

00:01:04.704 --> 00:01:07.105
Pojďme si nakreslit malou tabulku,

00:01:07.105 --> 00:01:08.705
do které zaneseme některé body,

00:01:08.705 --> 00:01:11.701
tyto body propojíme a uvidíme,
jak vypadá tato křivka.

00:01:11.701 --> 00:01:18.661
Nyní si zvolíme nějaké body 'x' a 'y'.

00:01:18.661 --> 00:01:20.238
Obecně vybíráme taková čísla,

00:01:20.238 --> 00:01:22.657
které nám dají zaoukrouhlený výsledek.

00:01:22.657 --> 00:01:26.321
Nejlépe nějaká, pro nás, jednoduchá čísla,
se kterými se umíme vypořádat

00:01:26.321 --> 00:01:27.682
bez použití kalkulačky.

00:01:27.682 --> 00:01:31.833
Obecně tedy vybíráme hodnoty 'x' tak,

00:01:31.833 --> 00:01:38.132
že když umocníme 5 vcelku jednoduchým
číslem, dostaneme hodnotu x.

00:01:38.132 --> 00:01:41.838
Ještě jinak. 
Zkuste vzít pouze hodnoty y,

00:01:41.838 --> 00:01:46.273
na které chcete umocňovat 5
a to vám dá hodnotu x.

00:01:46.409 --> 00:01:52.398
Mohli bychom si myslet, že mohou stačit
skutečné hodnoty x.

00:01:52.398 --> 00:01:56.528
Ale chceme si být jisti,
že když to takto vyjádříme,

00:01:56.528 --> 00:02:00.612
tak nezávislá proměnná je x a závislá y.

00:02:00.612 --> 00:02:09.632
Shrnuto, vybíráte takové hodnoty x,
které dají hezké výsledky pro y.

00:02:09.632 --> 00:02:12.784
Jak to uděláme. Vyplním napřed hodnoty y,

00:02:12.784 --> 00:02:14.980
abyste dostali jasný výsledek x.

00:02:14.980 --> 00:02:20.482
Řekněme, že umocníme 5 na…
Vyberu jiné barvy…

00:02:20.482 --> 00:02:25.526
Umocníme 5 na -2…
Přidám ještě další barvy…

00:02:25.526 --> 00:02:33.472
Na -1, 0, 1 a ještě jedno, třeba 2.

00:02:33.472 --> 00:02:36.678
Tak ještě jednou,
je to trochu netypické,

00:02:36.678 --> 00:02:38.763
že napřed vyplňuji závislou proměnnou,

00:02:38.763 --> 00:02:40.703
ale způsob, kterým jsme to zde zapsali…

00:02:40.703 --> 00:02:45.017
Když máme danou závislou proměnnou, je pak
lehké najít nezávislou proměnnou

00:02:45.017 --> 00:02:47.107
pro tuto logaritmickou funkci.

00:02:47.107 --> 00:02:50.313
Jaké x mi dá y rovno -2?

00:02:50.313 --> 00:02:55.519
Jaká musí být hodnota x,
aby se y rovnalo -2?

00:02:55.519 --> 00:02:59.700
5 na -2 se bude rovnat x,

00:02:59.700 --> 00:03:06.587
takže 5 na -2 je 1/25, takže 
dostaneme 1/25.

00:03:06.587 --> 00:03:08.740
Jiný způsob, pokud se vrátíme o krok zpět,

00:03:08.740 --> 00:03:13.126
pokud máme logaritmus 1/25 o základě 5?

00:03:13.126 --> 00:03:16.721
Jakým exponentem musím umocnit 5,
abych dostal 1/25?

00:03:16.821 --> 00:03:19.831
Musím to umocnit -2.

00:03:19.831 --> 00:03:24.178
Nebo můžete říct, že 5 na -2
se rovná 1/25.

00:03:24.178 --> 00:03:27.720
Oba případy vyjadřují přesně to stejné.

00:03:27.720 --> 00:03:30.090
Pojďme zkusit další příklad.

00:03:30.090 --> 00:03:32.371
Co se stane, když umocním 5 na -1?

00:03:32.371 --> 00:03:35.363
Dostanu 1/5.

00:03:35.363 --> 00:03:44.148
Pro ten původní tady, říkáme, 
že logaritmus 1/5 o základě 5.

00:03:44.148 --> 00:03:48.276
Toto říká: "Jakým číslem musím umocnit 5,
abych dostal 1/5?"

00:03:48.276 --> 00:03:52.137
Musím to umocnit -1.

00:03:52.137 --> 00:03:57.284
Co se stane tady, když umocním 5 na 0?
Dostanu 1.

00:03:57.284 --> 00:04:02.606
A tedy tento vztah nám říká to stejné, 
co logaritmus 1 o základě 5.

00:04:02.606 --> 00:04:05.581
Jakým číslem musím umocnit 5,
abych získal 1?

00:04:05.581 --> 00:04:08.572
Musím to pouze umocnit nulou.

00:04:08.572 --> 00:04:13.437
Udělejme další dvě… 
Co se stane, když umocním 5 na 1?

00:04:13.437 --> 00:04:15.209
Dostanu 5.

00:04:15.209 --> 00:04:20.324
Když se podíváme sem, říká to
na co musím umocnit 5, abych dostal 5?

00:04:20.324 --> 00:04:23.701
Musím to umocnit číslem 1.

00:04:23.701 --> 00:04:28.726
A nakonec, když vezmeme 5 na druhou,
dostaneme 25.

00:04:28.726 --> 00:04:31.837
Pokud si na to podíváme z pohledu
logaritmů, říkáme:

00:04:31.837 --> 00:04:35.489
"Jakou mocninou musím umocnit 5,
abych dostal 25?"

00:04:35.489 --> 00:04:38.239
Musím to umocnit na druhou.

00:04:38.239 --> 00:04:43.438
V podstatě jsem vzal inverzní funkci
k logaritmické, tedy exponenciální.

00:04:43.438 --> 00:04:46.401
Prohodil jsem závislou
a nezávislou proměnnou.

00:04:46.401 --> 00:04:51.556
Tak abych mohl zvolit nebo odvodit
pěkná x, která mi dají pěkná y.

00:04:51.556 --> 00:04:54.212
Teď už to máme hotové,
ale chci připomenout.

00:04:54.212 --> 00:04:57.753
Mohl jsem si vybrat z náhodných čísel,

00:04:57.753 --> 00:05:01.332
ale dostal bych tu asi méně hezká čísla,
takže bych musel použít kalkulačku.

00:05:01.332 --> 00:05:04.972
Jediný důvod, proč jsem to udělal takto, 
je ten, abych dostal hezké výsledky,

00:05:04.972 --> 00:05:06.292
které mohu zakreslit ručně.

00:05:06.292 --> 00:05:10.892
Pojďme to zanést do grafu.

00:05:10.892 --> 00:05:13.703
Hodnoty y leží mezi -2 a 2,

00:05:13.703 --> 00:05:18.038
hodnoty x začínají na 1/25 a končí
až na 25.

00:05:18.038 --> 00:05:20.903
Pojďme to zakreslit.

00:05:20.903 --> 00:05:29.997
Tohle je osa y a tohle je osa x.

00:05:29.997 --> 00:05:34.523
Nakreslím to tedy takto,
toto je moje osa x.

00:05:34.523 --> 00:05:42.326
Potom y, začnete v 0 a pak 1, 2…

00:05:42.326 --> 00:05:49.608
A pak máte -1, -2 a pak na ose x
je vše kladné.

00:05:49.608 --> 00:05:53.920
Zamyslete se nad definičním oborem 
této funkce…

00:05:53.920 --> 00:06:02.864
Můžeme o tom popřemýšlet, je logaritmická
funkce definovaná pro záporné x?

00:06:02.864 --> 00:06:07.503
Je nějaký exponent, kterým bych umocnil 5,
abych dostal výsledek 0?

00:06:07.503 --> 00:06:12.906
Ne. Můžete umocnit 5 na minus nekonečno
a získáte velice nízké číslo

00:06:12.906 --> 00:06:15.333
blížící se 0, ale nikdy nedostanete…

00:06:15.333 --> 00:06:18.422
Neexistuje exponent, kterým se dá
umocnit 5 a získat výsledek 0.

00:06:18.422 --> 00:06:21.504
Hodnota x nemůže být 0. 
Není exponent, kterým byste umocnili 5

00:06:21.504 --> 00:06:26.134
a získali záporné číslo.
x tedy také nemůže být záporné.

00:06:26.134 --> 00:06:27.850
Definiční obor této funkce je potom…

00:06:27.850 --> 00:06:31.567
A je to pro nás relevantní, jelikož chceme
vědět, co vlastně kreslíme do grafu…

00:06:31.567 --> 00:06:33.708
Definiční obor je x je větší než 0.

00:06:33.708 --> 00:06:35.251
Napíšu to.

00:06:35.251 --> 00:06:40.087
Definiční obor tady nám říká,
že x musí být větší než 0.

00:06:40.087 --> 00:06:45.079
Budeme moci zakreslit tuto funkci
na kladné části osy x.

00:06:45.079 --> 00:06:48.176
Toto máme hotové.
x nabývá hodnoty až 25,

00:06:48.176 --> 00:06:57.230
takže tady nakreslím ty body, 
to máme 5, 10, 15, 20 a 25.

00:06:57.230 --> 00:06:58.990
A pojďme to spojit.

00:06:58.990 --> 00:07:02.656
První je modře a 'x' je 1/25 a 'y' je -2.

00:07:02.656 --> 00:07:08.310
Když je x 1/25, máme tady 1, takže 1/25
bude velmi blízko tomuto.

00:07:08.320 --> 00:07:12.700
Potom y bude -2. Takže bude přímo tady.

00:07:12.700 --> 00:07:18.057
Ne přímo na ose y, ale o 1/25 napravo
od ní. Ale je to dost blízko.

00:07:18.057 --> 00:07:23.564
Takže to máme 1/25, čárka -2.

00:07:23.564 --> 00:07:27.566
Potom když x je 1/5, což je o trošku
dál doprava,

00:07:27.566 --> 00:07:32.627
1/5 y je -1. Takže tady.

00:07:32.627 --> 00:07:36.027
To máme 1/5 a -1.

00:07:36.337 --> 00:07:39.848
A potom když x je 1, y je 0.

00:07:40.268 --> 00:07:46.236
1 je asi tak tady, takže toto je bod [1,0].

00:07:46.236 --> 00:07:50.894
Potom, když x je 5, y je 1.

00:07:50.894 --> 00:07:56.572
Když x je 5… Tady už jsem to dělal… 
y je 1.

00:07:56.572 --> 00:07:59.171
Takže tohle je bod [5,1].

00:07:59.171 --> 00:08:08.107
A potom konečně, když x je 25, 
tak y je 2.

00:08:08.107 --> 00:08:12.969
Takže toto je [25,2].
Teď už můžu zakreslit funkci.

00:08:12.969 --> 00:08:16.907
Udělám to růžovou.

00:08:16.907 --> 00:08:30.453
Když je x velmi, velmi, velmi malé číslo,
y jde do -nekonečna.

00:08:30.453 --> 00:08:36.704
Jakým exponentem musíme umocnit 5,
abychom získali 0,0001?

00:08:36.704 --> 00:08:38.657
Musí to být velmi zaporný exponent.

00:08:38.657 --> 00:08:42.906
Takže y se stává velmi záporným,
jak se blížíme k 0.

00:08:42.906 --> 00:08:46.958
A pak se to posouvá nahoru asi takto.

00:08:46.958 --> 00:08:53.199
A pak se začne ohýbat doprava, asi takto.

00:08:53.199 --> 00:08:58.906
Tato věc tady dole
bude klesat stále strměji,

00:08:58.906 --> 00:09:04.073
a nikdy se zcela nedotkne osy y.

00:09:04.073 --> 00:09:08.604
Bude se stále přibližovat ose y,
ale nikdy se jí nedotkne.