Máme za úkol nakreslit graf funkce y = log x o základu 5.
Pro připomenutí, co to vlastně znamená.
y je rovno exponentu, kterým musím umocnit 5, abych dostal x.
Nebo pokud bych napsal tuto logaritmickou rovnici jako exponencionální rovnici,
5 je můj základ, 'y' je exponent, kterým musím umocnit základ
a 'x' je potom výsledek, který dostanu když umocním 5 na y.
Jiný způsob zápisu rovnice by tedy byl '5 na y' se rovná x.
Je to vlastně to stejné…
Zde máme 'y' jako funkci o neznámé 'x' a tady zase 'x' jako funkci o neznámé 'y'.
Ale ve skutečnosti nám obě dávají stejnou informaci:
"Umocnit 5 na 'y', abych dostal x".
Vyjádřeno jako logaritmus:
"Čím umocnit 5, abych dostal 'x' ?
Musím to umocnit na y.
Tady, co dostanu, když umocním 5 na 'y' ? Dostanu x.
Můžeme přejít dál.
Pojďme si nakreslit malou tabulku,
do které zaneseme některé body,
tyto body propojíme a uvidíme, jak vypadá tato křivka.
Nyní si zvolíme nějaké body 'x' a 'y'.
Obecně vybíráme taková čísla,
které nám dají zaoukrouhlený výsledek.
Nejlépe nějaká, pro nás, jednoduchá čísla, se kterými se umíme vypořádat
bez použití kalkulačky.
Obecně tedy vybíráme hodnoty 'x' tak,
že když umocníme 5 vcelku jednoduchým číslem, dostaneme hodnotu x.
Ještě jinak. Zkuste vzít pouze hodnoty y,
na které chcete umocňovat 5 a to vám dá hodnotu x.
Mohli bychom si myslet, že mohou stačit skutečné hodnoty x.
Ale chceme si být jisti, že když to takto vyjádříme,
tak nezávislá proměnná je x a závislá y.
Shrnuto, vybíráte takové hodnoty x, které dají hezké výsledky pro y.
Jak to uděláme. Vyplním napřed hodnoty y,
abyste dostali jasný výsledek x.
Řekněme, že umocníme 5 na… Vyberu jiné barvy…
Umocníme 5 na -2… Přidám ještě další barvy…
Na -1, 0, 1 a ještě jedno, třeba 2.
Tak ještě jednou, je to trochu netypické,
že napřed vyplňuji závislou proměnnou,
ale způsob, kterým jsme to zde zapsali…
Když máme danou závislou proměnnou, je pak lehké najít nezávislou proměnnou
pro tuto logaritmickou funkci.
Jaké x mi dá y rovno -2?
Jaká musí být hodnota x, aby se y rovnalo -2?
5 na -2 se bude rovnat x,
takže 5 na -2 je 1/25, takže dostaneme 1/25.
Jiný způsob, pokud se vrátíme o krok zpět,
pokud máme logaritmus 1/25 o základě 5?
Jakým exponentem musím umocnit 5, abych dostal 1/25?
Musím to umocnit -2.
Nebo můžete říct, že 5 na -2 se rovná 1/25.
Oba případy vyjadřují přesně to stejné.
Pojďme zkusit další příklad.
Co se stane, když umocním 5 na -1?
Dostanu 1/5.
Pro ten původní tady, říkáme, že logaritmus 1/5 o základě 5.
Toto říká: "Jakým číslem musím umocnit 5, abych dostal 1/5?"
Musím to umocnit -1.
Co se stane tady, když umocním 5 na 0? Dostanu 1.
A tedy tento vztah nám říká to stejné, co logaritmus 1 o základě 5.
Jakým číslem musím umocnit 5, abych získal 1?
Musím to pouze umocnit nulou.
Udělejme další dvě… Co se stane, když umocním 5 na 1?
Dostanu 5.
Když se podíváme sem, říká to na co musím umocnit 5, abych dostal 5?
Musím to umocnit číslem 1.
A nakonec, když vezmeme 5 na druhou, dostaneme 25.
Pokud si na to podíváme z pohledu logaritmů, říkáme:
"Jakou mocninou musím umocnit 5, abych dostal 25?"
Musím to umocnit na druhou.
V podstatě jsem vzal inverzní funkci k logaritmické, tedy exponenciální.
Prohodil jsem závislou a nezávislou proměnnou.
Tak abych mohl zvolit nebo odvodit pěkná x, která mi dají pěkná y.
Teď už to máme hotové, ale chci připomenout.
Mohl jsem si vybrat z náhodných čísel,
ale dostal bych tu asi méně hezká čísla, takže bych musel použít kalkulačku.
Jediný důvod, proč jsem to udělal takto, je ten, abych dostal hezké výsledky,
které mohu zakreslit ručně.
Pojďme to zanést do grafu.
Hodnoty y leží mezi -2 a 2,
hodnoty x začínají na 1/25 a končí až na 25.
Pojďme to zakreslit.
Tohle je osa y a tohle je osa x.
Nakreslím to tedy takto, toto je moje osa x.
Potom y, začnete v 0 a pak 1, 2…
A pak máte -1, -2 a pak na ose x je vše kladné.
Zamyslete se nad definičním oborem této funkce…
Můžeme o tom popřemýšlet, je logaritmická funkce definovaná pro záporné x?
Je nějaký exponent, kterým bych umocnil 5, abych dostal výsledek 0?
Ne. Můžete umocnit 5 na minus nekonečno a získáte velice nízké číslo
blížící se 0, ale nikdy nedostanete…
Neexistuje exponent, kterým se dá umocnit 5 a získat výsledek 0.
Hodnota x nemůže být 0. Není exponent, kterým byste umocnili 5
a získali záporné číslo. x tedy také nemůže být záporné.
Definiční obor této funkce je potom…
A je to pro nás relevantní, jelikož chceme vědět, co vlastně kreslíme do grafu…
Definiční obor je x je větší než 0.
Napíšu to.
Definiční obor tady nám říká, že x musí být větší než 0.
Budeme moci zakreslit tuto funkci na kladné části osy x.
Toto máme hotové. x nabývá hodnoty až 25,
takže tady nakreslím ty body, to máme 5, 10, 15, 20 a 25.
A pojďme to spojit.
První je modře a 'x' je 1/25 a 'y' je -2.
Když je x 1/25, máme tady 1, takže 1/25 bude velmi blízko tomuto.
Potom y bude -2. Takže bude přímo tady.
Ne přímo na ose y, ale o 1/25 napravo od ní. Ale je to dost blízko.
Takže to máme 1/25, čárka -2.
Potom když x je 1/5, což je o trošku dál doprava,
1/5 y je -1. Takže tady.
To máme 1/5 a -1.
A potom když x je 1, y je 0.
1 je asi tak tady, takže toto je bod [1,0].
Potom, když x je 5, y je 1.
Když x je 5… Tady už jsem to dělal… y je 1.
Takže tohle je bod [5,1].
A potom konečně, když x je 25, tak y je 2.
Takže toto je [25,2]. Teď už můžu zakreslit funkci.
Udělám to růžovou.
Když je x velmi, velmi, velmi malé číslo, y jde do -nekonečna.
Jakým exponentem musíme umocnit 5, abychom získali 0,0001?
Musí to být velmi zaporný exponent.
Takže y se stává velmi záporným, jak se blížíme k 0.
A pak se to posouvá nahoru asi takto.
A pak se začne ohýbat doprava, asi takto.
Tato věc tady dole bude klesat stále strměji,
a nikdy se zcela nedotkne osy y.
Bude se stále přibližovat ose y, ale nikdy se jí nedotkne.