1
00:00:00,505 --> 00:00:05,512
Máme za úkol nakreslit graf funkce
y = log x o základu 5.

2
00:00:05,512 --> 00:00:07,767
Pro připomenutí, co to vlastně znamená.

3
00:00:07,767 --> 00:00:13,201
y je rovno exponentu, kterým musím
umocnit 5, abych dostal x.

4
00:00:13,201 --> 00:00:17,726
Nebo pokud bych napsal tuto logaritmickou
rovnici jako exponencionální rovnici,

5
00:00:17,726 --> 00:00:23,513
5 je můj základ, 'y' je exponent,
kterým musím umocnit základ

6
00:00:23,513 --> 00:00:28,330
a 'x' je potom výsledek, který dostanu
když umocním 5 na y.

7
00:00:28,330 --> 00:00:40,596
Jiný způsob zápisu rovnice by tedy byl
'5 na y' se rovná x.

8
00:00:40,596 --> 00:00:43,034
Je to vlastně to stejné…

9
00:00:43,034 --> 00:00:48,513
Zde máme 'y' jako funkci o neznámé 'x' a
tady zase 'x' jako funkci o neznámé 'y'.

10
00:00:48,513 --> 00:00:51,028
Ale ve skutečnosti nám obě 
dávají stejnou informaci:

11
00:00:51,028 --> 00:00:53,504
"Umocnit 5 na 'y', abych dostal x".

12
00:00:53,504 --> 00:00:55,490
Vyjádřeno jako logaritmus:

13
00:00:55,490 --> 00:00:57,871
"Čím umocnit 5, abych dostal 'x' ?

14
00:00:57,871 --> 00:00:59,460
Musím to umocnit na y.

15
00:00:59,460 --> 00:01:03,737
Tady, co dostanu, když umocním 5 na 'y' ?
Dostanu x.

16
00:01:03,737 --> 00:01:04,704
Můžeme přejít dál.

17
00:01:04,704 --> 00:01:07,105
Pojďme si nakreslit malou tabulku,

18
00:01:07,105 --> 00:01:08,705
do které zaneseme některé body,

19
00:01:08,705 --> 00:01:11,701
tyto body propojíme a uvidíme,
jak vypadá tato křivka.

20
00:01:11,701 --> 00:01:18,661
Nyní si zvolíme nějaké body 'x' a 'y'.

21
00:01:18,661 --> 00:01:20,238
Obecně vybíráme taková čísla,

22
00:01:20,238 --> 00:01:22,657
které nám dají zaoukrouhlený výsledek.

23
00:01:22,657 --> 00:01:26,321
Nejlépe nějaká, pro nás, jednoduchá čísla,
se kterými se umíme vypořádat

24
00:01:26,321 --> 00:01:27,682
bez použití kalkulačky.

25
00:01:27,682 --> 00:01:31,833
Obecně tedy vybíráme hodnoty 'x' tak,

26
00:01:31,833 --> 00:01:38,132
že když umocníme 5 vcelku jednoduchým
číslem, dostaneme hodnotu x.

27
00:01:38,132 --> 00:01:41,838
Ještě jinak. 
Zkuste vzít pouze hodnoty y,

28
00:01:41,838 --> 00:01:46,273
na které chcete umocňovat 5
a to vám dá hodnotu x.

29
00:01:46,409 --> 00:01:52,398
Mohli bychom si myslet, že mohou stačit
skutečné hodnoty x.

30
00:01:52,398 --> 00:01:56,528
Ale chceme si být jisti,
že když to takto vyjádříme,

31
00:01:56,528 --> 00:02:00,612
tak nezávislá proměnná je x a závislá y.

32
00:02:00,612 --> 00:02:09,632
Shrnuto, vybíráte takové hodnoty x,
které dají hezké výsledky pro y.

33
00:02:09,632 --> 00:02:12,784
Jak to uděláme. Vyplním napřed hodnoty y,

34
00:02:12,784 --> 00:02:14,980
abyste dostali jasný výsledek x.

35
00:02:14,980 --> 00:02:20,482
Řekněme, že umocníme 5 na…
Vyberu jiné barvy…

36
00:02:20,482 --> 00:02:25,526
Umocníme 5 na -2…
Přidám ještě další barvy…

37
00:02:25,526 --> 00:02:33,472
Na -1, 0, 1 a ještě jedno, třeba 2.

38
00:02:33,472 --> 00:02:36,678
Tak ještě jednou,
je to trochu netypické,

39
00:02:36,678 --> 00:02:38,763
že napřed vyplňuji závislou proměnnou,

40
00:02:38,763 --> 00:02:40,703
ale způsob, kterým jsme to zde zapsali…

41
00:02:40,703 --> 00:02:45,017
Když máme danou závislou proměnnou, je pak
lehké najít nezávislou proměnnou

42
00:02:45,017 --> 00:02:47,107
pro tuto logaritmickou funkci.

43
00:02:47,107 --> 00:02:50,313
Jaké x mi dá y rovno -2?

44
00:02:50,313 --> 00:02:55,519
Jaká musí být hodnota x,
aby se y rovnalo -2?

45
00:02:55,519 --> 00:02:59,700
5 na -2 se bude rovnat x,

46
00:02:59,700 --> 00:03:06,587
takže 5 na -2 je 1/25, takže 
dostaneme 1/25.

47
00:03:06,587 --> 00:03:08,740
Jiný způsob, pokud se vrátíme o krok zpět,

48
00:03:08,740 --> 00:03:13,126
pokud máme logaritmus 1/25 o základě 5?

49
00:03:13,126 --> 00:03:16,721
Jakým exponentem musím umocnit 5,
abych dostal 1/25?

50
00:03:16,821 --> 00:03:19,831
Musím to umocnit -2.

51
00:03:19,831 --> 00:03:24,178
Nebo můžete říct, že 5 na -2
se rovná 1/25.

52
00:03:24,178 --> 00:03:27,720
Oba případy vyjadřují přesně to stejné.

53
00:03:27,720 --> 00:03:30,090
Pojďme zkusit další příklad.

54
00:03:30,090 --> 00:03:32,371
Co se stane, když umocním 5 na -1?

55
00:03:32,371 --> 00:03:35,363
Dostanu 1/5.

56
00:03:35,363 --> 00:03:44,148
Pro ten původní tady, říkáme, 
že logaritmus 1/5 o základě 5.

57
00:03:44,148 --> 00:03:48,276
Toto říká: "Jakým číslem musím umocnit 5,
abych dostal 1/5?"

58
00:03:48,276 --> 00:03:52,137
Musím to umocnit -1.

59
00:03:52,137 --> 00:03:57,284
Co se stane tady, když umocním 5 na 0?
Dostanu 1.

60
00:03:57,284 --> 00:04:02,606
A tedy tento vztah nám říká to stejné, 
co logaritmus 1 o základě 5.

61
00:04:02,606 --> 00:04:05,581
Jakým číslem musím umocnit 5,
abych získal 1?

62
00:04:05,581 --> 00:04:08,572
Musím to pouze umocnit nulou.

63
00:04:08,572 --> 00:04:13,437
Udělejme další dvě… 
Co se stane, když umocním 5 na 1?

64
00:04:13,437 --> 00:04:15,209
Dostanu 5.

65
00:04:15,209 --> 00:04:20,324
Když se podíváme sem, říká to
na co musím umocnit 5, abych dostal 5?

66
00:04:20,324 --> 00:04:23,701
Musím to umocnit číslem 1.

67
00:04:23,701 --> 00:04:28,726
A nakonec, když vezmeme 5 na druhou,
dostaneme 25.

68
00:04:28,726 --> 00:04:31,837
Pokud si na to podíváme z pohledu
logaritmů, říkáme:

69
00:04:31,837 --> 00:04:35,489
"Jakou mocninou musím umocnit 5,
abych dostal 25?"

70
00:04:35,489 --> 00:04:38,239
Musím to umocnit na druhou.

71
00:04:38,239 --> 00:04:43,438
V podstatě jsem vzal inverzní funkci
k logaritmické, tedy exponenciální.

72
00:04:43,438 --> 00:04:46,401
Prohodil jsem závislou
a nezávislou proměnnou.

73
00:04:46,401 --> 00:04:51,556
Tak abych mohl zvolit nebo odvodit
pěkná x, která mi dají pěkná y.

74
00:04:51,556 --> 00:04:54,212
Teď už to máme hotové,
ale chci připomenout.

75
00:04:54,212 --> 00:04:57,753
Mohl jsem si vybrat z náhodných čísel,

76
00:04:57,753 --> 00:05:01,332
ale dostal bych tu asi méně hezká čísla,
takže bych musel použít kalkulačku.

77
00:05:01,332 --> 00:05:04,972
Jediný důvod, proč jsem to udělal takto, 
je ten, abych dostal hezké výsledky,

78
00:05:04,972 --> 00:05:06,292
které mohu zakreslit ručně.

79
00:05:06,292 --> 00:05:10,892
Pojďme to zanést do grafu.

80
00:05:10,892 --> 00:05:13,703
Hodnoty y leží mezi -2 a 2,

81
00:05:13,703 --> 00:05:18,038
hodnoty x začínají na 1/25 a končí
až na 25.

82
00:05:18,038 --> 00:05:20,903
Pojďme to zakreslit.

83
00:05:20,903 --> 00:05:29,997
Tohle je osa y a tohle je osa x.

84
00:05:29,997 --> 00:05:34,523
Nakreslím to tedy takto,
toto je moje osa x.

85
00:05:34,523 --> 00:05:42,326
Potom y, začnete v 0 a pak 1, 2…

86
00:05:42,326 --> 00:05:49,608
A pak máte -1, -2 a pak na ose x
je vše kladné.

87
00:05:49,608 --> 00:05:53,920
Zamyslete se nad definičním oborem 
této funkce…

88
00:05:53,920 --> 00:06:02,864
Můžeme o tom popřemýšlet, je logaritmická
funkce definovaná pro záporné x?

89
00:06:02,864 --> 00:06:07,503
Je nějaký exponent, kterým bych umocnil 5,
abych dostal výsledek 0?

90
00:06:07,503 --> 00:06:12,906
Ne. Můžete umocnit 5 na minus nekonečno
a získáte velice nízké číslo

91
00:06:12,906 --> 00:06:15,333
blížící se 0, ale nikdy nedostanete…

92
00:06:15,333 --> 00:06:18,422
Neexistuje exponent, kterým se dá
umocnit 5 a získat výsledek 0.

93
00:06:18,422 --> 00:06:21,504
Hodnota x nemůže být 0. 
Není exponent, kterým byste umocnili 5

94
00:06:21,504 --> 00:06:26,134
a získali záporné číslo.
x tedy také nemůže být záporné.

95
00:06:26,134 --> 00:06:27,850
Definiční obor této funkce je potom…

96
00:06:27,850 --> 00:06:31,567
A je to pro nás relevantní, jelikož chceme
vědět, co vlastně kreslíme do grafu…

97
00:06:31,567 --> 00:06:33,708
Definiční obor je x je větší než 0.

98
00:06:33,708 --> 00:06:35,251
Napíšu to.

99
00:06:35,251 --> 00:06:40,087
Definiční obor tady nám říká,
že x musí být větší než 0.

100
00:06:40,087 --> 00:06:45,079
Budeme moci zakreslit tuto funkci
na kladné části osy x.

101
00:06:45,079 --> 00:06:48,176
Toto máme hotové.
x nabývá hodnoty až 25,

102
00:06:48,176 --> 00:06:57,230
takže tady nakreslím ty body, 
to máme 5, 10, 15, 20 a 25.

103
00:06:57,230 --> 00:06:58,990
A pojďme to spojit.

104
00:06:58,990 --> 00:07:02,656
První je modře a 'x' je 1/25 a 'y' je -2.

105
00:07:02,656 --> 00:07:08,310
Když je x 1/25, máme tady 1, takže 1/25
bude velmi blízko tomuto.

106
00:07:08,320 --> 00:07:12,700
Potom y bude -2. Takže bude přímo tady.

107
00:07:12,700 --> 00:07:18,057
Ne přímo na ose y, ale o 1/25 napravo
od ní. Ale je to dost blízko.

108
00:07:18,057 --> 00:07:23,564
Takže to máme 1/25, čárka -2.

109
00:07:23,564 --> 00:07:27,566
Potom když x je 1/5, což je o trošku
dál doprava,

110
00:07:27,566 --> 00:07:32,627
1/5 y je -1. Takže tady.

111
00:07:32,627 --> 00:07:36,027
To máme 1/5 a -1.

112
00:07:36,337 --> 00:07:39,848
A potom když x je 1, y je 0.

113
00:07:40,268 --> 00:07:46,236
1 je asi tak tady, takže toto je bod [1,0].

114
00:07:46,236 --> 00:07:50,894
Potom, když x je 5, y je 1.

115
00:07:50,894 --> 00:07:56,572
Když x je 5… Tady už jsem to dělal… 
y je 1.

116
00:07:56,572 --> 00:07:59,171
Takže tohle je bod [5,1].

117
00:07:59,171 --> 00:08:08,107
A potom konečně, když x je 25, 
tak y je 2.

118
00:08:08,107 --> 00:08:12,969
Takže toto je [25,2].
Teď už můžu zakreslit funkci.

119
00:08:12,969 --> 00:08:16,907
Udělám to růžovou.

120
00:08:16,907 --> 00:08:30,453
Když je x velmi, velmi, velmi malé číslo,
y jde do -nekonečna.

121
00:08:30,453 --> 00:08:36,704
Jakým exponentem musíme umocnit 5,
abychom získali 0,0001?

122
00:08:36,704 --> 00:08:38,657
Musí to být velmi zaporný exponent.

123
00:08:38,657 --> 00:08:42,906
Takže y se stává velmi záporným,
jak se blížíme k 0.

124
00:08:42,906 --> 00:08:46,958
A pak se to posouvá nahoru asi takto.

125
00:08:46,958 --> 00:08:53,199
A pak se začne ohýbat doprava, asi takto.

126
00:08:53,199 --> 00:08:58,906
Tato věc tady dole
bude klesat stále strměji,

127
00:08:58,906 --> 00:09:04,073
a nikdy se zcela nedotkne osy y.

128
00:09:04,073 --> 00:09:08,604
Bude se stále přibližovat ose y,
ale nikdy se jí nedotkne.