0:00:00.630,0:00:02.090
在早先的视频里，我们介绍过

0:00:02.090,0:00:04.100
如何用长度和方向

0:00:04.100,0:00:06.880
来完全定义一个向量，两者缺一不可。

0:00:06.880,0:00:08.260
在这里有一个已经被这样定义的向量。

0:00:08.260,0:00:09.880
我们已知它的长度

0:00:09.880,0:00:12.570
等于3个单位长度。

0:00:12.570,0:00:15.190
这两边的平行线，

0:00:15.190,0:00:17.170
看上去像双重绝对值的符号，

0:00:17.170,0:00:19.090
代表向量a的长度。

0:00:19.090,0:00:23.150
这个式子相当于指定了

0:00:23.150,0:00:26.200
图中箭头的长度为3个单位长度。

0:00:26.200,0:00:27.560
与此同时我们还规定了它的方向。

0:00:27.560,0:00:29.610
如图所示，这个向量的方向是

0:00:29.610,0:00:32.270
相对正东方向逆时针旋转30°。

0:00:32.270,0:00:34.860
在本视频中，我们将会介绍

0:00:34.860,0:00:38.220
定义该向量的另一种方法。

0:00:38.220,0:00:41.050
这是一种通过分量来定义向量的方法。

0:00:41.050,0:00:42.530
我们将关注

0:00:42.530,0:00:44.100
这个向量的尾巴

0:00:44.100,0:00:47.300
和头部，

0:00:47.300,0:00:50.450
考虑从它的尾巴走到头部，

0:00:50.450,0:00:53.990
横坐标x改变了多少？

0:00:53.990,0:00:55.180
我们可以看出，x的变化量

0:00:55.180,0:00:58.340
等于这条红线的长度。

0:00:58.340,0:01:00.980
我们的横坐标从这个值变成了这个值。

0:01:00.980,0:01:05.370
我们还要考虑纵坐标y的变化。

0:01:05.370,0:01:07.980
假如我们从此处向上走到这里，

0:01:07.980,0:01:12.310
y方向的变化量就对应这条紫线的长度。

0:01:12.310,0:01:13.500
让我们给它们做上标记。

0:01:13.500,0:01:18.500
x的变化量记作Δx，y的变化量记作Δy。

0:01:19.060,0:01:19.920
请设想一下，

0:01:19.920,0:01:22.780
假如有人告诉了你Δx和Δy，

0:01:22.780,0:01:25.390
你应该可以相应重建出这个向量：

0:01:25.390,0:01:27.490
从这里出发，先改变x，

0:01:27.490,0:01:31.200
再改变y，得到向量的头部

0:01:31.200,0:01:34.740
相对尾部的位置。

0:01:34.740,0:01:38.800
我们相应将上述定义记作：

0:01:38.800,0:01:42.870
向量a，等于，写上两个括号，

0:01:42.870,0:01:46.290
在括号中填入Δx，逗号，Δy。

0:01:46.290,0:01:47.780
对图中的这个向量而言，

0:01:47.780,0:01:50.340
更具体地说，

0:01:50.340,0:01:53.550
我们已知它的长度为3。

0:01:53.550,0:01:55.540
它的长度为3。

0:01:55.540,0:01:58.350
我们还知道这条线处于水平方向，

0:01:58.350,0:02:00.290
而这条线处于竖直方向。

0:02:00.290,0:02:02.420
此处是一个直角。

0:02:02.420,0:02:05.170
于是我们可以使用以往的几何知识。

0:02:05.170,0:02:08.020
别担心，有必要的话你可以复习一下。

0:02:08.020,0:02:09.620
我们可以使用一点几何，

0:02:09.620,0:02:11.490
或者三角学知识：

0:02:11.490,0:02:13.610
我们已知这个角的大小，

0:02:13.610,0:02:17.210
以及斜边的长度，那么与30°角

0:02:17.210,0:02:20.180
相对的边的长度就等于斜边的一半，

0:02:20.180,0:02:22.020
也就是3/2。

0:02:22.020,0:02:24.200
而x方向的变化量则等于

0:02:24.200,0:02:26.960
根号3乘以3/2。

0:02:26.960,0:02:31.080
也就是二分之三倍根号3。

0:02:31.080,0:02:33.980
于是我们可以在括号中填入：

0:02:33.980,0:02:37.680
x分量等于二分之三倍根号3，

0:02:37.680,0:02:42.420
y分量等于3/2。

0:02:42.420,0:02:43.820
不少同学可能会觉得

0:02:43.820,0:02:47.260
这很像坐标平面上的坐标：

0:02:47.260,0:02:48.580
这对应横坐标，

0:02:48.580,0:02:50.300
这对应纵坐标。

0:02:50.300,0:02:51.970
不过，当你在处理向量时，

0:02:51.970,0:02:54.610
这种理解并不确切。

0:02:54.610,0:02:57.000
是的，当这个向量的尾巴

0:02:57.000,0:03:00.860
刚好落在原点上时，

0:03:00.860,0:03:04.670
它头部的坐标会恰好等于这个。

0:03:04.670,0:03:07.470
但我们知道，向量并不是

0:03:07.470,0:03:10.180
被位置，被它尾部的位置所定义的。

0:03:10.180,0:03:12.200
我们可以把这个向量在平面上随意平移，

0:03:12.200,0:03:13.840
得到的都还是同一个向量。

0:03:13.840,0:03:15.590
它的起点在哪儿都行。

0:03:15.590,0:03:19.000
所以，在向量语境下，

0:03:19.000,0:03:21.440
这两者并不代表横坐标和纵坐标，

0:03:21.440,0:03:26.440
而是代表横坐标的变化量，和纵坐标的变化量。

0:03:27.070,0:03:28.480


0:03:28.480,0:03:30.880


0:03:30.880,0:03:34.790


0:03:34.790,0:03:39.200


0:03:39.200,0:03:43.520


0:03:43.520,0:03:46.260


0:03:46.260,0:03:49.380


0:03:49.380,0:03:51.410


0:03:51.410,0:03:53.030


0:03:53.030,0:03:55.460


0:03:55.460,0:04:00.460


0:04:00.800,0:04:03.980


0:04:03.980,0:04:07.230


0:04:07.230,0:04:08.970


0:04:08.970,0:04:12.850


0:04:12.850,0:04:17.850


0:04:18.580,0:04:20.590


0:04:20.590,0:04:21.980


0:04:21.980,0:04:24.260


0:04:24.260,0:04:26.760


0:04:26.760,0:04:28.760


0:04:28.760,0:04:30.410


0:04:30.410,0:04:32.380


0:04:32.380,0:04:34.510


0:04:34.510,0:04:39.370


0:04:39.370,0:04:42.420


0:04:42.420,0:04:43.870


0:04:43.870,0:04:46.110


0:04:46.110,0:04:49.500


0:04:49.500,0:04:52.130


0:04:52.130,0:04:53.410


0:04:53.410,0:04:55.600


0:04:55.600,0:04:58.690


0:04:58.690,0:05:02.770


0:05:02.770,0:05:05.360


0:05:05.360,0:05:06.540


0:05:06.540,0:05:08.950


0:05:08.950,0:05:10.200


0:05:10.200,0:05:12.350


0:05:12.350,0:05:15.283