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00:00:00.418 --> 00:00:12.533
假設我們現在有個方程，7x 等於14

00:00:12.533 --> 00:00:15.867
在考慮該怎麽解這個方程式之前，

00:00:15.867 --> 00:00:19.737
我們不妨先想一下這個方程到底是什麽意思

00:00:19.737 --> 00:00:22.430
7x等於14，

00:00:22.430 --> 00:00:39.427
這也就是7乘以x等於14

00:00:39.427 --> 00:00:43.533
我們可以試試用已知的知識來解決這個問題

00:00:43.533 --> 00:00:45.743
比如想一下九九乘法表

00:00:45.743 --> 00:00:48.762
7乘以1等於7，所以答案應該不是1

00:00:48.762 --> 00:00:54.010
7乘以2等於14，所以2就是答案

00:00:54.010 --> 00:00:56.424
這樣我們很快就把問題解決了

00:00:56.424 --> 00:00:59.257
我們通過嘗試不同的數字

00:00:59.257 --> 00:01:01.394
迅速地得到這個問題的答案: 2

00:01:01.394 --> 00:01:03.716
不過我們這個影片要考慮的是

00:01:03.716 --> 00:01:05.666
如何係統的解決這種問題

00:01:05.666 --> 00:01:08.267
因爲你會逐漸發現，

00:01:08.267 --> 00:01:10.728
當方程變的越來越複雜，靠這種嘗試性的口算

00:01:10.728 --> 00:01:12.586
可能就解不出來了。

00:01:12.586 --> 00:01:15.418
所以最重要的是你能理解

00:01:15.418 --> 00:01:16.733
怎麽能通過正確的方法來解這些方程，而且明白

00:01:16.733 --> 00:01:18.251
我們爲什麽要這麽來解方程。

00:01:18.251 --> 00:01:21.920
這個方程從字面上說是7乘以x等於14。

00:01:21.920 --> 00:01:24.753
在代數中，我們是不用把乘號寫出來的

00:01:26.588 --> 00:01:28.422
當你寫兩個數字寫在一起，或者把一個數則寫在

00:01:28.422 --> 00:01:30.419
一個未知數旁邊的時候，大家就會明白

00:01:30.419 --> 00:01:32.090
你是要把他們乘在一起。

00:01:32.090 --> 00:01:34.087
這只是一個縮寫，一個速記符號。

00:01:34.087 --> 00:01:36.595
一般我們不把乘號寫出來，因爲

00:01:36.595 --> 00:01:41.067
乘號和x,y,z裏面的x

00:01:41.067 --> 00:01:42.400
很容易搞混

00:01:42.400 --> 00:01:49.412
當我寫7乘以x的時候， 如果我

00:01:49.412 --> 00:01:52.400
寫乘號的時候或者x的時候不那麽清楚，他們看起來

00:01:52.400 --> 00:01:54.985
可能就是兩個x或者兩個乘號

00:01:54.985 --> 00:01:57.400
所以通常當我們處理方程式的時候

00:01:57.400 --> 00:01:58.933
尤其是當中有一個未知數是x的時候，我們

00:01:58.933 --> 00:02:01.255
是不用把乘號寫出來的

00:02:01.255 --> 00:02:05.434
不過你可以用一個點號

00:02:05.434 --> 00:02:06.595
來代表我們在做乘法

00:02:06.595 --> 00:02:10.403
所以你可以寫7 點 x 等於14。

00:02:10.403 --> 00:02:13.004
但是大家一般都不這麽寫。

00:02:13.004 --> 00:02:14.908
一般我們說一個數乘以一個未知數的時候

00:02:14.908 --> 00:02:16.766
我們就寫7x

00:02:16.766 --> 00:02:19.738
這就表示7乘以x

00:02:19.738 --> 00:02:22.478
好了，爲了理解怎麽通過變換這個方程求解

00:02:22.478 --> 00:02:25.403
我們先來形象地表述一下這個方程是什麽樣的

00:02:25.403 --> 00:02:27.493
7乘以x是什麽意思呢？

00:02:27.493 --> 00:02:29.815
7乘以x也可以被重寫成等價的新形式

00:02:29.815 --> 00:02:32.323
我會用更簡單明了的形式表示出來

00:02:32.323 --> 00:02:35.388
7乘以X

00:02:35.388 --> 00:02:38.081
相當於7個x加在一起

00:02:38.081 --> 00:02:40.403
這就是乘法的定義。

00:02:40.403 --> 00:02:48.484
也就是x加上x，再加上x，再加上x，再加上x，數一下

00:02:48.484 --> 00:02:51.735
有5個x了，所以再加上兩個x

00:02:51.735 --> 00:02:55.589
現在就有7個x了

00:02:55.589 --> 00:02:57.168
也就是7乘以x

00:02:57.168 --> 00:02:58.143
我們把兩種形式聯在一起

00:02:58.143 --> 00:03:03.716
這邊就是7乘以x

00:03:03.716 --> 00:03:07.664
這個方程式是7乘以x等於14。

00:03:07.664 --> 00:03:11.472
所以只是說左邊的等於14

00:03:11.472 --> 00:03:14.072
讓我這邊畫14個圈

00:03:14.072 --> 00:03:19.831
我們一邊數一邊畫，1，2，3，4，5，6，7，8，

00:03:19.831 --> 00:03:23.467
9，10，11，12，13，14。

00:03:23.467 --> 00:03:26.936
也就是說7個x等於右邊的這14個圈

00:03:26.936 --> 00:03:29.398
他們是相等的

00:03:29.398 --> 00:03:32.741
我之所以把他畫出來就是因爲

00:03:32.741 --> 00:03:35.388
一會我要把兩邊都除以7的時候

00:03:35.388 --> 00:03:37.664
你就能更容易理解了

00:03:37.664 --> 00:03:39.800
我先把這裡擦幹淨

00:03:39.800 --> 00:03:44.398
所以標準的解法是當我們……錯了，我不是想這樣

00:03:44.398 --> 00:03:47.867
讓我先把那個少了圈畫出來

00:03:47.867 --> 00:03:53.407
一般來說，當我們把方程簡化成

00:03:53.407 --> 00:03:56.147
-- 所謂係數就是乘以未知數的

00:03:56.147 --> 00:03:57.308
某個數

00:03:57.308 --> 00:03:58.748
因此一個數乘以未知數也就是

00:03:58.748 --> 00:04:00.837
一個係數乘以未知數等於

00:04:00.837 --> 00:04:03.159
另一個數

00:04:03.159 --> 00:04:05.249
現在需要做的就是把方程兩邊都除以7

00:04:05.249 --> 00:04:07.757
推而廣之，就是在兩邊都除以未知數前面的係數。

00:04:07.757 --> 00:04:12.494
現在兩邊都除以7，我們得到什麽呢？

00:04:12.494 --> 00:04:16.255
7除以7

00:04:16.255 --> 00:04:18.252
就很簡單了

00:04:18.252 --> 00:04:22.664
7除以7 等於1，然後14除以7等於2

00:04:22.664 --> 00:04:26.751
所以最後的結果就是x等於2

00:04:26.751 --> 00:04:29.398
我們最後在總結一下，我們這裡

00:04:29.398 --> 00:04:32.742
所做的就是把方程兩邊都除以7

00:04:32.742 --> 00:04:36.410
兩邊都除以未知數前面的係數

00:04:36.410 --> 00:04:37.664
這是一個等式

00:04:37.664 --> 00:04:39.800
也就是說她的兩邊是相等的

00:04:39.800 --> 00:04:43.469
所以如果我對左邊做的任何變換，我也需要對右邊做同樣的變換

00:04:43.469 --> 00:04:46.163
他們一開始兩邊就是相等的，我不能只改變一邊

00:04:46.163 --> 00:04:48.400
而不變另一邊，否則兩邊就不再相等了

00:04:48.400 --> 00:04:50.482
兩邊應該是一直相等的

00:04:50.482 --> 00:04:54.986
在這個例子裏面，我把等式的左邊除以7，我現在把

00:04:54.986 --> 00:04:56.054
它分爲七組。

00:04:56.054 --> 00:04:59.816
也就是分成7個x，一個x，兩個x，三個

00:04:59.816 --> 00:05:01.813
四個，五個，六個，七個。

00:05:01.813 --> 00:05:04.460
確認一下，一，二，三，四，五，六，七組

00:05:04.460 --> 00:05:07.664
我把左邊分成了七組，我也需要

00:05:07.664 --> 00:05:11.400
把右面也分成七組。

00:05:11.400 --> 00:05:16.999
一，二，三，四，五，六，七。

00:05:16.999 --> 00:05:19.599
如果等式的左邊等於右面

00:05:19.599 --> 00:05:26.008
那麽這裡面的每一個部分，這7個小部分

00:05:26.008 --> 00:05:28.330
也都是相等的

00:05:28.330 --> 00:05:31.674
也就是說左邊的這個小部分等於右面的這個小部分

00:05:31.674 --> 00:05:35.064
這部分等於這部分

00:05:35.064 --> 00:05:36.132
他們都是相等的

00:05:36.132 --> 00:05:37.711
這邊有7部分，這邊也有7部分

00:05:37.711 --> 00:05:41.798
也就是說每個x等於右面的兩個小圓圈

00:05:41.798 --> 00:05:46.720
所以我們就得到x，在這道題裏面

00:05:46.720 --> 00:05:49.414
等於兩個小圓圈

00:05:49.414 --> 00:05:51.132
x等於2

00:05:51.132 --> 00:05:54.067
現在我們再多做兩個例子

00:05:54.067 --> 00:05:55.823
好讓我們更熟悉一下如何解等式

00:05:55.823 --> 00:05:58.005
在一邊所做的任何變換，

00:05:58.005 --> 00:06:00.792
再另一邊也應該做同樣的變換。

00:06:00.792 --> 00:06:04.507
我先騰點地方

00:06:04.507 --> 00:06:13.656
然後假如說我們現在的問題是3x等於15

00:06:13.656 --> 00:06:15.931
當然這個也比較簡單，通過往裏代不同的數口算也能很快得到答案

00:06:15.931 --> 00:06:18.160
3乘以一個數

00:06:18.160 --> 00:06:19.467
等於15

00:06:19.467 --> 00:06:22.247
你只要想一下九九表裏面的3的部分就可以很容易試出來

00:06:22.247 --> 00:06:25.498
但是如果你想係統的解出這道題

00:06:25.498 --> 00:06:27.820
我們也很建議大家能學會係統的解決這類問題

00:06:27.820 --> 00:06:30.420
我們應該想，這個式子的左邊等於右邊

00:06:30.420 --> 00:06:32.742
我應該怎麽做才能讓左邊

00:06:32.742 --> 00:06:33.718
只有x呢

00:06:33.718 --> 00:06:36.504
答案是我需要在兩遍都除以3

00:06:36.504 --> 00:06:39.801
我這麽做的原因是

00:06:39.801 --> 00:06:43.795
3除以3等於1

00:06:43.795 --> 00:06:45.400
然後等式的左邊就只剩下x了

00:06:45.400 --> 00:06:47.742
現在， 3乘以X等於15

00:06:47.742 --> 00:06:53.129
我把左邊除以3，爲了讓等式仍然成立

00:06:53.129 --> 00:06:57.495
我也需要把右面也除以3

00:06:57.495 --> 00:06:58.749
我們現在剩下什麽了呢

00:06:58.749 --> 00:07:01.256
等式的左邊，我們就只有

00:07:01.256 --> 00:07:04.414
x了，係數現在變成了1

00:07:04.414 --> 00:07:07.804
等式右邊呢，15除以3等於多少？

00:07:07.804 --> 00:07:11.752
答案是等於5

00:07:11.752 --> 00:07:13.749
或者我們也可以采取另一種不太一樣的解法

00:07:13.749 --> 00:07:16.257
當然他們背後的道理都是一樣的

00:07:16.257 --> 00:07:21.086
我們一開始是3乘以X等於15

00:07:21.086 --> 00:07:25.405
我們剛才是把兩面都除以3，當然我們也有其他的方法去把3消掉

00:07:25.405 --> 00:07:28.331
如果我們把兩遍都乘以1/3的話，等式的左邊也是只

00:07:28.331 --> 00:07:30.142
剩下X了

00:07:30.142 --> 00:07:34.322
現在我們就在等式的兩邊

00:07:34.322 --> 00:07:36.319
都乘以1/3，

00:07:36.319 --> 00:07:38.130
左邊的話，3的三分之一等於1

00:07:38.130 --> 00:07:42.170
也就是1/3乘以3

00:07:42.170 --> 00:07:45.932
等式左邊現在變成了1乘以x

00:07:45.932 --> 00:07:51.737
1乘以x等於右面的15乘以1/3也就是5

00:07:51.737 --> 00:07:56.799
一乘以x等於x，所以現在我們就得出了

00:07:56.799 --> 00:07:58.656
5等於x。

00:07:58.656 --> 00:08:02.046
這兩種解法其實是一樣的

00:08:02.046 --> 00:08:05.994
把兩邊除以3和把兩邊都乘以1/3

00:08:05.994 --> 00:08:10.916
結果是一樣的

00:08:10.916 --> 00:08:12.588
我們再做一個

00:08:12.588 --> 00:08:14.467
難一些的練習

00:08:14.467 --> 00:08:17.325
我們也把未知數的形式變一些

00:08:17.325 --> 00:08:36.923
現在的問題是2y加上4y等於18

00:08:36.923 --> 00:08:38.502
這道題就不是那麽容易

00:08:38.502 --> 00:08:39.663
用嘗試的辦法口算出來了

00:08:39.663 --> 00:08:41.334
我們需要解的是2乘以一個未知數在加上4乘以這個未知數

00:08:43.586 --> 00:08:45.839
等於18

00:08:45.839 --> 00:08:48.068
猜這個數是什麽就不像之前那麽容易了

00:08:48.068 --> 00:08:49.415
不過你可以試試

00:08:49.415 --> 00:08:52.062
加入y是1，那麽2個1再加上4個1

00:08:52.062 --> 00:08:53.409
結果不是18

00:08:53.409 --> 00:08:55.174
我們還是看看怎麽係統的解決這道問題吧

00:08:55.174 --> 00:08:56.752
雖然你也可以繼續往裏面代入數來解決這道題

00:08:56.752 --> 00:08:58.146
但更重要的是學會如何係統的解決這類問題

00:08:58.146 --> 00:09:00.328
讓我們再來想象一下這道題

00:09:00.328 --> 00:09:02.279
我們現在有兩個y，這是什麽意思呢

00:09:02.279 --> 00:09:09.152
這其實是說我們有兩個可以加在一起的y

00:09:09.152 --> 00:09:12.263
也就是y加上y

00:09:12.263 --> 00:09:15.003
然後我再加上另外的4個y。

00:09:15.003 --> 00:09:19.137
這四個y，也就是

00:09:19.137 --> 00:09:20.808
4個y加在一起

00:09:20.808 --> 00:09:24.338
y加上y，加上y再加上y

00:09:24.338 --> 00:09:29.075
這些y需要等於18

00:09:29.075 --> 00:09:35.251
我們把他們寫過來，等於18

00:09:35.251 --> 00:09:39.059
我們再看看等式的左邊，我們有多少個y呢

00:09:39.059 --> 00:09:41.149
我們數一數

00:09:41.149 --> 00:09:45.747
我們有一，二，三，四，五，六個y。

00:09:45.747 --> 00:09:48.812
我們就可以把等式簡化爲6乘以y等於18。

00:09:48.812 --> 00:09:51.134
如果我們想一想，這個其實很簡單

00:09:51.134 --> 00:09:56.799
在等式的左邊，我們有2個y加上4個y，也就是一共6個y

00:09:56.799 --> 00:10:00.793
2加上4等於6，很容易

00:10:00.793 --> 00:10:03.672
這個和2個蘋果加4個蘋果等於6個蘋果

00:10:03.672 --> 00:10:04.833
是一個道理

00:10:04.833 --> 00:10:07.620
我們有2個y加上4個y等於6個y

00:10:07.620 --> 00:10:10.174
然後6個y等於18

00:10:10.174 --> 00:10:15.422
現在我們應該就知道怎麽解決剩下的部分了

00:10:15.422 --> 00:10:18.162
我們有6乘以一個未知數等於18，如果我把兩面都

00:10:18.162 --> 00:10:22.481
除以6，我就解出來未知數了

00:10:22.481 --> 00:10:30.793
我們現在把左邊除以6，也把右面

00:10:30.793 --> 00:10:32.744
除以6

00:10:36.111 --> 00:10:39.478
我們剩下的就是y等於3

00:10:39.478 --> 00:10:40.499
你可以自己試一下。

00:10:40.499 --> 00:10:41.985
這個就是方程與衆不同的地方

00:10:41.985 --> 00:10:44.261
你可以隨時檢查你得出的答案是否正確

00:10:44.261 --> 00:10:45.933
我們現在就檢查一下

00:10:45.933 --> 00:10:52.249
2乘以3加上4乘以3等於什麽

00:10:52.249 --> 00:10:56.335
2乘以3等於6

00:10:56.335 --> 00:10:59.493
4乘以3等於12

00:10:59.493 --> 00:11:03.998
6加上12，果然等於18

00:11:03.998 --> 99:59:59.999
所以我們得到了正確的答案