1
00:00:00,418 --> 00:00:12,533
假設我們現在有個方程，7x 等於14

2
00:00:12,533 --> 00:00:15,867
在考慮該怎麽解這個方程式之前，

3
00:00:15,867 --> 00:00:19,737
我們不妨先想一下這個方程到底是什麽意思

4
00:00:19,737 --> 00:00:22,430
7x等於14，

5
00:00:22,430 --> 00:00:39,427
這也就是7乘以x等於14

6
00:00:39,427 --> 00:00:43,533
我們可以試試用已知的知識來解決這個問題

7
00:00:43,533 --> 00:00:45,743
比如想一下九九乘法表

8
00:00:45,743 --> 00:00:48,762
7乘以1等於7，所以答案應該不是1

9
00:00:48,762 --> 00:00:54,010
7乘以2等於14，所以2就是答案

10
00:00:54,010 --> 00:00:56,424
這樣我們很快就把問題解決了

11
00:00:56,424 --> 00:00:59,257
我們通過嘗試不同的數字

12
00:00:59,257 --> 00:01:01,394
迅速地得到這個問題的答案: 2

13
00:01:01,394 --> 00:01:03,716
不過我們這個影片要考慮的是

14
00:01:03,716 --> 00:01:05,666
如何係統的解決這種問題

15
00:01:05,666 --> 00:01:08,267
因爲你會逐漸發現，

16
00:01:08,267 --> 00:01:10,728
當方程變的越來越複雜，靠這種嘗試性的口算

17
00:01:10,728 --> 00:01:12,586
可能就解不出來了。

18
00:01:12,586 --> 00:01:15,418
所以最重要的是你能理解

19
00:01:15,418 --> 00:01:16,733
怎麽能通過正確的方法來解這些方程，而且明白

20
00:01:16,733 --> 00:01:18,251
我們爲什麽要這麽來解方程。

21
00:01:18,251 --> 00:01:21,920
這個方程從字面上說是7乘以x等於14。

22
00:01:21,920 --> 00:01:24,753
在代數中，我們是不用把乘號寫出來的

23
00:01:26,588 --> 00:01:28,422
當你寫兩個數字寫在一起，或者把一個數則寫在

24
00:01:28,422 --> 00:01:30,419
一個未知數旁邊的時候，大家就會明白

25
00:01:30,419 --> 00:01:32,090
你是要把他們乘在一起。

26
00:01:32,090 --> 00:01:34,087
這只是一個縮寫，一個速記符號。

27
00:01:34,087 --> 00:01:36,595
一般我們不把乘號寫出來，因爲

28
00:01:36,595 --> 00:01:41,067
乘號和x,y,z裏面的x

29
00:01:41,067 --> 00:01:42,400
很容易搞混

30
00:01:42,400 --> 00:01:49,412
當我寫7乘以x的時候， 如果我

31
00:01:49,412 --> 00:01:52,400
寫乘號的時候或者x的時候不那麽清楚，他們看起來

32
00:01:52,400 --> 00:01:54,985
可能就是兩個x或者兩個乘號

33
00:01:54,985 --> 00:01:57,400
所以通常當我們處理方程式的時候

34
00:01:57,400 --> 00:01:58,933
尤其是當中有一個未知數是x的時候，我們

35
00:01:58,933 --> 00:02:01,255
是不用把乘號寫出來的

36
00:02:01,255 --> 00:02:05,434
不過你可以用一個點號

37
00:02:05,434 --> 00:02:06,595
來代表我們在做乘法

38
00:02:06,595 --> 00:02:10,403
所以你可以寫7 點 x 等於14。

39
00:02:10,403 --> 00:02:13,004
但是大家一般都不這麽寫。

40
00:02:13,004 --> 00:02:14,908
一般我們說一個數乘以一個未知數的時候

41
00:02:14,908 --> 00:02:16,766
我們就寫7x

42
00:02:16,766 --> 00:02:19,738
這就表示7乘以x

43
00:02:19,738 --> 00:02:22,478
好了，爲了理解怎麽通過變換這個方程求解

44
00:02:22,478 --> 00:02:25,403
我們先來形象地表述一下這個方程是什麽樣的

45
00:02:25,403 --> 00:02:27,493
7乘以x是什麽意思呢？

46
00:02:27,493 --> 00:02:29,815
7乘以x也可以被重寫成等價的新形式

47
00:02:29,815 --> 00:02:32,323
我會用更簡單明了的形式表示出來

48
00:02:32,323 --> 00:02:35,388
7乘以X

49
00:02:35,388 --> 00:02:38,081
相當於7個x加在一起

50
00:02:38,081 --> 00:02:40,403
這就是乘法的定義。

51
00:02:40,403 --> 00:02:48,484
也就是x加上x，再加上x，再加上x，再加上x，數一下

52
00:02:48,484 --> 00:02:51,735
有5個x了，所以再加上兩個x

53
00:02:51,735 --> 00:02:55,589
現在就有7個x了

54
00:02:55,589 --> 00:02:57,168
也就是7乘以x

55
00:02:57,168 --> 00:02:58,143
我們把兩種形式聯在一起

56
00:02:58,143 --> 00:03:03,716
這邊就是7乘以x

57
00:03:03,716 --> 00:03:07,664
這個方程式是7乘以x等於14。

58
00:03:07,664 --> 00:03:11,472
所以只是說左邊的等於14

59
00:03:11,472 --> 00:03:14,072
讓我這邊畫14個圈

60
00:03:14,072 --> 00:03:19,831
我們一邊數一邊畫，1，2，3，4，5，6，7，8，

61
00:03:19,831 --> 00:03:23,467
9，10，11，12，13，14。

62
00:03:23,467 --> 00:03:26,936
也就是說7個x等於右邊的這14個圈

63
00:03:26,936 --> 00:03:29,398
他們是相等的

64
00:03:29,398 --> 00:03:32,741
我之所以把他畫出來就是因爲

65
00:03:32,741 --> 00:03:35,388
一會我要把兩邊都除以7的時候

66
00:03:35,388 --> 00:03:37,664
你就能更容易理解了

67
00:03:37,664 --> 00:03:39,800
我先把這裡擦幹淨

68
00:03:39,800 --> 00:03:44,398
所以標準的解法是當我們……錯了，我不是想這樣

69
00:03:44,398 --> 00:03:47,867
讓我先把那個少了圈畫出來

70
00:03:47,867 --> 00:03:53,407
一般來說，當我們把方程簡化成

71
00:03:53,407 --> 00:03:56,147
-- 所謂係數就是乘以未知數的

72
00:03:56,147 --> 00:03:57,308
某個數

73
00:03:57,308 --> 00:03:58,748
因此一個數乘以未知數也就是

74
00:03:58,748 --> 00:04:00,837
一個係數乘以未知數等於

75
00:04:00,837 --> 00:04:03,159
另一個數

76
00:04:03,159 --> 00:04:05,249
現在需要做的就是把方程兩邊都除以7

77
00:04:05,249 --> 00:04:07,757
推而廣之，就是在兩邊都除以未知數前面的係數。

78
00:04:07,757 --> 00:04:12,494
現在兩邊都除以7，我們得到什麽呢？

79
00:04:12,494 --> 00:04:16,255
7除以7

80
00:04:16,255 --> 00:04:18,252
就很簡單了

81
00:04:18,252 --> 00:04:22,664
7除以7 等於1，然後14除以7等於2

82
00:04:22,664 --> 00:04:26,751
所以最後的結果就是x等於2

83
00:04:26,751 --> 00:04:29,398
我們最後在總結一下，我們這裡

84
00:04:29,398 --> 00:04:32,742
所做的就是把方程兩邊都除以7

85
00:04:32,742 --> 00:04:36,410
兩邊都除以未知數前面的係數

86
00:04:36,410 --> 00:04:37,664
這是一個等式

87
00:04:37,664 --> 00:04:39,800
也就是說她的兩邊是相等的

88
00:04:39,800 --> 00:04:43,469
所以如果我對左邊做的任何變換，我也需要對右邊做同樣的變換

89
00:04:43,469 --> 00:04:46,163
他們一開始兩邊就是相等的，我不能只改變一邊

90
00:04:46,163 --> 00:04:48,400
而不變另一邊，否則兩邊就不再相等了

91
00:04:48,400 --> 00:04:50,482
兩邊應該是一直相等的

92
00:04:50,482 --> 00:04:54,986
在這個例子裏面，我把等式的左邊除以7，我現在把

93
00:04:54,986 --> 00:04:56,054
它分爲七組。

94
00:04:56,054 --> 00:04:59,816
也就是分成7個x，一個x，兩個x，三個

95
00:04:59,816 --> 00:05:01,813
四個，五個，六個，七個。

96
00:05:01,813 --> 00:05:04,460
確認一下，一，二，三，四，五，六，七組

97
00:05:04,460 --> 00:05:07,664
我把左邊分成了七組，我也需要

98
00:05:07,664 --> 00:05:11,400
把右面也分成七組。

99
00:05:11,400 --> 00:05:16,999
一，二，三，四，五，六，七。

100
00:05:16,999 --> 00:05:19,599
如果等式的左邊等於右面

101
00:05:19,599 --> 00:05:26,008
那麽這裡面的每一個部分，這7個小部分

102
00:05:26,008 --> 00:05:28,330
也都是相等的

103
00:05:28,330 --> 00:05:31,674
也就是說左邊的這個小部分等於右面的這個小部分

104
00:05:31,674 --> 00:05:35,064
這部分等於這部分

105
00:05:35,064 --> 00:05:36,132
他們都是相等的

106
00:05:36,132 --> 00:05:37,711
這邊有7部分，這邊也有7部分

107
00:05:37,711 --> 00:05:41,798
也就是說每個x等於右面的兩個小圓圈

108
00:05:41,798 --> 00:05:46,720
所以我們就得到x，在這道題裏面

109
00:05:46,720 --> 00:05:49,414
等於兩個小圓圈

110
00:05:49,414 --> 00:05:51,132
x等於2

111
00:05:51,132 --> 00:05:54,067
現在我們再多做兩個例子

112
00:05:54,067 --> 00:05:55,823
好讓我們更熟悉一下如何解等式

113
00:05:55,823 --> 00:05:58,005
在一邊所做的任何變換，

114
00:05:58,005 --> 00:06:00,792
再另一邊也應該做同樣的變換。

115
00:06:00,792 --> 00:06:04,507
我先騰點地方

116
00:06:04,507 --> 00:06:13,656
然後假如說我們現在的問題是3x等於15

117
00:06:13,656 --> 00:06:15,931
當然這個也比較簡單，通過往裏代不同的數口算也能很快得到答案

118
00:06:15,931 --> 00:06:18,160
3乘以一個數

119
00:06:18,160 --> 00:06:19,467
等於15

120
00:06:19,467 --> 00:06:22,247
你只要想一下九九表裏面的3的部分就可以很容易試出來

121
00:06:22,247 --> 00:06:25,498
但是如果你想係統的解出這道題

122
00:06:25,498 --> 00:06:27,820
我們也很建議大家能學會係統的解決這類問題

123
00:06:27,820 --> 00:06:30,420
我們應該想，這個式子的左邊等於右邊

124
00:06:30,420 --> 00:06:32,742
我應該怎麽做才能讓左邊

125
00:06:32,742 --> 00:06:33,718
只有x呢

126
00:06:33,718 --> 00:06:36,504
答案是我需要在兩遍都除以3

127
00:06:36,504 --> 00:06:39,801
我這麽做的原因是

128
00:06:39,801 --> 00:06:43,795
3除以3等於1

129
00:06:43,795 --> 00:06:45,400
然後等式的左邊就只剩下x了

130
00:06:45,400 --> 00:06:47,742
現在， 3乘以X等於15

131
00:06:47,742 --> 00:06:53,129
我把左邊除以3，爲了讓等式仍然成立

132
00:06:53,129 --> 00:06:57,495
我也需要把右面也除以3

133
00:06:57,495 --> 00:06:58,749
我們現在剩下什麽了呢

134
00:06:58,749 --> 00:07:01,256
等式的左邊，我們就只有

135
00:07:01,256 --> 00:07:04,414
x了，係數現在變成了1

136
00:07:04,414 --> 00:07:07,804
等式右邊呢，15除以3等於多少？

137
00:07:07,804 --> 00:07:11,752
答案是等於5

138
00:07:11,752 --> 00:07:13,749
或者我們也可以采取另一種不太一樣的解法

139
00:07:13,749 --> 00:07:16,257
當然他們背後的道理都是一樣的

140
00:07:16,257 --> 00:07:21,086
我們一開始是3乘以X等於15

141
00:07:21,086 --> 00:07:25,405
我們剛才是把兩面都除以3，當然我們也有其他的方法去把3消掉

142
00:07:25,405 --> 00:07:28,331
如果我們把兩遍都乘以1/3的話，等式的左邊也是只

143
00:07:28,331 --> 00:07:30,142
剩下X了

144
00:07:30,142 --> 00:07:34,322
現在我們就在等式的兩邊

145
00:07:34,322 --> 00:07:36,319
都乘以1/3，

146
00:07:36,319 --> 00:07:38,130
左邊的話，3的三分之一等於1

147
00:07:38,130 --> 00:07:42,170
也就是1/3乘以3

148
00:07:42,170 --> 00:07:45,932
等式左邊現在變成了1乘以x

149
00:07:45,932 --> 00:07:51,737
1乘以x等於右面的15乘以1/3也就是5

150
00:07:51,737 --> 00:07:56,799
一乘以x等於x，所以現在我們就得出了

151
00:07:56,799 --> 00:07:58,656
5等於x。

152
00:07:58,656 --> 00:08:02,046
這兩種解法其實是一樣的

153
00:08:02,046 --> 00:08:05,994
把兩邊除以3和把兩邊都乘以1/3

154
00:08:05,994 --> 00:08:10,916
結果是一樣的

155
00:08:10,916 --> 00:08:12,588
我們再做一個

156
00:08:12,588 --> 00:08:14,467
難一些的練習

157
00:08:14,467 --> 00:08:17,325
我們也把未知數的形式變一些

158
00:08:17,325 --> 00:08:36,923
現在的問題是2y加上4y等於18

159
00:08:36,923 --> 00:08:38,502
這道題就不是那麽容易

160
00:08:38,502 --> 00:08:39,663
用嘗試的辦法口算出來了

161
00:08:39,663 --> 00:08:41,334
我們需要解的是2乘以一個未知數在加上4乘以這個未知數

162
00:08:43,586 --> 00:08:45,839
等於18

163
00:08:45,839 --> 00:08:48,068
猜這個數是什麽就不像之前那麽容易了

164
00:08:48,068 --> 00:08:49,415
不過你可以試試

165
00:08:49,415 --> 00:08:52,062
加入y是1，那麽2個1再加上4個1

166
00:08:52,062 --> 00:08:53,409
結果不是18

167
00:08:53,409 --> 00:08:55,174
我們還是看看怎麽係統的解決這道問題吧

168
00:08:55,174 --> 00:08:56,752
雖然你也可以繼續往裏面代入數來解決這道題

169
00:08:56,752 --> 00:08:58,146
但更重要的是學會如何係統的解決這類問題

170
00:08:58,146 --> 00:09:00,328
讓我們再來想象一下這道題

171
00:09:00,328 --> 00:09:02,279
我們現在有兩個y，這是什麽意思呢

172
00:09:02,279 --> 00:09:09,152
這其實是說我們有兩個可以加在一起的y

173
00:09:09,152 --> 00:09:12,263
也就是y加上y

174
00:09:12,263 --> 00:09:15,003
然後我再加上另外的4個y。

175
00:09:15,003 --> 00:09:19,137
這四個y，也就是

176
00:09:19,137 --> 00:09:20,808
4個y加在一起

177
00:09:20,808 --> 00:09:24,338
y加上y，加上y再加上y

178
00:09:24,338 --> 00:09:29,075
這些y需要等於18

179
00:09:29,075 --> 00:09:35,251
我們把他們寫過來，等於18

180
00:09:35,251 --> 00:09:39,059
我們再看看等式的左邊，我們有多少個y呢

181
00:09:39,059 --> 00:09:41,149
我們數一數

182
00:09:41,149 --> 00:09:45,747
我們有一，二，三，四，五，六個y。

183
00:09:45,747 --> 00:09:48,812
我們就可以把等式簡化爲6乘以y等於18。

184
00:09:48,812 --> 00:09:51,134
如果我們想一想，這個其實很簡單

185
00:09:51,134 --> 00:09:56,799
在等式的左邊，我們有2個y加上4個y，也就是一共6個y

186
00:09:56,799 --> 00:10:00,793
2加上4等於6，很容易

187
00:10:00,793 --> 00:10:03,672
這個和2個蘋果加4個蘋果等於6個蘋果

188
00:10:03,672 --> 00:10:04,833
是一個道理

189
00:10:04,833 --> 00:10:07,620
我們有2個y加上4個y等於6個y

190
00:10:07,620 --> 00:10:10,174
然後6個y等於18

191
00:10:10,174 --> 00:10:15,422
現在我們應該就知道怎麽解決剩下的部分了

192
00:10:15,422 --> 00:10:18,162
我們有6乘以一個未知數等於18，如果我把兩面都

193
00:10:18,162 --> 00:10:22,481
除以6，我就解出來未知數了

194
00:10:22,481 --> 00:10:30,793
我們現在把左邊除以6，也把右面

195
00:10:30,793 --> 00:10:32,744
除以6

196
00:10:36,111 --> 00:10:39,478
我們剩下的就是y等於3

197
00:10:39,478 --> 00:10:40,499
你可以自己試一下。

198
00:10:40,499 --> 00:10:41,985
這個就是方程與衆不同的地方

199
00:10:41,985 --> 00:10:44,261
你可以隨時檢查你得出的答案是否正確

200
00:10:44,261 --> 00:10:45,933
我們現在就檢查一下

201
00:10:45,933 --> 00:10:52,249
2乘以3加上4乘以3等於什麽

202
00:10:52,249 --> 00:10:56,335
2乘以3等於6

203
00:10:56,335 --> 00:10:59,493
4乘以3等於12

204
00:10:59,493 --> 00:11:03,998
6加上12，果然等於18

205
00:11:03,998 --> 99:59:59,999
所以我們得到了正確的答案