ในวิดีโอนี้ ผมอยากพูดถึง
ความหมายของจำนวนเฉพาะหน่อย
และสิ่งที่คุณหวังว่าจะได้เห็นในวิดีโอนี้
นั้นเป็นหลักการที่ตรงไปตรงมา
แต่เมื่อคุณเรียนคณิตศาสตร์ไปเรื่อยๆ
คุณจะเห็นว่ามันมีหลักการที่ซับซ้อน
ซึ่งสร้างขึ้นจากเรื่องจำนวนเฉพาะ
เช่นเรื่องของรหัสวิทยา
และการเข้ารหัสที่คอมพิวเตอร์ของคุณ
ใช้อยู่ตอนนี้ ก็ใช้จำนวนเฉพาะด้วย.
ถ้าไม่รู้จักการถอดรหัส
ก็ไม่เป็นไร
คุณแ่ต้องรู้ว่าจำนวนเฉพาะเป็น
สิ่งสำคัญ. ผมจะบอกนิยามให้.
นิยามอาจฟังดูสับสน
แต่เมื่อคุณเห็นตัวอย่าง มันจะตรงไปตรงมา
จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า มันเป็นจำนวนธรรมชาติ
ตัวอย่างเช่น 1, 2 หรือ 3 (จำนวนนับ เริ่มที่ 1)
จะเรียกว่า "จำนวนเต็มบวก" ก็ได้
มันคือจำนวนธรรมชาติที่มีเลขแค่สองตัว ที่หารมันลงตัว คือ ตัวมันเองกับ 1.
มีเลขสองตัวที่หารมันลงตัว.
ถ้าคุณไม่เข้าใจ ลองดูตัวอย่างกัน.
ลองดูว่าจำนวนที่ให้มาเป็นจำนวน เฉพาะหรือไม่.
ลองเริ่มด้วยจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด.
จำนวน 1. คุณบอกว่า "1 หารด้วย 1 ลงตัว"
"1 หารตัวเองลงตัว" เฮ้! 1 เป็นจำนวนเฉพาะ!
แต่นึกดู ในนิยาม มันต้องหารด้วย
จำนวนธรรมชาติสองตัวได้ลง. 1 มีแค่ 1 ที่หารลงตัว, 1 ตัวเดียว.
1 ถึงแม้จะขัดสามัญสำนึกก แต่มัน ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.
ลองไปที่ 2.
2 หารด้วย 1 และ 2 ลงตัว ไม่มี จำนวนอื่น
มันจึงตรงไปตามเงื่อนไข.
มีจำนวนธรรมชาติแค่สองตัวที่หารมันลงตัว.
คือตัวเองกับ 1. เลข 2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ.
ผมจะวงจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะไว้.
จำนวน 2 น่าสนใจ เพราะ
มันเป็นจำนวนคู่เท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ.
ถ้าคุณคิดดู จำนวนคู่ตัวอื่น
จะหารด้วย 2 ลงตัวเช่นกัน มันจึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.
เราจะคิดอีกในวิดีโอต่อๆ ไป.
ลอง 3 บ้าง. 3 หารด้วย 1 และ 3 ลงตัวแน่นอน.
มันหารด้วยเลขอื่นระหว่างนั้นไม่ได้.
มันหารด้วย 2 ไม่ลงตัว. 3 จึง เป็นจำนวนเฉพาะด้วย.
ลอง 4 บ้าง.
4 หารด้วย 1 และ 4 ลงตัว แต่
มันหารด้วย 2 ลงตัวด้วย. มันจึงหารด้วย
เลขสามตัวลงตัว คือ 1, 2 และ 4.
มันจึงไม่ตรงตามเงื่อนไขของจำนวนเฉพาะ.
ลอง 5.
5 หารด้วย 1 ลงตัวแน่นอน.
มันหารด้วย 2,3 หรือ 4 ไม่ลงตัว.
คุณหาร 5 ด้วย 4 ได้ แต่จะเหลือเศษ.
มันหารด้วย 5 ลงตัวแน่นอน.
เหมือนเดิมมีจำนวนธรรมชาติแค่สองตัว ที่หาร 5 ลงตัว คือ 1 กับ 5
5 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน. ทำต่อไป.
ลองดูว่าเราจะเจอรูปแบบไหม
แล้วผมอาจจะลองเลขที่ยากหน่อย
ที่คนมักทำผิด. ลองเลข 6.
มันหารด้วย 1, 2, 3 และ 6 ลงตัว.
มันมี "ตัวประกอบ" จำนวนธรรมช่าติ 4 ตัว.
จะเรียกอย่างนั้นก็ได้
มันไม่ได้มีเลขที่หารมันลงตัว 2 ตัวพอดี.
มันมี 4 ตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.
ลองไปที่ 7.
7 หารด้วย 1 ลงตัว แต่ไม่ใช่ 2, 3, 4, 5 หรือ 6.
มันหารด้วย 7 ลงตัวด้วย
7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ ผมว่าคุณคงเข้าใจ หลักการทั่วไป.
มีจำนวนธรรมชาติกี่ตัว อย่าง 1, 2, 3, 4, 5
จำนวนที่คุณรู้จักตอนสองขวบ
ไม่รวมศูนย์ ไม่รวมจำนวนลบ
ไม่รวมเศษส่วน จำนวนอตรรกยะ
ทศนิยม อะไรพวกนั้น
แค่จำนวนบวกที่ใช้นับธรรมดา
ถ้าคุณมีแค่สองตัว
ถ้ามีแค่ตัวเองกับ 1 เท่านั้นที่หารลงตัว
คุณจะได้จำนวนเฉพาะ.
และวิธีที่ผมคิด
ถ้าผมไม่คิดกรณีของ 1
จำนวนเฉพาะก็เหมือนกับของพื้นฐาน ที่ใช้สร้างจำนวนต่างๆ.
คุณไม่สามารถแยกมันได้อีก.
มันเหมือนกับอะตอม.
ถ้าคุณคิดว่าอะตอมคืออะไร
หรืออย่างน้อยก็คนที่คิดถึงอะตอมตอนแรก --
เขาคิดถึงว่ามันคือสิ่ง
ที่ไม่สามารถแบ่งได้.
เรารู้แล้วว่าเราแบ่งอะตอมได้
ถ้าคุณสร้างระเบิดนิวเคลียร์.
แต่แนวคิดนี้เหมือนกับจำนวนเฉพาะ. ในทางทฤษฎี ไม่สิ จำนวนเฉพาะไม่ใช่ทฤษฎี.
คุณแบ่งมันเป็น
ผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าไม่ได้อยู่แล้ว.
เลขอย่างเช่น 6 คุณบอกว่า เฮ้ 6 คือ 2 คูณ 3
คุณแยกได้ สังเกตว่า แยกมัน
เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้.
เราแบ่งมันเป็นส่วนๆ.
7 คุณแบ่งไม่ได้อีก.
คุณก็บอกว่า 7 เท่ากับ 1 คูณ 7.
แต่ในกรณีนี้ คุณไม่ได้แบ่งอะไร.
คุณได้ 7 เหมือนเดิม.
6 คุณแบ่งได้จริงๆ.
4 คุณแบ่งได้เป็น 2 คูณ 2.
พักเรื่องนั้นไว้ แล้วลองคิดถึง
จำนวนที่มากขึ้น ลองคิด
ว่าจำนวนที่มากขึ้นเป็นจำนวนเฉพาะไหม.
ลอง 16 ดู.
แน่นอน จำนวนธรรมชาติใดๆ หารด้วย 1 กับตัวเองลงตัว.
16 หารด้วย 1 กับ 16 ลงตัว.
คุณจะเริ่มด้วย 2.
ถ้าคุณเจอเลขอื่นที่หารลงตัว
คุณก็รู้ว่ามันไม่ใช่จำนวนเฉพาะ.
และ 16 คุณมี 2 คูณ 8
คุณมี 4 คูณ 4
มันมีตัวประกอบเต็มไปหมด
นอกเหนือจาก 1 กับ 16.
16 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แล้ว 17 ล่ะ?
1 กับ 17 หาร 17 ลงตัวแน่นอน
2 ไปหาร 17 ไม่ลง, 3 ไม่ลง, 4, 5, 6, 7, 8, ..
ไม่มีจำนวนอื่นแล้ว ไม่มีอีกระหว่าง 1 กับ 17
ที่หาร 17 ลงตัว, 17 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ.
และผมจะยกตัวอย่างยากๆ บ้าง.
อันนี้หลอกคนมามาก.
51? 51 เป็นจำนวนเฉพาะไหม?
และถ้าคุณสนใจ คุณลองหยุดวิดีโอนี้
แล้วลองหาคำตอบเองก่อน
ถ้า 51 เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้าคุณหาจำนวนอื่นนอกจาก 1 กับ 51
ที่หาร 51 ลงตัวได้ แบบว่า --
ว้าว มันเป็นเลขที่แปลกมาก
คุณอาจคิดว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะ
แต่ผมจะบอกคำตอบให้.
มันไม่ใช่จำนวนเฉพาะ เพราะมันหารด้วย 3 กับ 17 ลงตัว
3 คูณ 17 ได้ 51.
หวังว่าคุณคงเข้าใจแล้ว
ว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร.
หวังว่าเราจะได้ฝึกในวิดีโอ
ต่อๆ ไปและในแบบฝึกหัดกันนะ.