WEBVTT

00:00:00.160 --> 00:00:03.367
Ebben a videóban arról 
szeretnék beszélni,

00:00:03.367 --> 00:00:07.500
hogy mit jelent az, 
hogy egy szám prím.

00:00:07.500 --> 00:00:12.584
Látni fogod, hogy ez 
egy elég egyszerű fogalom.

00:00:12.608 --> 00:00:15.302
De ahogy haladsz majd 
a matematikai tanulmányaidban,

00:00:15.302 --> 00:00:17.601
meglátod, hogy eléggé 
bonyolult elméleteket

00:00:17.601 --> 00:00:20.712
lehet a prímszám fogalmára építeni.

00:00:20.712 --> 00:00:23.359
Ezek közé tartozik a titkosítás.

00:00:23.359 --> 00:00:24.612
Talán ebben a pillanatban is

00:00:24.612 --> 00:00:25.612
olyan titkosítást használ 
a számítógéped,

00:00:25.612 --> 00:00:28.026
aminek egy része a prímszámokra épül.

00:00:28.026 --> 00:00:29.931
Ha nem tudod, mi az a titkosítás,

00:00:29.931 --> 00:00:31.718
most még nem kell aggódnod miatta.

00:00:31.718 --> 00:00:33.785
Csak annyit kell tudnod, 
hogy a prímszámok elég fontosak.

00:00:33.785 --> 00:00:36.966
Nézzük meg akkor, 
hogy mi a prímszám.

00:00:36.966 --> 00:00:39.404
A definíció egy kicsit 
bonyolultnak tűnhet,

00:00:39.404 --> 00:00:43.839
de a példákból majd láthatod, 
hogy elég egyszerű.

00:00:43.839 --> 00:00:47.666
Egy pozitív egész szám prímszám,

00:00:56.346 --> 00:01:11.154
ha pontosan két pozitív osztója van,
az 1 és önmaga.

00:01:11.154 --> 00:01:14.238
A pozitív egész számok 
az 1, 2, 3, stb. számok.

00:01:14.238 --> 00:01:15.982
Tehát pontosan két pozitív osztója van.

00:01:22.603 --> 00:01:25.474
Pontosan két osztója van
a pozitív egész számok körében.

00:01:25.474 --> 00:01:31.739
Az egyik maga a szám, 
a másik pedig az 1.

00:01:37.938 --> 00:01:40.148
Hogy jobban megértsd,
nézzünk meg néhány példát.

00:01:40.148 --> 00:01:42.665
Vizsgáljunk meg néhány számot,

00:01:42.665 --> 00:01:44.885
és döntsük el, hogy prímek vagy nem.

00:01:46.115 --> 00:01:48.948
Kezdjük a legkisebb 
pozitív egész számmal, az 1-gyel.

00:01:48.948 --> 00:01:54.598
Az 1 osztható 1-gyel 
és osztható önmagával,

00:01:54.598 --> 00:01:57.515
ezért lehet, hogy azt gondolod,
hogy az 1 prím.

00:01:57.515 --> 00:01:59.887
De gondolj vissza a definícióra,

00:01:59.887 --> 00:02:02.137
a prímszámnak pontosan két
osztója van.

00:02:02.137 --> 00:02:07.803
Az 1 viszont csak egy pozitív egész 
számmal osztható, az 1-gyel,

00:02:07.803 --> 00:02:16.673
így az 1 nem prímszám.

00:02:16.673 --> 00:02:20.504
Menjünk a kettőre.

00:02:20.504 --> 00:02:25.732
A 2 osztható 1-gyel és 2-vel,

00:02:25.732 --> 00:02:28.102
de más pozitív egész számmal nem.

00:02:28.102 --> 00:02:30.906
Ez megfelel a feltételünknek.

00:02:30.906 --> 00:02:33.948
Pontosan két pozitív egész 
számmal osztható,

00:02:33.948 --> 00:02:36.938
önmagával és az 1-gyel,

00:02:36.938 --> 00:02:40.588
így a 2 prímszám.

00:02:40.588 --> 00:02:45.079
Bekarikázom a prímszámokat.

00:02:51.619 --> 00:02:54.104
A 2 elég érdekes,

00:02:54.104 --> 00:02:56.588
mert ez az egyetlen páros szám, 
ami prím.

00:02:56.588 --> 00:02:59.166
Ha belegondolsz,
bármelyik másik páros szám

00:02:59.166 --> 00:03:01.390
osztható lesz kettővel 
az 1-en és önmagán kívül,

00:03:01.450 --> 00:03:03.620
tehát nem lehet prím.

00:03:03.620 --> 00:03:06.688
Foglalkozunk majd ezzel
a későbbi videókban.

00:03:06.688 --> 00:03:08.314
Nézzük a 3-at.

00:03:08.314 --> 00:03:11.594
A 3 természetesen osztható 
1-gyel és 3-mal,

00:03:11.594 --> 00:03:15.651
a kettő közötti számmal,
a 2-vel viszont nem osztható,

00:03:15.651 --> 00:03:20.272
ezért a 3 szintén prímszám.

00:03:20.272 --> 00:03:25.264
Próbáljuk meg a 4-et.

00:03:25.264 --> 00:03:29.676
A 4 biztosan osztató 1-gyel és 4-gyel,

00:03:29.676 --> 00:03:32.404
de osztható 2-vel is, 2-szer 2 az 4.

00:03:32.404 --> 00:03:34.244
2-vel is osztható,

00:03:34.244 --> 00:03:40.311
vagyis három pozitív egész 
osztója van, az 1, a 2 és a 3.

00:03:40.311 --> 00:03:44.723
A 4 tehát nem felel meg 
a prímszám fogalmának.

00:03:44.723 --> 00:03:48.252
Próbáljuk meg az 5-öt.

00:03:48.252 --> 00:03:51.015
Az 5 természetesen osztható 1-gyel,

00:03:51.015 --> 00:03:52.182
nem osztható 2-vel,

00:03:52.182 --> 00:03:53.682
nem osztható 3-mal,

00:03:53.682 --> 00:03:55.492
nem osztható 4-gyel maradék nélkül

00:03:55.492 --> 00:03:59.869
– eloszthatjuk az 5-öt 4-gyel, 
de lesz maradék –,

00:03:59.869 --> 00:04:03.373
de nyilvánvalóan osztható 5-tel.

00:04:03.373 --> 00:04:05.133
Így ez is pontosan két 
pozitív egész számmal osztható,

00:04:05.133 --> 00:04:10.265
az 1-gyel és az 5-tel,

00:04:10.265 --> 00:04:12.265
ezért az 5 is prímszám.

00:04:12.265 --> 00:04:17.393
Folytassuk, hátha felfedezünk 
valami szabályszerűséget.

00:04:17.393 --> 00:04:19.924
Később megnézünk egy nehezebbet,
ami kicsit becsapós.

00:04:19.924 --> 00:04:26.031
Akkor nézzük 6-ot.

00:04:26.031 --> 00:04:27.692
Ez osztható 1-gyel,

00:04:27.692 --> 00:04:28.872
osztható 2-vel,

00:04:28.872 --> 00:04:30.502
osztható 3-mal,

00:04:30.502 --> 00:04:33.572
4-gyel nem, 5-tel sem,
de 6-tal igen.

00:04:33.572 --> 00:04:37.595
Négy pozitív egész osztója van,

00:04:37.595 --> 00:04:42.613
vagyis nem pontosan két 
pozitív egész osztója van,

00:04:42.613 --> 00:04:45.693
hanem négy, 
ezért nem prímszám.

00:04:45.693 --> 00:04:48.605
Nézzük a 7-et.

00:04:48.605 --> 00:04:49.709
A 7 az osztható 1-gyel,

00:04:49.709 --> 00:04:51.029
de nem osztható sem 2-vel, 
sem 3-mal, sem 4-gyel,

00:04:51.029 --> 00:04:54.339
sem 5-tel sem 6-tal,

00:04:54.339 --> 00:04:56.251
viszont osztható 7-tel,

00:04:56.251 --> 00:04:59.234
tehát a 7 prímszám.

00:04:59.234 --> 00:05:00.794
Gondolom, most már érted az elvet.

00:05:00.794 --> 00:05:03.839
Hány pozitív egész osztót találunk

00:05:03.839 --> 00:05:05.439
– a pozitív egész szám 
olyan szám, mint az 1, 2, 3, 4, 5,

00:05:05.439 --> 00:05:07.893
amiket már kétévesen is ismertél,

00:05:07.893 --> 00:05:11.681
a nulla nem tartozik ide,
a negatív számok nem tartoznak ide,

00:05:11.681 --> 00:05:13.980
a törtek sem, a tizedes törtek sem,

00:05:13.980 --> 00:05:15.768
az irracionális számok sem,

00:05:15.768 --> 00:05:18.578
csak a megszokott számok, 
amikkel megszámoljuk a dolgokat –,

00:05:18.578 --> 00:05:21.318
ha csak kettőt találunk,

00:05:21.318 --> 00:05:23.053
ha a szám csak önmagával 
és 1-gyel osztható,

00:05:23.053 --> 00:05:24.784
akkor prímszám.

00:05:24.784 --> 00:05:27.192
A prímszámokat úgy tekinthetjük,

00:05:27.192 --> 00:05:30.897
hogy ezek valamilyen építőkövei
a számoknak.

00:05:30.897 --> 00:05:33.299
Nem lehet őket felbontani.

00:05:33.299 --> 00:05:34.809
Hasonlóak az atomokhoz,

00:05:34.809 --> 00:05:36.285
vagyis amit eleinte gondoltak
az emberek az atomokról.

00:05:36.285 --> 00:05:38.111
Azt gondolták, hogy az atomok
olyan dolgok,

00:05:38.111 --> 00:05:40.141
amiket nem lehet felbontani.

00:05:40.141 --> 00:05:42.237
Ma már tudjuk, hogy az atomokat 
fel lehet bontani

00:05:42.237 --> 00:05:44.726
– ha megpróbálod, lehet, 
hogy atomrobbanás lesz belőle.

00:05:44.726 --> 00:05:46.906
Ugyanez a gondolat van 
a prímszámok mögött,

00:05:46.906 --> 00:05:49.605
de ez nem csak egy elképzelés,

00:05:49.655 --> 00:05:52.618
mert tudjuk,
hogy nem lehet őket felbontani

00:05:52.618 --> 00:05:57.402
kisebb pozitív egész számok
szorzatára.

00:05:57.402 --> 00:06:01.256
A 6-ra mondhatjuk, hogy 2-szer 3,

00:06:01.256 --> 00:06:03.717
fel tudjuk bontani, figyeld meg,

00:06:03.717 --> 00:06:06.411
hogy két prímszám szorzatára
tudjuk bontani.

00:06:06.411 --> 00:06:08.872
Felbontjuk az alkotóelemeire.

00:06:08.872 --> 00:06:11.217
A 7-et nem lehet felbontani,

00:06:11.217 --> 00:06:14.817
csak annyit mondhatunk, hogy 7 = 1 ⋅ 7,

00:06:14.817 --> 00:06:16.930
ezzel valójában nem bontjuk fel,

00:06:16.930 --> 00:06:19.066
ez továbbra is egy hetes.

00:06:19.066 --> 00:06:20.877
A 6-ot fel tudjuk bontani,

00:06:20.877 --> 00:06:23.965
a 4-et is, úgy, hogy 2 ⋅ 2.

00:06:23.965 --> 00:06:24.882
Most, hogy mindezt tisztáztuk,

00:06:24.882 --> 00:06:25.800
nézzünk meg néhány 
nagyobb számot,

00:06:25.800 --> 00:06:27.425
és próbáljuk meg eldönteni,

00:06:27.425 --> 00:06:30.072
hogy ezek a nagyobb számok 
prímek vagy nem.

00:06:30.072 --> 00:06:34.902
Próbáljuk meg a 16-ot.

00:06:34.902 --> 00:06:37.872
Egyértelmű, hogy minden 
pozitív egész szám

00:06:37.872 --> 00:06:38.872
osztható 1-gyel és önmagával.

00:06:38.872 --> 00:06:42.262
A 16 is osztható 1-gyel és 16-tal.

00:06:42.262 --> 00:06:44.143
Az 1 és önmaga az már rögtön két osztó,

00:06:44.143 --> 00:06:46.071
és ha találunk még más számot,
ami megvan benne,

00:06:46.071 --> 00:06:48.207
akkor tudjuk, hogy nem prím.

00:06:48.207 --> 00:06:51.109
A 16 felbontható 2 ⋅ 8-ra,

00:06:51.109 --> 00:06:53.362
lehet 4 ⋅ 4 is,

00:06:53.362 --> 00:06:55.451
szóval több osztója is van
az 1 és a 16 között,

00:06:55.808 --> 00:06:59.498
ezért a 16 nem prím.

00:07:00.048 --> 00:07:02.278
Mi a helyzet a 17-tel?

00:07:02.278 --> 00:07:06.411
Az 1 és a 17 természetesen 
osztója a 17-nek,

00:07:06.411 --> 00:07:07.750
a 2 nincs meg a 17-ben, 
a 3 nincs meg,

00:07:07.750 --> 00:07:10.846
a 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

00:07:10.846 --> 00:07:14.701
egyik sincs meg a tizenhétben, 
nincs olyan szám 1 és 17 között,

00:07:14.701 --> 00:07:21.086
ami megvan benne, ezért a 17 prím.

00:07:21.086 --> 00:07:23.803
És akkor most hadd adjak egy nehezet,

00:07:23.803 --> 00:07:26.822
ez egy beugratós kérdés.

00:07:26.822 --> 00:07:34.345
Mi a helyzet az 51-gyel? 
Az 51 prím?

00:07:34.345 --> 00:07:37.480
Ha érdekel, megállíthatod a videót,

00:07:37.480 --> 00:07:39.500
és megpróbálhatod kitalálni önállóan,

00:07:39.500 --> 00:07:41.520
hogy az 51 prímszám-e.

00:07:41.520 --> 00:07:45.142
Hátha találsz valamilyen számot 
az 1-en és 51-en kívül,

00:07:45.142 --> 00:07:48.161
ami osztója az 51-nek.

00:07:48.161 --> 00:07:50.042
Úgy tűnik, mintha....
Hát, ez egy elég fura szám.

00:07:50.042 --> 00:07:52.340
Lehet, hogy azt gondolod,
hogy az 51 prím,

00:07:52.340 --> 00:07:54.268
de most megmondom a választ.

00:07:54.268 --> 00:07:59.933
Az 51 nem prím, 
mert osztható 3-mal és 17-tel,

00:07:59.933 --> 00:08:02.998
3 ⋅ 17 = 51.

00:08:02.998 --> 00:08:04.779
Remélhetőleg sikerült megérteni,

00:08:04.779 --> 00:08:06.388
mik is azok a prímszámok.

00:08:06.388 --> 00:08:09.407
Gyakoroljuk még ezt 
a következő videókban,

00:08:09.407 --> 99:59:59.999
és te is gyakorolhatod,
ha megoldod a feladatainkat.