1
00:00:00,160 --> 00:00:03,367
Ebben a videóban arról 
szeretnék beszélni,

2
00:00:03,367 --> 00:00:07,500
hogy mit jelent az, 
hogy egy szám prím.

3
00:00:07,500 --> 00:00:12,584
Látni fogod, hogy ez 
egy elég egyszerű fogalom.

4
00:00:12,608 --> 00:00:15,302
De ahogy haladsz majd 
a matematikai tanulmányaidban,

5
00:00:15,302 --> 00:00:17,601
meglátod, hogy eléggé 
bonyolult elméleteket

6
00:00:17,601 --> 00:00:20,712
lehet a prímszám fogalmára építeni.

7
00:00:20,712 --> 00:00:23,359
Ezek közé tartozik a titkosítás.

8
00:00:23,359 --> 00:00:24,612
Talán ebben a pillanatban is

9
00:00:24,612 --> 00:00:25,612
olyan titkosítást használ 
a számítógéped,

10
00:00:25,612 --> 00:00:28,026
aminek egy része a prímszámokra épül.

11
00:00:28,026 --> 00:00:29,931
Ha nem tudod, mi az a titkosítás,

12
00:00:29,931 --> 00:00:31,718
most még nem kell aggódnod miatta.

13
00:00:31,718 --> 00:00:33,785
Csak annyit kell tudnod, 
hogy a prímszámok elég fontosak.

14
00:00:33,785 --> 00:00:36,966
Nézzük meg akkor, 
hogy mi a prímszám.

15
00:00:36,966 --> 00:00:39,404
A definíció egy kicsit 
bonyolultnak tűnhet,

16
00:00:39,404 --> 00:00:43,839
de a példákból majd láthatod, 
hogy elég egyszerű.

17
00:00:43,839 --> 00:00:47,666
Egy pozitív egész szám prímszám,

18
00:00:56,346 --> 00:01:11,154
ha pontosan két pozitív osztója van,
az 1 és önmaga.

19
00:01:11,154 --> 00:01:14,238
A pozitív egész számok 
az 1, 2, 3, stb. számok.

20
00:01:14,238 --> 00:01:15,982
Tehát pontosan két pozitív osztója van.

21
00:01:22,603 --> 00:01:25,474
Pontosan két osztója van
a pozitív egész számok körében.

22
00:01:25,474 --> 00:01:31,739
Az egyik maga a szám, 
a másik pedig az 1.

23
00:01:37,938 --> 00:01:40,148
Hogy jobban megértsd,
nézzünk meg néhány példát.

24
00:01:40,148 --> 00:01:42,665
Vizsgáljunk meg néhány számot,

25
00:01:42,665 --> 00:01:44,885
és döntsük el, hogy prímek vagy nem.

26
00:01:46,115 --> 00:01:48,948
Kezdjük a legkisebb 
pozitív egész számmal, az 1-gyel.

27
00:01:48,948 --> 00:01:54,598
Az 1 osztható 1-gyel 
és osztható önmagával,

28
00:01:54,598 --> 00:01:57,515
ezért lehet, hogy azt gondolod,
hogy az 1 prím.

29
00:01:57,515 --> 00:01:59,887
De gondolj vissza a definícióra,

30
00:01:59,887 --> 00:02:02,137
a prímszámnak pontosan két
osztója van.

31
00:02:02,137 --> 00:02:07,803
Az 1 viszont csak egy pozitív egész 
számmal osztható, az 1-gyel,

32
00:02:07,803 --> 00:02:16,673
így az 1 nem prímszám.

33
00:02:16,673 --> 00:02:20,504
Menjünk a kettőre.

34
00:02:20,504 --> 00:02:25,732
A 2 osztható 1-gyel és 2-vel,

35
00:02:25,732 --> 00:02:28,102
de más pozitív egész számmal nem.

36
00:02:28,102 --> 00:02:30,906
Ez megfelel a feltételünknek.

37
00:02:30,906 --> 00:02:33,948
Pontosan két pozitív egész 
számmal osztható,

38
00:02:33,948 --> 00:02:36,938
önmagával és az 1-gyel,

39
00:02:36,938 --> 00:02:40,588
így a 2 prímszám.

40
00:02:40,588 --> 00:02:45,079
Bekarikázom a prímszámokat.

41
00:02:51,619 --> 00:02:54,104
A 2 elég érdekes,

42
00:02:54,104 --> 00:02:56,588
mert ez az egyetlen páros szám, 
ami prím.

43
00:02:56,588 --> 00:02:59,166
Ha belegondolsz,
bármelyik másik páros szám

44
00:02:59,166 --> 00:03:01,390
osztható lesz kettővel 
az 1-en és önmagán kívül,

45
00:03:01,450 --> 00:03:03,620
tehát nem lehet prím.

46
00:03:03,620 --> 00:03:06,688
Foglalkozunk majd ezzel
a későbbi videókban.

47
00:03:06,688 --> 00:03:08,314
Nézzük a 3-at.

48
00:03:08,314 --> 00:03:11,594
A 3 természetesen osztható 
1-gyel és 3-mal,

49
00:03:11,594 --> 00:03:15,651
a kettő közötti számmal,
a 2-vel viszont nem osztható,

50
00:03:15,651 --> 00:03:20,272
ezért a 3 szintén prímszám.

51
00:03:20,272 --> 00:03:25,264
Próbáljuk meg a 4-et.

52
00:03:25,264 --> 00:03:29,676
A 4 biztosan osztató 1-gyel és 4-gyel,

53
00:03:29,676 --> 00:03:32,404
de osztható 2-vel is, 2-szer 2 az 4.

54
00:03:32,404 --> 00:03:34,244
2-vel is osztható,

55
00:03:34,244 --> 00:03:40,311
vagyis három pozitív egész 
osztója van, az 1, a 2 és a 3.

56
00:03:40,311 --> 00:03:44,723
A 4 tehát nem felel meg 
a prímszám fogalmának.

57
00:03:44,723 --> 00:03:48,252
Próbáljuk meg az 5-öt.

58
00:03:48,252 --> 00:03:51,015
Az 5 természetesen osztható 1-gyel,

59
00:03:51,015 --> 00:03:52,182
nem osztható 2-vel,

60
00:03:52,182 --> 00:03:53,682
nem osztható 3-mal,

61
00:03:53,682 --> 00:03:55,492
nem osztható 4-gyel maradék nélkül

62
00:03:55,492 --> 00:03:59,869
– eloszthatjuk az 5-öt 4-gyel, 
de lesz maradék –,

63
00:03:59,869 --> 00:04:03,373
de nyilvánvalóan osztható 5-tel.

64
00:04:03,373 --> 00:04:05,133
Így ez is pontosan két 
pozitív egész számmal osztható,

65
00:04:05,133 --> 00:04:10,265
az 1-gyel és az 5-tel,

66
00:04:10,265 --> 00:04:12,265
ezért az 5 is prímszám.

67
00:04:12,265 --> 00:04:17,393
Folytassuk, hátha felfedezünk 
valami szabályszerűséget.

68
00:04:17,393 --> 00:04:19,924
Később megnézünk egy nehezebbet,
ami kicsit becsapós.

69
00:04:19,924 --> 00:04:26,031
Akkor nézzük 6-ot.

70
00:04:26,031 --> 00:04:27,692
Ez osztható 1-gyel,

71
00:04:27,692 --> 00:04:28,872
osztható 2-vel,

72
00:04:28,872 --> 00:04:30,502
osztható 3-mal,

73
00:04:30,502 --> 00:04:33,572
4-gyel nem, 5-tel sem,
de 6-tal igen.

74
00:04:33,572 --> 00:04:37,595
Négy pozitív egész osztója van,

75
00:04:37,595 --> 00:04:42,613
vagyis nem pontosan két 
pozitív egész osztója van,

76
00:04:42,613 --> 00:04:45,693
hanem négy, 
ezért nem prímszám.

77
00:04:45,693 --> 00:04:48,605
Nézzük a 7-et.

78
00:04:48,605 --> 00:04:49,709
A 7 az osztható 1-gyel,

79
00:04:49,709 --> 00:04:51,029
de nem osztható sem 2-vel, 
sem 3-mal, sem 4-gyel,

80
00:04:51,029 --> 00:04:54,339
sem 5-tel sem 6-tal,

81
00:04:54,339 --> 00:04:56,251
viszont osztható 7-tel,

82
00:04:56,251 --> 00:04:59,234
tehát a 7 prímszám.

83
00:04:59,234 --> 00:05:00,794
Gondolom, most már érted az elvet.

84
00:05:00,794 --> 00:05:03,839
Hány pozitív egész osztót találunk

85
00:05:03,839 --> 00:05:05,439
– a pozitív egész szám 
olyan szám, mint az 1, 2, 3, 4, 5,

86
00:05:05,439 --> 00:05:07,893
amiket már kétévesen is ismertél,

87
00:05:07,893 --> 00:05:11,681
a nulla nem tartozik ide,
a negatív számok nem tartoznak ide,

88
00:05:11,681 --> 00:05:13,980
a törtek sem, a tizedes törtek sem,

89
00:05:13,980 --> 00:05:15,768
az irracionális számok sem,

90
00:05:15,768 --> 00:05:18,578
csak a megszokott számok, 
amikkel megszámoljuk a dolgokat –,

91
00:05:18,578 --> 00:05:21,318
ha csak kettőt találunk,

92
00:05:21,318 --> 00:05:23,053
ha a szám csak önmagával 
és 1-gyel osztható,

93
00:05:23,053 --> 00:05:24,784
akkor prímszám.

94
00:05:24,784 --> 00:05:27,192
A prímszámokat úgy tekinthetjük,

95
00:05:27,192 --> 00:05:30,897
hogy ezek valamilyen építőkövei
a számoknak.

96
00:05:30,897 --> 00:05:33,299
Nem lehet őket felbontani.

97
00:05:33,299 --> 00:05:34,809
Hasonlóak az atomokhoz,

98
00:05:34,809 --> 00:05:36,285
vagyis amit eleinte gondoltak
az emberek az atomokról.

99
00:05:36,285 --> 00:05:38,111
Azt gondolták, hogy az atomok
olyan dolgok,

100
00:05:38,111 --> 00:05:40,141
amiket nem lehet felbontani.

101
00:05:40,141 --> 00:05:42,237
Ma már tudjuk, hogy az atomokat 
fel lehet bontani

102
00:05:42,237 --> 00:05:44,726
– ha megpróbálod, lehet, 
hogy atomrobbanás lesz belőle.

103
00:05:44,726 --> 00:05:46,906
Ugyanez a gondolat van 
a prímszámok mögött,

104
00:05:46,906 --> 00:05:49,605
de ez nem csak egy elképzelés,

105
00:05:49,655 --> 00:05:52,618
mert tudjuk,
hogy nem lehet őket felbontani

106
00:05:52,618 --> 00:05:57,402
kisebb pozitív egész számok
szorzatára.

107
00:05:57,402 --> 00:06:01,256
A 6-ra mondhatjuk, hogy 2-szer 3,

108
00:06:01,256 --> 00:06:03,717
fel tudjuk bontani, figyeld meg,

109
00:06:03,717 --> 00:06:06,411
hogy két prímszám szorzatára
tudjuk bontani.

110
00:06:06,411 --> 00:06:08,872
Felbontjuk az alkotóelemeire.

111
00:06:08,872 --> 00:06:11,217
A 7-et nem lehet felbontani,

112
00:06:11,217 --> 00:06:14,817
csak annyit mondhatunk, hogy 7 = 1 ⋅ 7,

113
00:06:14,817 --> 00:06:16,930
ezzel valójában nem bontjuk fel,

114
00:06:16,930 --> 00:06:19,066
ez továbbra is egy hetes.

115
00:06:19,066 --> 00:06:20,877
A 6-ot fel tudjuk bontani,

116
00:06:20,877 --> 00:06:23,965
a 4-et is, úgy, hogy 2 ⋅ 2.

117
00:06:23,965 --> 00:06:24,882
Most, hogy mindezt tisztáztuk,

118
00:06:24,882 --> 00:06:25,800
nézzünk meg néhány 
nagyobb számot,

119
00:06:25,800 --> 00:06:27,425
és próbáljuk meg eldönteni,

120
00:06:27,425 --> 00:06:30,072
hogy ezek a nagyobb számok 
prímek vagy nem.

121
00:06:30,072 --> 00:06:34,902
Próbáljuk meg a 16-ot.

122
00:06:34,902 --> 00:06:37,872
Egyértelmű, hogy minden 
pozitív egész szám

123
00:06:37,872 --> 00:06:38,872
osztható 1-gyel és önmagával.

124
00:06:38,872 --> 00:06:42,262
A 16 is osztható 1-gyel és 16-tal.

125
00:06:42,262 --> 00:06:44,143
Az 1 és önmaga az már rögtön két osztó,

126
00:06:44,143 --> 00:06:46,071
és ha találunk még más számot,
ami megvan benne,

127
00:06:46,071 --> 00:06:48,207
akkor tudjuk, hogy nem prím.

128
00:06:48,207 --> 00:06:51,109
A 16 felbontható 2 ⋅ 8-ra,

129
00:06:51,109 --> 00:06:53,362
lehet 4 ⋅ 4 is,

130
00:06:53,362 --> 00:06:55,451
szóval több osztója is van
az 1 és a 16 között,

131
00:06:55,808 --> 00:06:59,498
ezért a 16 nem prím.

132
00:07:00,048 --> 00:07:02,278
Mi a helyzet a 17-tel?

133
00:07:02,278 --> 00:07:06,411
Az 1 és a 17 természetesen 
osztója a 17-nek,

134
00:07:06,411 --> 00:07:07,750
a 2 nincs meg a 17-ben, 
a 3 nincs meg,

135
00:07:07,750 --> 00:07:10,846
a 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

136
00:07:10,846 --> 00:07:14,701
egyik sincs meg a tizenhétben, 
nincs olyan szám 1 és 17 között,

137
00:07:14,701 --> 00:07:21,086
ami megvan benne, ezért a 17 prím.

138
00:07:21,086 --> 00:07:23,803
És akkor most hadd adjak egy nehezet,

139
00:07:23,803 --> 00:07:26,822
ez egy beugratós kérdés.

140
00:07:26,822 --> 00:07:34,345
Mi a helyzet az 51-gyel? 
Az 51 prím?

141
00:07:34,345 --> 00:07:37,480
Ha érdekel, megállíthatod a videót,

142
00:07:37,480 --> 00:07:39,500
és megpróbálhatod kitalálni önállóan,

143
00:07:39,500 --> 00:07:41,520
hogy az 51 prímszám-e.

144
00:07:41,520 --> 00:07:45,142
Hátha találsz valamilyen számot 
az 1-en és 51-en kívül,

145
00:07:45,142 --> 00:07:48,161
ami osztója az 51-nek.

146
00:07:48,161 --> 00:07:50,042
Úgy tűnik, mintha....
Hát, ez egy elég fura szám.

147
00:07:50,042 --> 00:07:52,340
Lehet, hogy azt gondolod,
hogy az 51 prím,

148
00:07:52,340 --> 00:07:54,268
de most megmondom a választ.

149
00:07:54,268 --> 00:07:59,933
Az 51 nem prím, 
mert osztható 3-mal és 17-tel,

150
00:07:59,933 --> 00:08:02,998
3 ⋅ 17 = 51.

151
00:08:02,998 --> 00:08:04,779
Remélhetőleg sikerült megérteni,

152
00:08:04,779 --> 00:08:06,388
mik is azok a prímszámok.

153
00:08:06,388 --> 00:08:09,407
Gyakoroljuk még ezt 
a következő videókban,

154
00:08:09,407 --> 99:59:59,999
és te is gyakorolhatod,
ha megoldod a feladatainkat.