Ebben a videóban arról szeretnék beszélni,
hogy mit jelent az, hogy egy szám prím.
Látni fogod, hogy ez egy elég egyszerű fogalom.
De ahogy haladsz majd a matematikai tanulmányaidban,
meglátod, hogy eléggé bonyolult elméleteket
lehet a prímszám fogalmára építeni.
Ezek közé tartozik a titkosítás.
Talán ebben a pillanatban is
olyan titkosítást használ a számítógéped,
aminek egy része a prímszámokra épül.
Ha nem tudod, mi az a titkosítás,
most még nem kell aggódnod miatta.
Csak annyit kell tudnod, hogy a prímszámok elég fontosak.
Nézzük meg akkor, hogy mi a prímszám.
A definíció egy kicsit bonyolultnak tűnhet,
de a példákból majd láthatod, hogy elég egyszerű.
Egy pozitív egész szám prímszám,
ha pontosan két pozitív osztója van, az 1 és önmaga.
A pozitív egész számok az 1, 2, 3, stb. számok.
Tehát pontosan két pozitív osztója van.
Pontosan két osztója van a pozitív egész számok körében.
Az egyik maga a szám, a másik pedig az 1.
Hogy jobban megértsd, nézzünk meg néhány példát.
Vizsgáljunk meg néhány számot,
és döntsük el, hogy prímek vagy nem.
Kezdjük a legkisebb pozitív egész számmal, az 1-gyel.
Az 1 osztható 1-gyel és osztható önmagával,
ezért lehet, hogy azt gondolod, hogy az 1 prím.
De gondolj vissza a definícióra,
a prímszámnak pontosan két osztója van.
Az 1 viszont csak egy pozitív egész számmal osztható, az 1-gyel,
így az 1 nem prímszám.
Menjünk a kettőre.
A 2 osztható 1-gyel és 2-vel,
de más pozitív egész számmal nem.
Ez megfelel a feltételünknek.
Pontosan két pozitív egész számmal osztható,
önmagával és az 1-gyel,
így a 2 prímszám.
Bekarikázom a prímszámokat.
A 2 elég érdekes,
mert ez az egyetlen páros szám, ami prím.
Ha belegondolsz, bármelyik másik páros szám
osztható lesz kettővel az 1-en és önmagán kívül,
tehát nem lehet prím.
Foglalkozunk majd ezzel a későbbi videókban.
Nézzük a 3-at.
A 3 természetesen osztható 1-gyel és 3-mal,
a kettő közötti számmal, a 2-vel viszont nem osztható,
ezért a 3 szintén prímszám.
Próbáljuk meg a 4-et.
A 4 biztosan osztató 1-gyel és 4-gyel,
de osztható 2-vel is, 2-szer 2 az 4.
2-vel is osztható,
vagyis három pozitív egész osztója van, az 1, a 2 és a 3.
A 4 tehát nem felel meg a prímszám fogalmának.
Próbáljuk meg az 5-öt.
Az 5 természetesen osztható 1-gyel,
nem osztható 2-vel,
nem osztható 3-mal,
nem osztható 4-gyel maradék nélkül
– eloszthatjuk az 5-öt 4-gyel, de lesz maradék –,
de nyilvánvalóan osztható 5-tel.
Így ez is pontosan két pozitív egész számmal osztható,
az 1-gyel és az 5-tel,
ezért az 5 is prímszám.
Folytassuk, hátha felfedezünk valami szabályszerűséget.
Később megnézünk egy nehezebbet, ami kicsit becsapós.
Akkor nézzük 6-ot.
Ez osztható 1-gyel,
osztható 2-vel,
osztható 3-mal,
4-gyel nem, 5-tel sem, de 6-tal igen.
Négy pozitív egész osztója van,
vagyis nem pontosan két pozitív egész osztója van,
hanem négy, ezért nem prímszám.
Nézzük a 7-et.
A 7 az osztható 1-gyel,
de nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 4-gyel,
sem 5-tel sem 6-tal,
viszont osztható 7-tel,
tehát a 7 prímszám.
Gondolom, most már érted az elvet.
Hány pozitív egész osztót találunk
– a pozitív egész szám olyan szám, mint az 1, 2, 3, 4, 5,
amiket már kétévesen is ismertél,
a nulla nem tartozik ide, a negatív számok nem tartoznak ide,
a törtek sem, a tizedes törtek sem,
az irracionális számok sem,
csak a megszokott számok, amikkel megszámoljuk a dolgokat –,
ha csak kettőt találunk,
ha a szám csak önmagával és 1-gyel osztható,
akkor prímszám.
A prímszámokat úgy tekinthetjük,
hogy ezek valamilyen építőkövei a számoknak.
Nem lehet őket felbontani.
Hasonlóak az atomokhoz,
vagyis amit eleinte gondoltak az emberek az atomokról.
Azt gondolták, hogy az atomok olyan dolgok,
amiket nem lehet felbontani.
Ma már tudjuk, hogy az atomokat fel lehet bontani
– ha megpróbálod, lehet, hogy atomrobbanás lesz belőle.
Ugyanez a gondolat van a prímszámok mögött,
de ez nem csak egy elképzelés,
mert tudjuk, hogy nem lehet őket felbontani
kisebb pozitív egész számok szorzatára.
A 6-ra mondhatjuk, hogy 2-szer 3,
fel tudjuk bontani, figyeld meg,
hogy két prímszám szorzatára tudjuk bontani.
Felbontjuk az alkotóelemeire.
A 7-et nem lehet felbontani,
csak annyit mondhatunk, hogy 7 = 1 ⋅ 7,
ezzel valójában nem bontjuk fel,
ez továbbra is egy hetes.
A 6-ot fel tudjuk bontani,
a 4-et is, úgy, hogy 2 ⋅ 2.
Most, hogy mindezt tisztáztuk,
nézzünk meg néhány nagyobb számot,
és próbáljuk meg eldönteni,
hogy ezek a nagyobb számok prímek vagy nem.
Próbáljuk meg a 16-ot.
Egyértelmű, hogy minden pozitív egész szám
osztható 1-gyel és önmagával.
A 16 is osztható 1-gyel és 16-tal.
Az 1 és önmaga az már rögtön két osztó,
és ha találunk még más számot, ami megvan benne,
akkor tudjuk, hogy nem prím.
A 16 felbontható 2 ⋅ 8-ra,
lehet 4 ⋅ 4 is,
szóval több osztója is van az 1 és a 16 között,
ezért a 16 nem prím.
Mi a helyzet a 17-tel?
Az 1 és a 17 természetesen osztója a 17-nek,
a 2 nincs meg a 17-ben, a 3 nincs meg,
a 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
egyik sincs meg a tizenhétben, nincs olyan szám 1 és 17 között,
ami megvan benne, ezért a 17 prím.
És akkor most hadd adjak egy nehezet,
ez egy beugratós kérdés.
Mi a helyzet az 51-gyel? Az 51 prím?
Ha érdekel, megállíthatod a videót,
és megpróbálhatod kitalálni önállóan,
hogy az 51 prímszám-e.
Hátha találsz valamilyen számot az 1-en és 51-en kívül,
ami osztója az 51-nek.
Úgy tűnik, mintha.... Hát, ez egy elég fura szám.
Lehet, hogy azt gondolod, hogy az 51 prím,
de most megmondom a választ.
Az 51 nem prím, mert osztható 3-mal és 17-tel,
3 ⋅ 17 = 51.
Remélhetőleg sikerült megérteni,
mik is azok a prímszámok.
Gyakoroljuk még ezt a következő videókban,
és te is gyakorolhatod, ha megoldod a feladatainkat.