WEBVTT

00:00:00.493 --> 00:00:03.470
Lad os løse nogle opgaver med
sammensatte uligheder,

00:00:03.470 --> 00:00:08.107
som er er uligheder med mere
en et sæt af betingelser.

00:00:08.107 --> 00:00:10.020
Du vil se, hvad jeg mener om et øjeblik.

00:00:10.020 --> 00:00:12.371
I den første opgave har vi,

00:00:12.371 --> 00:00:18.705
at minus 5 er mindre end eller
lig med x minus 4,

00:00:18.705 --> 00:00:22.300
som er mindre end eller lig med 13.

00:00:22.300 --> 00:00:27.426
Vi har 2 sæt af betingelser for x,
som skal opfyldes i udtrykket.

00:00:27.426 --> 00:00:31.270
x minus 4 skal være større end
eller lig med minus 5,

00:00:31.270 --> 00:00:36.240
og x minus 4 skal være mindre
end eller lig med 13.

00:00:36.240 --> 00:00:40.180
Vi kan omskrive den sammensatte
uligheden til

00:00:40.180 --> 00:00:45.541
minus 5 skal være mindre end
eller lig med x minus 4,

00:00:45.541 --> 00:00:57.800
OG x minus 4 skal være mindre
end eller lig med 13.

00:00:57.800 --> 00:01:01.520
Vi løser dem hver for sig,
men vi skal huske, at der står "og",

00:01:01.520 --> 00:01:03.948
når vi finder løsninger for den
sammensatte ulighed.

00:01:03.948 --> 00:01:07.230
Det skal være løsninger, som opfylder
både den ulighed og den ulighed.

00:01:07.230 --> 00:01:09.660
Lad os løse dem hver for sig først.

00:01:09.660 --> 00:01:16.968
I den her kan vi lægge 4 til
på begge sider.

00:01:17.090 --> 00:01:21.840
På venstre side minus 5 plus 4.
Det er minus 1.

00:01:21.840 --> 00:01:26.120
Minus 1 er mindre end eller lig med x.

00:01:26.120 --> 00:01:30.557
4-tallene reduceres,
og vi har kun 1 x på højre side.

00:01:30.620 --> 00:01:36.370
Den venstre side kan forkortes til

00:01:36.370 --> 00:01:39.980
x skal være større end
eller lig med minus 1,

00:01:39.980 --> 00:01:42.280
eller minus 1 er mindre
end eller lig med x.

00:01:42.280 --> 00:01:43.580
Vi kan også skrive det som

00:01:43.580 --> 00:01:46.110
x skal være større end
eller lig med minus 1.

00:01:46.110 --> 00:01:48.703
De 2 betyder det samme.
Vi vendte bare uligheden.

00:01:48.800 --> 00:01:55.780
Lad os nu se på den anden betingelse.
Her i den grønne kasse.

00:01:55.960 --> 00:02:01.571
Lad os lægge 4 til begge på sider.

00:02:01.760 --> 00:02:04.330
På venstre side får vi bare x.

00:02:04.330 --> 00:02:09.840
På højre side får vi 13 plus 4.
Det er 17.

00:02:09.840 --> 00:02:13.800
Vi har nu, at x er mindre
end eller lig med 17.

00:02:13.800 --> 00:02:15.444
Vores 2 betingelser er,

00:02:15.444 --> 00:02:22.310
x skal være større end eller lig med
minus 1 og mindre end eller lig med 17.

00:02:22.310 --> 00:02:25.598
Vi kan omskrive det til en
sammensat ulighed.

00:02:25.700 --> 00:02:28.854
Løsningen er de x-værdier,

00:02:28.854 --> 00:02:35.457
som er mindre end eller lig med 17
og større end eller lig med minus 1.

00:02:35.550 --> 00:02:38.750
Begge betingelser skal være opfyldt.

00:02:38.750 --> 00:02:43.676
Hvordan ser det ud på en tallinje?

00:02:43.676 --> 00:02:46.250
Lad os tegne en tallinje her.

00:02:46.250 --> 00:02:48.590
Lad os sige, at det er 17.

00:02:48.590 --> 00:02:50.982
Der er 18 og så videre.

00:02:51.040 --> 00:02:52.180
Det her er 0.

00:02:52.180 --> 00:02:55.620
Der er selvfølgelig en masse tal i mellem.

00:02:55.620 --> 00:02:59.850
Her er minus 1 og der er minus 2.

00:02:59.920 --> 00:03:03.230
x er større end eller lig med minus 1,

00:03:03.230 --> 00:03:04.610
så vi starter ved minus 1.

00:03:04.610 --> 00:03:08.646
Vi fylder cirklen ud, fordi vi har
'større end eller lig med'.

00:03:08.680 --> 00:03:17.500
x er større end minus 1, men det skal også
være mindre end eller lig med 17.

00:03:17.580 --> 00:03:21.170
Det kunne være lig med 17
eller mindre end 17.

00:03:21.170 --> 00:03:25.634
Løsningerne er alle de x,
som er markeret med orange.

00:03:25.710 --> 00:03:33.489
Med interval notation skriver vi
x er mellem minus 1 og 17,

00:03:33.489 --> 00:03:37.120
og den kan også være lig med minus 1,
så den kantet parentes vender indad

00:03:37.120 --> 00:03:39.510
og den kan også være lig med 17.

00:03:39.510 --> 00:03:45.196
Det er interval notationen for løsningen
for den sammensatte ulighed.

00:03:45.330 --> 00:03:49.443
Lad os tage en mere.

00:03:49.443 --> 00:03:51.980
Lad os tage en interessant en.

00:03:51.980 --> 00:03:57.190
Vi har den sammensatte ulighed

00:03:57.190 --> 00:04:10.199
Minus 12 er mindre end 2 minus 5x,
som er mindre end eller lig med 7.

00:04:10.230 --> 00:04:14.550
En opgave, hvor der er en 'mindre end'
og en 'mindre end eller lig med'.

00:04:14.630 --> 00:04:16.829
Der er altså 2 forskellige
typer ulighedstegn,

00:04:16.829 --> 00:04:22.330
da det er godt at se et eksempel
med begge typer ulighedstegn.

00:04:22.390 --> 00:04:28.310
Først kan vi opdele den
i 2 almindelige uligheder.

00:04:28.310 --> 00:04:31.940
Her er den ene ulighed.

00:04:31.940 --> 00:04:37.530
Vi ved, at minus 12 skal være
mindre end 2 minus 5x.

00:04:37.530 --> 00:04:46.722
Det skal være opfyldt, 
OG den her ulighed skal også være opfyldt.

00:04:46.810 --> 00:04:50.740
2 minus 5x skal være mindre end 7
og større end 12,

00:04:50.740 --> 00:04:55.022
mindre end eller lig med 7
OG større end minus 12,

00:04:55.022 --> 00:05:02.140
så 2 minus 5x skal være
mindre end eller lig med 7.

00:05:02.140 --> 00:05:05.290
Dem løser vi bare hver for sig.

00:05:05.290 --> 00:05:08.050
Vi skal fjerne de 2 på venstre side her.

00:05:08.050 --> 00:05:11.730
Lad os trække 2 fra på begge
sider af den her ulighed.

00:05:11.730 --> 00:05:15.500
Når vi trækker 2 fra
begge sider af uligheden,

00:05:15.500 --> 00:05:19.560
bliver venstre side
minus 14 er mindre end

00:05:19.560 --> 00:05:23.830
-- 2 går ud -- så mindre end minus 5x.

00:05:23.830 --> 00:05:27.140
Lad os dividere begge sider med minus 5.

00:05:27.140 --> 00:05:30.129
Husk, at når vi ganger eller dividerer
med et negativt tal,

00:05:30.129 --> 00:05:32.140
skal vi vende ulighedstegnet.

00:05:32.140 --> 00:05:34.972
Når vi dividerer begge sider med minus 5,

00:05:34.972 --> 00:05:39.980
får vi minus 14 over minus 5,
og vi har 1x på højre side.

00:05:39.980 --> 00:05:43.140
Vi dividerer med minus 5 og vender tegnet,

00:05:43.140 --> 00:05:47.920
så det bliver til et 'større end'-tegn.

00:05:47.920 --> 00:05:53.980
De to minus reduceres,
og vi har 14/5 er større end x,

00:05:53.980 --> 00:05:58.580
eller x er mindre end 14/5.
Hvad giver det?

00:05:58.580 --> 00:06:01.380
Det er 2 og 4/5.

00:06:01.380 --> 00:06:04.320
x er mindre end 2 og 4/5.

00:06:04.320 --> 00:06:08.090
Vi omskrev bare den
uægte brøk til et blandet tal.

00:06:08.090 --> 00:06:10.620
Lad os se på den anden ulighed.

00:06:10.620 --> 00:06:12.630
Den her i lilla.

00:06:12.630 --> 00:06:15.210
Vi trækker 2 fra på begge
sider af den her ulighed,

00:06:15.210 --> 00:06:16.800
som vi gjorde før.

00:06:16.800 --> 00:06:20.694
Vi kunne gøre det samtidigt, 
men det bliver let uoverskueligt.

00:06:20.770 --> 00:06:24.575
For at undgå sjuskefejl er det bedst
at adskille dem, som vi gør her.

00:06:24.650 --> 00:06:27.300
Vi trækker igen 2 fra
begge sider af uligheden.

00:06:27.300 --> 00:06:30.680
Venstre side bliver minus 5x,

00:06:30.680 --> 00:06:33.100
og det er mindre end eller lig med,

00:06:33.100 --> 00:06:37.620
højre side bliver 7 minus 2, det er 5.

00:06:37.620 --> 00:06:40.780
Vi dividerer nu begge sider med minus 5.

00:06:40.780 --> 00:06:42.370
På venstre side får vi et x.

00:06:42.370 --> 00:06:46.450
På højre side er det
5 divideret med minus 5.

00:06:46.450 --> 00:06:47.600
Det er minus 1.

00:06:47.600 --> 00:06:50.943
Vi dividerer med et negativt tal, 
så vi skal vende ulighedstegnet.

00:06:50.943 --> 00:06:54.800
Det var et 'mindre end eller lig med' og
bliver til et 'større end eller lig med'.

00:06:54.800 --> 00:06:56.820
Vi har nu de 2 løsninger.

00:06:56.820 --> 00:07:00.556
x skal være mindre end 2 og 4/5,

00:07:00.556 --> 00:07:03.720
og det skal være større end
eller lig med minus 1.

00:07:03.720 --> 00:07:05.600
Vi skriver det som et interval.

00:07:05.600 --> 00:07:10.300
x skal være større end
eller lig med minus 1.

00:07:10.300 --> 00:07:13.390
Det er den nedre grænse for intervallet,

00:07:13.390 --> 00:07:19.997
og det skal være er mindre end 2 og 4/5.

00:07:19.997 --> 00:07:22.590
Læg mærke til, at det ikke er
mindre end eller lig med.

00:07:22.590 --> 00:07:25.210
Så vi har en parentes der,
(På dansk vil man bruge [ )

00:07:25.210 --> 00:07:29.580
fordi det ikke kan være lig med 2 og 4/5.
x skal være mindre end 2 og 4/5.

00:07:29.580 --> 00:07:31.502
Vi kan også skrive det på en anden måde.

00:07:31.502 --> 00:07:36.317
x skal være mindre end 2 og 4/5.

00:07:36.317 --> 00:07:40.540
Det er bare den ulighed vendt om,

00:07:40.540 --> 00:07:44.670
og det skal være større end
eller lig med minus 1.

00:07:44.670 --> 00:07:47.210
De 2 udtryk er ens.

00:07:47.210 --> 00:07:53.393
Vi kan også tegne det på en tallinje.

00:07:53.490 --> 00:08:00.410
Her er minus 1 og 2 og 4/5 er her.

00:08:00.410 --> 00:08:03.580
Der er naturligvis tal imellem.
0 er her.

00:08:03.580 --> 00:08:06.120
Det skal være større end
eller lig med minus 1.

00:08:06.120 --> 00:08:08.820
Det kan godt være lig med minus 1,
så cirklen er udfyldt.

00:08:08.820 --> 00:08:12.700
Det skal være større end minus 1
og det skal være mindre end 2 og 4/5.

00:08:12.700 --> 00:08:18.100
Det kan ikke være lig med 2 og 4/5. 
Det kan kun være mindre end,

00:08:18.100 --> 00:08:21.959
så vi sætter en tom cirkel
omkring 2 og 4/5,

00:08:21.959 --> 00:08:25.283
og så er det alle tal mindre end
hele vejen ned til minus 1.

00:08:25.283 --> 00:08:29.041
1 er med, fordi vi har
"mindre end eller lig med".

00:08:29.120 --> 00:08:34.419
Disse to opgaver kaldes "OG"-opgaver.
Vi skal opfylde begge betingelser.

00:08:34.419 --> 00:08:38.701
Lad os nu tage en "ELLER"-opgave.

00:08:38.799 --> 00:08:42.620
Lad os sige, at vi har de her uligheder.

00:08:42.620 --> 00:08:52.494
Lad os sige, at 4x minus 1
skal være større end eller lig med 7,

00:08:52.494 --> 00:09:00.170
ELLER 9x over 2 skal være mindre end 3.

00:09:00.290 --> 00:09:03.460
Når vi siger "ELLER",
er løsningerne alle de x,

00:09:03.460 --> 00:09:06.400
som vil opfylde 1 af de 2 uligheder.

00:09:06.400 --> 00:09:11.770
I de to andre opgaver skulle vi finde x,
der opfyldte begge uligheder.

00:09:11.770 --> 00:09:16.780
Her er det mere frit.
Vi skal bare opfylde 1 af de 2.

00:09:16.780 --> 00:09:19.140
Lad os finde løsninger for dem
begge hver for sig

00:09:19.140 --> 00:09:25.100
og bagefter kombinationen af alle x,
der opfylder 1 af de 2 uligheder.

00:09:25.100 --> 00:09:29.271
For den venstre del kan vi 
lægge 1 til på begge sider.

00:09:29.317 --> 00:09:31.440
Vi lægger 1 til på begge sider.

00:09:31.440 --> 00:09:38.280
På venstre side bliver det 4x er
større end eller lig med 7 plus 1.

00:09:38.280 --> 00:09:39.840
Det er 8.

00:09:39.840 --> 00:09:46.381
Vi dividerer begge sider med 4,
så x er større end eller lig med 2.

00:09:46.381 --> 00:09:47.455
ELLER

00:09:47.455 --> 00:09:48.790
Lad os nu tage den her.

00:09:48.790 --> 00:09:51.770
Hvis vi ganger begge sider med 2/9,

00:09:51.770 --> 00:09:53.070
hvad får vi så?

00:09:53.070 --> 00:09:55.485
Vi ganger begge sider med 2/9.

00:09:55.485 --> 00:09:58.570
Det er et positivt tal, så vi skal
ikke vende ulighedstegnet.

00:09:58.570 --> 00:10:06.760
Disse reduceres, og vi får
x er mindre end 3 gange 2/9.

00:10:06.760 --> 00:10:12.460
3/9 er det samme som 1/3,
så x skal være mindre end 2/3.

00:10:12.460 --> 00:10:17.280
ELLER x er mindre end 2/3.

00:10:17.280 --> 00:10:18.840
Vi har nu de 2 sæt af løsninger.

00:10:18.840 --> 00:10:23.240
x skal være større end eller lig med 2
ELLER mindre end 2/3.

00:10:23.240 --> 00:10:24.340
Det er interessant.

00:10:24.340 --> 00:10:30.904
Lad os tegne løsningerne på tallinjen.

00:10:31.240 --> 00:10:33.995
Det er vores tallinje.

00:10:33.995 --> 00:10:41.630
Det er 0, 1, 2, 3.

00:10:41.630 --> 00:10:42.940
Det er minus 1.

00:10:42.940 --> 00:10:47.493
x skal være større end eller lig med 2.

00:10:47.493 --> 00:10:54.060
Vi kan starte med 2 her og det skal 
være større end eller lig med 2,

00:10:54.060 --> 00:10:58.690
så vi inkluderer alt, der er
større end eller lig med 2.

00:10:58.690 --> 00:11:01.530
Det er den løsning dér.

00:11:01.530 --> 00:11:06.393
Den anden løsning siger, 
at x også skal være mindre end 2/3.

00:11:06.550 --> 00:11:11.120
2/3 er her omkring.

00:11:11.120 --> 00:11:13.680
Der er 2/3.

00:11:13.680 --> 00:11:16.850
x kan være mindre end 2/3.

00:11:16.850 --> 00:11:19.150
Det er interessant,

00:11:19.150 --> 00:11:21.490
for hvis vi vælger et af de her tal,

00:11:21.490 --> 00:11:23.020
vil det opfylde den her ulighed.

00:11:23.020 --> 00:11:26.070
Hvis vi vælger et af de her tal,
vil det opfylde den her ulighed.

00:11:26.070 --> 00:11:29.837
Hvis der havde stået "OG" her,
ville der ikke have været nogle tal,

00:11:29.837 --> 00:11:34.542
som opfylder den, fordi et tal kan ikke
både være større end 2 og mindre end 2/3.

00:11:34.630 --> 00:11:39.601
Grunden til, at vi har en løsning til
opgaven er, fordi det er en "eller"-opgave.

00:11:39.601 --> 00:11:41.920
x skal bare opfylde 1 af de 2 uligheder.

00:11:41.920 --> 00:11:44.941
Jeg håber, du har syntes det var
nyttigt.