1
00:00:00,000 --> 00:00:00,000
-

2
00:00:00,000 --> 00:00:03,630
Son videoda bu denklemi sıfır dışı bir v vektörü için sağlayan herhangi bir lambda değeri varsa, lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantının 0 olduğunu ispatlamıştık.

3
00:00:03,630 --> 00:00:09,910
-

4
00:00:09,910 --> 00:00:13,510
-

5
00:00:13,510 --> 00:00:15,560
-

6
00:00:15,560 --> 00:00:24,620
Veya şöyle diyebiliriz. Ancak ve ancak lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantı 0'a eşitse, lambda, A'nın özdeğeridir.

7
00:00:24,620 --> 00:00:31,780
-

8
00:00:31,780 --> 00:00:37,250
-

9
00:00:37,250 --> 00:00:39,860
-

10
00:00:39,860 --> 00:00:42,230
Şimdi bunu kullanarak özdeğer bulalım.

11
00:00:42,230 --> 00:00:45,690
-

12
00:00:45,690 --> 00:00:48,880
Basit bir 2'ye 2 matrisi seçelim.

13
00:00:48,880 --> 00:00:58,000
A eşittir 1, 2 ve 4, 3 matrisi.

14
00:00:58,000 --> 00:01:01,790
A'nın özdeğerlerini bulmak istiyorum.

15
00:01:01,790 --> 00:01:11,610
Lambda A'nın özdeğeriyse, lambda çarpı birim matris içn 2'ye 2 birim matrisini alacağım.

16
00:01:11,610 --> 00:01:16,330
-

17
00:01:16,330 --> 00:01:20,140
-

18
00:01:20,140 --> 00:01:29,230
Lambda çarpı 1, 0, 0, 1 eksi A, 1, 2, 4, 3 eşittir 0.

19
00:01:29,230 --> 00:01:30,320
-

20
00:01:30,320 --> 00:01:32,510
Bu neye eşit?

21
00:01:32,510 --> 00:01:36,170
Bu, determinant.

22
00:01:36,170 --> 00:01:39,740
Lambda çarpı bu, lambda çarpı tüm bu terimlerdir. Lambda çarpı 1 eşittir lambda. Lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 1 eşittir lambda.

23
00:01:39,740 --> 00:01:42,790
-

24
00:01:42,790 --> 00:01:47,260
-

25
00:01:47,260 --> 00:01:49,910
Ve bundan A'yı çıkaracağız.

26
00:01:49,910 --> 00:01:56,130
1, 2, 4, 3 ve bu, 0'a eşit olmalı.

27
00:01:56,130 --> 00:01:58,820
Bu matrislerin farkı ve determinant alacağız.

28
00:01:58,820 --> 00:02:00,580
-

29
00:02:00,580 --> 00:02:03,360
-

30
00:02:03,360 --> 00:02:06,670
İlk terim lambda eksi 1.

31
00:02:06,670 --> 00:02:11,540
İkinci terim 0 eksi 2, yani eksi 2.

32
00:02:11,540 --> 00:02:15,570
Üçüncü terim 0 eksi 4, yani eksi 4.

33
00:02:15,570 --> 00:02:18,310
Ve dördüncü terim de lambda eksi 3.

34
00:02:18,310 --> 00:02:23,310
-

35
00:02:23,310 --> 00:02:25,620
Bir kısa yol görebiliyoruz. Köşegen üzerindeki terimlerin, hatta tüm terimlerin eksilisini aldık, öyle değil mi?

36
00:02:25,620 --> 00:02:29,560
-

37
00:02:29,560 --> 00:02:30,550
-

38
00:02:30,550 --> 00:02:31,700
Tüm terimlerin eksilisini aldık.

39
00:02:31,700 --> 00:02:33,350
Bir de köşegen üzerindeki terimlerin önüne lambda koyduk.

40
00:02:33,350 --> 00:02:34,260
-

41
00:02:34,260 --> 00:02:37,930
Bu ifadenin yan ürünü böyle oldu.

42
00:02:37,930 --> 00:02:38,900
-

43
00:02:38,900 --> 00:02:41,990
Peki, bu 2'ye 2 matrisinin determinantı nedir?

44
00:02:41,990 --> 00:02:45,950
Bu çarpı şu eksi bu çarpı şu.

45
00:02:45,950 --> 00:02:46,940
-

46
00:02:46,940 --> 00:02:58,260
Yani lambda eksi 1 çarpı lambda eksi 3 eksi şu iki arkadaşın çarpımı.

47
00:02:58,260 --> 00:03:00,170
-

48
00:03:00,170 --> 00:03:04,480
Eksi 2 çarpı eksi 4 eşittir artı 8, eksi 8.

49
00:03:04,480 --> 00:03:09,470
Bu, buradaki matrisin determinantı veya şuradaki, sadeleşince bu matris olan matrisin determinantı.

50
00:03:09,470 --> 00:03:12,920
-

51
00:03:12,920 --> 00:03:17,510
Ve bu, 0'a eşit olmalı.

52
00:03:17,510 --> 00:03:20,180
0 olmasının sebebi ise, bu matrisin aşikar olmayan bir sıfır uzayı olması.

53
00:03:20,180 --> 00:03:22,810
-

54
00:03:22,810 --> 00:03:24,615
-

55
00:03:24,615 --> 00:03:27,860
Aşikar olmayan bir sıfır uzayı olduğu için tersi alınamaz ve determinantı 0 olmak zorundadır.

56
00:03:27,860 --> 00:03:29,790
-

57
00:03:29,790 --> 00:03:31,530
-

58
00:03:31,530 --> 00:03:33,160
Şimdi burada ilginç bir polinom denklemi oluştu.

59
00:03:33,160 --> 00:03:33,880
-

60
00:03:33,880 --> 00:03:36,030
Bunu açalım.

61
00:03:36,030 --> 00:03:37,030
Ne buluruz?

62
00:03:37,030 --> 00:03:37,960
Açalım.

63
00:03:37,960 --> 00:03:46,280
Lambda kare eksi 3 lambda eksi lambda artı 3 eksi 8 eşittir 0.

64
00:03:46,280 --> 00:03:50,880
-

65
00:03:50,880 --> 00:04:00,330
Veya lambda kare eksi 4 lambda eksi 5 eşittir 0.

66
00:04:00,330 --> 00:04:04,710
-

67
00:04:04,710 --> 00:04:09,600
Biraz terminoloji öğrenmek isterseniz, bu ifadeye karakteristik polinom diyoruz.

68
00:04:09,600 --> 00:04:12,520
-

69
00:04:12,520 --> 00:04:13,770
-

70
00:04:13,770 --> 00:04:19,100
-

71
00:04:19,100 --> 00:04:21,860
-

72
00:04:21,860 --> 00:04:24,430
Eğer A'nın özdeğerlerini bulmak isterseniz, sadece bunu çözmeniz yeterli olur.

73
00:04:24,430 --> 00:04:25,775
-

74
00:04:25,775 --> 00:04:28,310
Bu, temel bir ikinci dereceden denklem sorusu halini aldı.

75
00:04:28,310 --> 00:04:29,600
Ve çarpanlarına da ayırabiliriz.

76
00:04:29,600 --> 00:04:32,180
İki sayının çarpımı eksi 5 olacak ve toplamı eksi 4 olacak.

77
00:04:32,180 --> 00:04:34,250
-

78
00:04:34,250 --> 00:04:39,760
Sayılar eksi 5 ve artı 1 olmalı, yani lambda eksi 5 çarpı lambda artı 1 eşittir 0, öyle değil mi?

79
00:04:39,760 --> 00:04:42,580
-

80
00:04:42,580 --> 00:04:47,190
Eksi 5 çarpı 1 eşittir eksi 5 ve eksi 5 lambda artı 1 lambda eşittir eksi 4 lambda.

81
00:04:47,190 --> 00:04:50,260
-

82
00:04:50,260 --> 00:04:52,970
Böylece karakteristik denklemin, yani karakteristik polinom eşittir 0'ın iki çözümü, lambda eşittir 5 veya lambda eşittir eksi 1.

83
00:04:52,970 --> 00:04:56,740
-

84
00:04:56,740 --> 00:05:02,090
-

85
00:05:02,090 --> 00:05:05,240
Böylece bir önceki videoda ispatladığımız bilgiyi kullanarak A'nın iki özdeğerini lambda eşittir 5 ve lambda eşittir eksi 1 olarak bulduk.

86
00:05:05,240 --> 00:05:07,970
-

87
00:05:07,970 --> 00:05:15,610
-

88
00:05:15,610 --> 00:05:17,320
-

89
00:05:17,320 --> 00:05:19,500
Şimdi sadece sorunun bir kısmını yaptık, öyle değil mi?

90
00:05:19,500 --> 00:05:22,570
Hem özdeğer hem de öz yöney arıyoruz, öyle değil mi?

91
00:05:22,570 --> 00:05:24,800
-

92
00:05:24,800 --> 00:05:28,660
Bu denklemi 5 ve eksi 1 lambda değerlerinin sağladığını biliyoruz.

93
00:05:28,660 --> 00:05:30,700
-

94
00:05:30,700 --> 00:05:33,630
Özdeğerleri bulduk, ama daha öz yöneyleri bulmadık.

95
00:05:33,630 --> 00:05:35,610
-

96
00:05:35,610 --> 00:05:37,660
Bir sonraki videoda da öz yöneyleri bulacağız.

97
00:05:37,660 --> 00:05:38,910
-