-
Son videoda bu denklemi sıfır dışı bir v vektörü için sağlayan herhangi bir lambda değeri varsa, lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantının 0 olduğunu ispatlamıştık.
-
Veya şöyle diyebiliriz. Ancak ve ancak lambda çarpı birim matris eksi A'nın determinantı 0'a eşitse, lambda, A'nın özdeğeridir.
-
Şimdi bunu kullanarak özdeğer bulalım.
-
Basit bir 2'ye 2 matrisi seçelim.
A eşittir 1, 2 ve 4, 3 matrisi.
A'nın özdeğerlerini bulmak istiyorum.
Lambda A'nın özdeğeriyse, lambda çarpı birim matris içn 2'ye 2 birim matrisini alacağım.
-
Lambda çarpı 1, 0, 0, 1 eksi A, 1, 2, 4, 3 eşittir 0.
-
Bu neye eşit?
Bu, determinant.
Lambda çarpı bu, lambda çarpı tüm bu terimlerdir. Lambda çarpı 1 eşittir lambda. Lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 0 eşittir 0, lambda çarpı 1 eşittir lambda.
-
Ve bundan A'yı çıkaracağız.
1, 2, 4, 3 ve bu, 0'a eşit olmalı.
Bu matrislerin farkı ve determinant alacağız.
-
İlk terim lambda eksi 1.
İkinci terim 0 eksi 2, yani eksi 2.
Üçüncü terim 0 eksi 4, yani eksi 4.
Ve dördüncü terim de lambda eksi 3.
-
Bir kısa yol görebiliyoruz. Köşegen üzerindeki terimlerin, hatta tüm terimlerin eksilisini aldık, öyle değil mi?
-
Tüm terimlerin eksilisini aldık.
Bir de köşegen üzerindeki terimlerin önüne lambda koyduk.
-
Bu ifadenin yan ürünü böyle oldu.
-
Peki, bu 2'ye 2 matrisinin determinantı nedir?
Bu çarpı şu eksi bu çarpı şu.
-
Yani lambda eksi 1 çarpı lambda eksi 3 eksi şu iki arkadaşın çarpımı.
-
Eksi 2 çarpı eksi 4 eşittir artı 8, eksi 8.
Bu, buradaki matrisin determinantı veya şuradaki, sadeleşince bu matris olan matrisin determinantı.
-
Ve bu, 0'a eşit olmalı.
0 olmasının sebebi ise, bu matrisin aşikar olmayan bir sıfır uzayı olması.
-
Aşikar olmayan bir sıfır uzayı olduğu için tersi alınamaz ve determinantı 0 olmak zorundadır.
-
Şimdi burada ilginç bir polinom denklemi oluştu.
-
Bunu açalım.
Ne buluruz?
Açalım.
Lambda kare eksi 3 lambda eksi lambda artı 3 eksi 8 eşittir 0.
-
Veya lambda kare eksi 4 lambda eksi 5 eşittir 0.
-
Biraz terminoloji öğrenmek isterseniz, bu ifadeye karakteristik polinom diyoruz.
-
Eğer A'nın özdeğerlerini bulmak isterseniz, sadece bunu çözmeniz yeterli olur.
-
Bu, temel bir ikinci dereceden denklem sorusu halini aldı.
Ve çarpanlarına da ayırabiliriz.
İki sayının çarpımı eksi 5 olacak ve toplamı eksi 4 olacak.
-
Sayılar eksi 5 ve artı 1 olmalı, yani lambda eksi 5 çarpı lambda artı 1 eşittir 0, öyle değil mi?
-
Eksi 5 çarpı 1 eşittir eksi 5 ve eksi 5 lambda artı 1 lambda eşittir eksi 4 lambda.
-
Böylece karakteristik denklemin, yani karakteristik polinom eşittir 0'ın iki çözümü, lambda eşittir 5 veya lambda eşittir eksi 1.
-
Böylece bir önceki videoda ispatladığımız bilgiyi kullanarak A'nın iki özdeğerini lambda eşittir 5 ve lambda eşittir eksi 1 olarak bulduk.
-
Şimdi sadece sorunun bir kısmını yaptık, öyle değil mi?
Hem özdeğer hem de öz yöney arıyoruz, öyle değil mi?
-
Bu denklemi 5 ve eksi 1 lambda değerlerinin sağladığını biliyoruz.
-
Özdeğerleri bulduk, ama daha öz yöneyleri bulmadık.
-
Bir sonraki videoda da öz yöneyleri bulacağız.
-