Mamy obliczyć wartość „x”,
gdy pierwiastek kwadratowy z wyrażenia 5x² – 8
równa się 2x.
Pierwiastek z wyrażeniem mamy już wyizolowany,
więc najpierw podnieśmy obie strony równania do kwadratu.
Obie strony równania podnosimy do kwadratu.
Podniesiony do kwadratu pierwiastek z 5x² – 8 to 5x² – 8.
5x kwadrat minus 8.
A po prawej: (2x)² to jest to samo, co 2² razy x²,
czyli 4x².
Mamy teraz równanie kwadratowe.
Sprawdźmy, czy można je uprościć.
Gdy od obu stron odejmiemy 4x²…
Albo jeszcze lepiej odejmijmy 5x²,
aby iksy znalazły się po prawej stronie.
Odejmijmy 5x² od obu stron.
Odejmujemy 5x²
od obu stron równania.
Po lewej to się skraca, bo o to chodziło, i zostaje nam -8…
równa się 4x² odjąć 5x², czyli -x²,
Zapiszmy: minus x do kwadratu…
A teraz pomnóżmy obie strony przez -1,
wtedy tu będzie dodatnie 8.
Możemy też podzielić przez -1.
Minus 1 tutaj… i minus 1 tutaj.
Czyli mamy: 8 jest równe x².
Teraz, z obu stron wyciągnijmy pierwiastek kwadratowy.
Wyciągnijmy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania.
Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.
I co otrzymujemy? Od prawej strony: „x” równa się √8.
Zaś 8 można zapisać…
jako 2 razy 4.
A to z kolei można zapisać
jako √2 razy √4.
Równa się „x”. Nie przepadam za zielonym.
A pierwiastek arytmetyczny z 4 to po prostu 2.
Tu jest 2, więc ta strona wygląda tak:
2… to 2… razy √2…
równa się… równa się „x”.
Sprawdźmy, czy ten wynik faktycznie spełnia równanie.
Najpierw podstawmy do lewej strony równania.
Czyli po lewej stronie mamy:
5 razy… 2√2 do kwadratu…
razy 2√2 do kwadratu…
minus 8 – i to wszystko jest pod pierwiastkiem.
To jest tylko lewa strona równania.
To będzie pierwiastek kwadratowy…
z 5 razy 2 do kwadratu, czyli 4,
razy √2 do kwadratu, czyli 2, minus 8.
5 razy 4 to 20,
razy 2 to 40.
A 40 odjąć 8 to 32. Czyli mamy pierwiastek kwadratowy z 32.
To jest to samo, co pierwiastek z 16 razy 2,
(Pierwiastek z 16 to 4.) czyli √16 razy √2,
czyli 4√2.
Tak upraszcza się lewa strona równania.
Kiedy…
W początkowym równaniu nie było tych kwadratów.
To, co jest na zielono, uprościliśmy do 4√2.
Teraz spróbujmy uprościć 2x.
Na początku było tu tylko 2x. Nawiasy i potęgi dodaliśmy później.
A więc 2x to 2 razy 2√2.
2 · 2√2
czyli 4√2.
Gdy „x” jest równe 2√2, lewa strona to 4√2,
bo na początku lewa strona wyglądała tak.
Na początku nie było tu tego.
Zetrę to dla jasności.
Gdy podstawimy tę wartość „x” do lewej, mamy 4√2,
i gdy podstawimy do prawej, też mamy 4√2.
czyli odpowiedź na pewno…
Próbuję pisać na czarno. …na pewno jest poprawna.