0:00:15.096,0:00:16.871
這位是埃利亞的芝諾，

0:00:16.871,0:00:18.377
一位古希臘哲學家，

0:00:18.377,0:00:21.042
因發明許多悖論而聞名。

0:00:21.042,0:00:22.560
悖論是指看似有道理，

0:00:22.560,0:00:25.779
但結論卻是荒謬[br]或矛盾的論證。

0:00:25.779,0:00:27.183
兩千多年以來，

0:00:27.183,0:00:29.694
芝諾那些誤導思路的難題[br]啟發了許多

0:00:29.694,0:00:31.310
數學家與哲學家

0:00:31.310,0:00:33.746
來了解「無窮」的本質。

0:00:33.746,0:00:35.525
最有名的一個芝諾難題

0:00:35.525,0:00:37.741
叫做二分法悖論，

0:00:37.741,0:00:41.527
在古希臘文的意思就是「切割為二詭辯」。

0:00:41.527,0:00:43.315
內容大約是這樣：

0:00:43.315,0:00:46.154
芝諾在漫長地坐著沉思一天後，

0:00:46.154,0:00:48.950
決定從家裡散步到公園。

0:00:48.950,0:00:50.397
清新的空氣啟發他的心靈

0:00:50.397,0:00:51.920
並讓他想得更清楚。

0:00:51.920,0:00:53.075
要走到公園，

0:00:53.075,0:00:55.428
他必須先走到路程的中點。

0:00:55.428,0:00:56.601
他這部份的旅程

0:00:56.601,0:00:58.443
要花一些有限的時間。

0:00:58.443,0:01:00.452
一旦他到達這中點，

0:01:00.452,0:01:02.841
他必須再走到剩下距離的中點。

0:01:02.841,0:01:05.868
這又花了一些有限的時間。

0:01:05.868,0:01:08.140
一旦他到那兒，他還是必須再走到

0:01:08.140,0:01:09.882
剩下距離的中點，

0:01:09.882,0:01:12.371
那也會花另一些有限的時間。

0:01:12.371,0:01:15.522
這會一次又一次的發生。

0:01:15.522,0:01:18.195
你可以見到我們[br]永遠都在這過程打轉，

0:01:18.195,0:01:19.857
就是不斷將剩的距離分成

0:01:19.857,0:01:21.772
更小更細的路段，

0:01:21.772,0:01:25.278
每一段都須要一些[br]有限的時間才能通過。

0:01:25.278,0:01:27.958
所以，芝諾要多久才能走到公園？

0:01:27.958,0:01:30.317
嗯，要得到答案，你必須把每段路段

0:01:30.317,0:01:32.284
所花的時間加起來。

0:01:32.284,0:01:36.616
而問題是，有無限個這種[br]「有限的時間」。

0:01:36.616,0:01:39.750
所以，全部的時間也應該要是無限大嗎？

0:01:39.750,0:01:42.548
順帶一提，這個論證是很通用的。

0:01:42.548,0:01:45.092
它說明從任何地點移動到[br]任何其它地點

0:01:45.092,0:01:47.254
應該要花無窮的時間。

0:01:47.254,0:01:51.006
換句話說，它說明所有運動都是不可能的。

0:01:51.006,0:01:52.785
這個結果顯然很荒謬，

0:01:52.785,0:01:54.784
但邏輯上的瑕疵在哪裡？

0:01:54.784,0:01:55.966
要解開這個悖論，

0:01:55.966,0:01:58.731
把故事轉換成數學問題[br]會有所幫助。

0:01:58.731,0:02:01.618
我們假設芝諾的家[br]距離公園有一英里，

0:02:01.618,0:02:04.341
而芝諾每小時走一英里。

0:02:04.341,0:02:06.692
常理告訴我們這趟旅程

0:02:06.692,0:02:08.205
應該要花一小時。

0:02:08.205,0:02:10.867
但是，讓我們從芝諾的觀點來看看

0:02:10.867,0:02:13.196
並把路程分程許多小段。

0:02:13.196,0:02:15.656
最初的一段路程要花 1/2 小時，

0:02:15.656,0:02:17.782
下一段要花 1/4 小時，

0:02:17.782,0:02:20.064
而第三段要花 1/8 小時，

0:02:20.064,0:02:20.969
以此類推。

0:02:20.969,0:02:22.266
將這些時間全部加起來，

0:02:22.266,0:02:24.372
我們得到一串[br]長成這樣的級數。

0:02:24.372,0:02:25.624
「現在」，芝諾可能會說，

0:02:25.624,0:02:27.964
「因為方程式右邊有無限項，

0:02:27.964,0:02:29.621
每項又都是有限的，

0:02:29.621,0:02:31.883
它們的總和

0:02:31.883,0:02:34.518
應該是無窮，對吧？」

0:02:34.518,0:02:36.670
這就是芝諾論證的問題了。

0:02:36.670,0:02:38.855
數學家從此明白，

0:02:38.855,0:02:42.618
把無限個有限的量相加[br]是有可能得到

0:02:42.618,0:02:44.814
一個有限的答案。

0:02:44.814,0:02:45.989
「怎麼會呢？」你可能會問。

0:02:45.989,0:02:47.486
嗯，我們可以這樣想。

0:02:47.486,0:02:50.390
我們考慮一個[br]一公尺見方的正方形。

0:02:50.390,0:02:52.528
現在把這個正方形[br]分成兩半，

0:02:52.528,0:02:54.909
再把剩的分半，

0:02:54.909,0:02:56.172
接著往下做。

0:02:56.172,0:02:57.239
當我們這麼做時，

0:02:57.239,0:03:00.380
我們依序記錄每塊的面積。

0:03:00.380,0:03:02.169
最初的切片有兩部份，

0:03:02.169,0:03:04.028
每部份的面積都是 1/2，

0:03:04.028,0:03:06.545
而下一次切片把其中一個 1/2[br]再分成兩半，

0:03:06.545,0:03:07.796
依此類推。

0:03:07.796,0:03:10.227
但，無論我們切割了幾次，

0:03:10.227,0:03:14.814
整塊面積還是所有小面積的總和。

0:03:14.814,0:03:17.442
現在你可以了解[br]為什麼要選這麼特別的方式

0:03:17.442,0:03:18.971
來切割正方形。

0:03:18.971,0:03:20.888
我們已經做出了那串[br]相同的無窮級數，

0:03:20.888,0:03:23.356
就是在芝諾的旅程中[br]算出來的那串。

0:03:23.356,0:03:25.791
當我們建構了更多的藍色小方塊，

0:03:25.791,0:03:27.314
用數學的行話來說，

0:03:27.314,0:03:30.742
就是當我們取 n 趨近到無窮時的極限，

0:03:30.742,0:03:33.356
整個正方形都被藍色蓋住了。

0:03:33.356,0:03:35.427
但正方形的面積就只有 1 平方單位而已，

0:03:35.427,0:03:38.700
所以無窮項的總合一定是 1。

0:03:38.700,0:03:39.754
我們回到芝諾的旅程，

0:03:39.754,0:03:42.370
我們可以看到這悖論[br]是如何被解決的。

0:03:42.370,0:03:45.713
不止是無限項加起來可能是有限，

0:03:45.713,0:03:47.745
而且這個有限的答案還是一樣的，

0:03:47.745,0:03:50.172
和常理告訴我們的一樣 ──

0:03:50.172,0:03:52.877
芝諾的旅程要花一小時。