WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
这是埃利亚的芝诺

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
一个古希腊哲学家

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
以发现了许多悖论而著名

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
这是指，一些看上去逻辑合理

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
但是结论却很荒谬或者自相矛盾的论证

00:00:25.779 --> 00:00:27.103
两千多年来

00:00:27.103 --> 00:00:29.084
芝诺具有欺骗性的谜题们

00:00:29.084 --> 00:00:31.310
启发了数学家和哲学家们

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
更好地理解了“无穷”的本质

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
芝诺最著名的悖论之一

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
叫做两分法悖论

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
它在古希腊语中的意思是“分成两份的悖论”

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
它是这么说的

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
闲坐着思考了一天之后

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
芝诺决定从他的家走去公园

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
清新的空气能够使他的大脑更清醒

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
帮助他更好地思考

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
为了到达公园

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
他首先需要走完整段路程的前半段

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
这一段路程

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
将花费他一段有限的时间

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
当他到达整段路程的中点时

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
他又需要走完剩下路程的一半

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
同样的，这将花费他有限的一段时间

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
当他到达剩下路程的中点时，他还需要走

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
剩下路程的前半段

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
这又将花费他一段有限的时间

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
这个过程将会一次一次又一次地发生

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
你可以发现，我们可以无限地这样推导下去

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
将剩下的不论多少路程

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
分割成越来越短的路程

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
每一段都将花费他一段有限的时间

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
那么，芝诺到达公园要花多长时间？

00:01:27.958 --> 00:01:29.317
要知道这个答案

00:01:29.317 --> 00:01:32.284
你得将每一小段所花的时间加起来

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
问题是，有无限多个像这样有限长度的小段

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
那么，总时间不应该是无穷大吗？

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
顺便说一下，这个论题非常常见

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
它说的是从任何一个地点移动到任何另一个地点

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
需要花费无穷长的时间

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
换句话说，它的意思是，任何移动都是不可能实现的

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
这个结论显然很荒谬

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
但是，逻辑的瑕疵在哪呢？

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
为了解决这个悖论

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
把这个故事还原成一个数学问题会有所帮助

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
我们假设芝诺的家离公园有一英里

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
芝诺走路的速度是一英里每小时

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
常识告诉我们，整段路程的时间

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
应该是一小时

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
但是，让我们从芝诺的角度来看这个问题

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
把这整段路程分成许多小段

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
最先一半路程花费1/2小时

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
之后的一段花费1/4小时

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
第三段花费1/8小时

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
以此类推

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
把这些时间加起来

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
我们得到一个像这样的数列

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
“现在”，芝诺也许会说

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
“因为等式的右边

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
有无限项

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
而且每一项都是有限的

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
那么它们之和应该是无穷大，对吗？”

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
这就是芝诺论证的问题所在

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
数学家们后来发现

00:02:38.855 --> 00:02:42.558
将无限个有限项加总

00:02:42.558 --> 00:02:44.814
是有可能依然得到一个有限的数字的

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
“为什么？”你可能会问

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
让我们这样想一想

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
让我们从这个正方形开始，它的面积是1个单位

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
现在把这个正方形切成两半

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
然后再把剩下的一半切成两半

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
以此类推

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
当我们这么做的时候

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
让我们算一下每一部分的面积

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
第一刀分成了两份

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
每一份的面积是1/2

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
第二刀将其中的一份切成了两半

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
以此类推

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
但是，不论我们切多少次

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
总面积都是所有小份的面积之和

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
现在你可以看出我们为什么要用这样一种

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
切割正方形的方法

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
我们得到了和芝诺的路程

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
一样的无穷项的数列

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
当我们切割出一个又一个蓝色矩形的时候

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
用数学的行话来说

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
当n趋近于无限大时

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
整个正方形将被蓝色覆盖

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
但是正方形的面积就是一个单位

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
所以这无限项之和一定等于1

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
再回到芝诺的路程

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
我们现在就知道悖论怎么解开了

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
不仅仅是，无限项之和可以是有限的

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
这个有限的结果

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
还跟常识告诉我们的是相等的

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
芝诺的路程将花费一个小时