1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
这是埃利亚的芝诺

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
一个古希腊哲学家

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
以发现了许多悖论而著名

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
这是指，一些看上去逻辑合理

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
但是结论却很荒谬或者自相矛盾的论证

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,103
两千多年来

7
00:00:27,103 --> 00:00:29,084
芝诺具有欺骗性的谜题们

8
00:00:29,084 --> 00:00:31,310
启发了数学家和哲学家们

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
更好地理解了“无穷”的本质

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
芝诺最著名的悖论之一

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
叫做两分法悖论

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
它在古希腊语中的意思是“分成两份的悖论”

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
它是这么说的

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
闲坐着思考了一天之后

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
芝诺决定从他的家走去公园

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
清新的空气能够使他的大脑更清醒

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
帮助他更好地思考

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
为了到达公园

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
他首先需要走完整段路程的前半段

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
这一段路程

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
将花费他一段有限的时间

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
当他到达整段路程的中点时

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
他又需要走完剩下路程的一半

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
同样的，这将花费他有限的一段时间

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
当他到达剩下路程的中点时，他还需要走

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
剩下路程的前半段

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
这又将花费他一段有限的时间

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
这个过程将会一次一次又一次地发生

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
你可以发现，我们可以无限地这样推导下去

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
将剩下的不论多少路程

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
分割成越来越短的路程

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
每一段都将花费他一段有限的时间

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
那么，芝诺到达公园要花多长时间？

34
00:01:27,958 --> 00:01:29,317
要知道这个答案

35
00:01:29,317 --> 00:01:32,284
你得将每一小段所花的时间加起来

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
问题是，有无限多个像这样有限长度的小段

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
那么，总时间不应该是无穷大吗？

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
顺便说一下，这个论题非常常见

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
它说的是从任何一个地点移动到任何另一个地点

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
需要花费无穷长的时间

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
换句话说，它的意思是，任何移动都是不可能实现的

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
这个结论显然很荒谬

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
但是，逻辑的瑕疵在哪呢？

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
为了解决这个悖论

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
把这个故事还原成一个数学问题会有所帮助

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
我们假设芝诺的家离公园有一英里

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
芝诺走路的速度是一英里每小时

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
常识告诉我们，整段路程的时间

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
应该是一小时

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
但是，让我们从芝诺的角度来看这个问题

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
把这整段路程分成许多小段

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
最先一半路程花费1/2小时

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
之后的一段花费1/4小时

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
第三段花费1/8小时

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
以此类推

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
把这些时间加起来

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
我们得到一个像这样的数列

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
“现在”，芝诺也许会说

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
“因为等式的右边

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
有无限项

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
而且每一项都是有限的

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
那么它们之和应该是无穷大，对吗？”

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
这就是芝诺论证的问题所在

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
数学家们后来发现

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,558
将无限个有限项加总

66
00:02:42,558 --> 00:02:44,814
是有可能依然得到一个有限的数字的

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
“为什么？”你可能会问

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
让我们这样想一想

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
让我们从这个正方形开始，它的面积是1个单位

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
现在把这个正方形切成两半

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
然后再把剩下的一半切成两半

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
以此类推

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
当我们这么做的时候

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
让我们算一下每一部分的面积

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
第一刀分成了两份

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
每一份的面积是1/2

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
第二刀将其中的一份切成了两半

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
以此类推

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
但是，不论我们切多少次

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
总面积都是所有小份的面积之和

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
现在你可以看出我们为什么要用这样一种

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
切割正方形的方法

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
我们得到了和芝诺的路程

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
一样的无穷项的数列

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
当我们切割出一个又一个蓝色矩形的时候

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
用数学的行话来说

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
当n趋近于无限大时

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
整个正方形将被蓝色覆盖

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
但是正方形的面积就是一个单位

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
所以这无限项之和一定等于1

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
再回到芝诺的路程

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
我们现在就知道悖论怎么解开了

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
不仅仅是，无限项之和可以是有限的

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
这个有限的结果

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
还跟常识告诉我们的是相等的

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
芝诺的路程将花费一个小时