这是埃利亚的芝诺
一个古希腊哲学家
以发现了许多悖论而著名
这是指，一些看上去逻辑合理
但是结论却很荒谬或者自相矛盾的论证
两千多年来
芝诺具有欺骗性的谜题们
启发了数学家和哲学家们
更好地理解了“无穷”的本质
芝诺最著名的悖论之一
叫做两分法悖论
它在古希腊语中的意思是“分成两份的悖论”
它是这么说的
闲坐着思考了一天之后
芝诺决定从他的家走去公园
清新的空气能够使他的大脑更清醒
帮助他更好地思考
为了到达公园
他首先需要走完整段路程的前半段
这一段路程
将花费他一段有限的时间
当他到达整段路程的中点时
他又需要走完剩下路程的一半
同样的，这将花费他有限的一段时间
当他到达剩下路程的中点时，他还需要走
剩下路程的前半段
这又将花费他一段有限的时间
这个过程将会一次一次又一次地发生
你可以发现，我们可以无限地这样推导下去
将剩下的不论多少路程
分割成越来越短的路程
每一段都将花费他一段有限的时间
那么，芝诺到达公园要花多长时间？
要知道这个答案
你得将每一小段所花的时间加起来
问题是，有无限多个像这样有限长度的小段
那么，总时间不应该是无穷大吗？
顺便说一下，这个论题非常常见
它说的是从任何一个地点移动到任何另一个地点
需要花费无穷长的时间
换句话说，它的意思是，任何移动都是不可能实现的
这个结论显然很荒谬
但是，逻辑的瑕疵在哪呢？
为了解决这个悖论
把这个故事还原成一个数学问题会有所帮助
我们假设芝诺的家离公园有一英里
芝诺走路的速度是一英里每小时
常识告诉我们，整段路程的时间
应该是一小时
但是，让我们从芝诺的角度来看这个问题
把这整段路程分成许多小段
最先一半路程花费1/2小时
之后的一段花费1/4小时
第三段花费1/8小时
以此类推
把这些时间加起来
我们得到一个像这样的数列
“现在”，芝诺也许会说
“因为等式的右边
有无限项
而且每一项都是有限的
那么它们之和应该是无穷大，对吗？”
这就是芝诺论证的问题所在
数学家们后来发现
将无限个有限项加总
是有可能依然得到一个有限的数字的
“为什么？”你可能会问
让我们这样想一想
让我们从这个正方形开始，它的面积是1个单位
现在把这个正方形切成两半
然后再把剩下的一半切成两半
以此类推
当我们这么做的时候
让我们算一下每一部分的面积
第一刀分成了两份
每一份的面积是1/2
第二刀将其中的一份切成了两半
以此类推
但是，不论我们切多少次
总面积都是所有小份的面积之和
现在你可以看出我们为什么要用这样一种
切割正方形的方法
我们得到了和芝诺的路程
一样的无穷项的数列
当我们切割出一个又一个蓝色矩形的时候
用数学的行话来说
当n趋近于无限大时
整个正方形将被蓝色覆盖
但是正方形的面积就是一个单位
所以这无限项之和一定等于1
再回到芝诺的路程
我们现在就知道悖论怎么解开了
不仅仅是，无限项之和可以是有限的
这个有限的结果
还跟常识告诉我们的是相等的
芝诺的路程将花费一个小时