Đây là Zeno ở xứ Elea,
một nhà triết học Hy Lạp cổ đại
nổi tiếng vì đã đề ra rất nhiều những nghịch lý,
lý lẽ nghe thì tưởng chừng rất hợp lý,
nhưng kết luận lại rất mâu thuẫn và vô lý.
Hơn 2000 năm trước,
câu đố kì lạ của Zeno đã tạo nên nguồn cảm hứng cho
các nhà toán học và triết học
hiểu thêm về bản chất của "infinity" (sự vô hạn).
Một trong những vấn đề nổi tiếng nhất Zeno nêu ra
là "nghịch lý lưỡng phân", ("the dichotomy paradox")
trong tiếng Hy Lạp cổ có nghĩa là "nghịch lý của sự phân đôi"
Nó là như thế này:
Sau một ngày dài ngồi một chỗ và suy nghĩ,
Zeno quyết định đi bộ từ nhà của ông đến công viên.
Không khí trong lành làm đầu óc của ông thoáng đãng
và giúp ông suy nghĩ thấu đáo hơn.
Để đến công viên,
trước tiên ông phải đi hết nửa đoạn đường đến đó.
Phần hành trình này
tốn một khoảng thời gian nhất định.
Khi ông đến được nửa đường,
ông phải đi được nửa quãng đường còn lại.
Một lần nữa, sẽ mất một khoảng thời gian hữu hạn nhất định.
Khi ông đến được đó, ông lại phải đi bộ
một nửa quãng đường còn lại,
lại tốn một lượng thời gian hữu hạn nhất định.
Cứ tiếp tục như thế mãi.
Bạn có thể thấy rằng quá trình này sẽ diễn ra mãi mãi,
chia đôi quãng đường còn lại
thành từng phần nhỏ hơn và nhỏ hơn,
mỗi phần lại tốn một khoảng thời gian hữu hạn nhất định.
Thế, Zeno mất bao lâu để đến được công viên?
Để tìm ra kết quả, bạn cần phải thêm thời gian
cho từng quãng đường trong chuyến đi này.
Vấn đề là, có "vô hạn" những quãng đường "hữu hạn".
Bởi vậy, phải chăng tổng thời gian là vô hạn?
Hơn nữa, lý lẽ này hoàn toàn tổng quát.
Nó nói rằng để đi từ địa điểm này đến một địa điểm khác
ta sẽ phải tốn một lượng "vô hạn" thời gian.
Nói một cách khác, sự di chuyển này là bất khả thi.
Câu kết luận rõ ràng là vô lý,
nhưng đâu là sai lầm trong lý luận này?
Nhằm giải quyết nghịch lý này,
ta cần phải biến câu chuyện thành một bài toán.
Giả sử quãng đường từ nhà Zeno đến công viên là 1 dặm
và ông đi được 1 dặm trong 1 giờ.
Lẽ tự nhiên ta biết rằng thời gian của chuyến đi này
là 1 tiếng.
Nhưng, hãy xem xét mọi thứ từ điểm nhìn của Zeno
và phân chia chuyến đi ra từng phần.
Nửa đầu chuyến đi tốn "một nửa" giờ đồng hồ,
phần tiếp theo mất một phần tư giờ,
phần thứ ba mất một phần tám giờ,
và cứ thế.
Cộng tất cả quãng thời gian này,
ta sẽ có được một chuỗi tổng trông như thế này.
"Bây giờ", Zeno có lẽ đã nói,
"vì ở đây có vô hạn số hạng
ở phía bên phải của phương trình,
và từng hạng tử là hữu hạn,
tổng tất nhiên phải bằng vô hạn?"
Đây chính là vấn đề trong lý lẽ của Zeno.
Các nhà toán học đã nhận ra rằng:
Hoàn toàn có thể cộng vô số số hạng có giá trị hữu hạn
và vẫn nhận được một kết quả hữu hạn.
"Bằng cách nào?", bạn thắc mắc.
Để hiểu được, hãy suy nghĩ theo cách như sau.
Bắt đầu với một hình vuông có diện tích 1 mét vuông.
Bây giờ, chẻ đôi hình vuông ra,
và lại chẻ đôi một nửa đó,
và tiếp tục.
Khi chúng ta làm như vậy,
Hãy ghi lại diện tích của từng mảnh.
Lần chẻ đầu tiên cho bạn hai phần,
mỗi phần "1/2" mét vuông.
Lần chẻ tiếp theo, một trong hai phần đó lại bị chia đôi,
và cứ thế tiếp tục.
Nhưng, dù ta có chẻ đôi bao nhiều lần đi chăng nữa,
tổng diện tích của các mảnh ấy vẫn là diện tích của hình vuông ban đầu.
Bây giờ, các bạn có thể hiểu tại sao ta lại chọn cách này
để cắt hình vuông ấy.
Ta vừa thu được cùng một chuỗi vô hạn
như chuỗi thời gian của chuyến đi của Zeno.
Khi ta tạo ra càng nhiều mảnh màu xanh,
theo ngôn ngữ toán học,
cũng giống như việc ta cho n tiến tới vô hạn,
cả hình vuông được biến thành màu xanh.
Nhưng vì diện tích của hình vuông chỉ là 1,
nên cái tổng vô hạn này cũng phải bằng 1.
Trở lại với chuyến đi của Zeno,
ta sẽ thấy nghịch lý được giải quyết thế nào.
Không những chuỗi vô hạn có tổng mang giá trị là một số hữu hạn,
mà giá trị hữu hạn ấy còn giống hệt như những gì
theo thông lý, chúng ta tin là đúng.
Chuyến đi của Zeno mất 1 tiếng đồng hồ.