Bu Elealı Zeno,
kurduğu argümanları mantıklı
ama sonuçları absürd veya çelişkili olan
çeşitli paradokslarıyla ünlü
bir Antik Yunan filozofu.
2000 yılı aşkın bir süredir
Zeno'nun akıl çelici bilmeceleri,
matematikçilere ve filozoflara
sonsuzluğu daha iyi anlama konusunda ilham vermiştir.
Zeno'nun en bilinen problemlerinden biri,
Antik Yunancada "ikiye ayırma paradoksu"
anlamına gelen dikotomi paradoksudur.
Şöyle bir paradokstur:
Tüm gün boyunca oturup düşündükten sonra
Zeno evinden parka yürümeye karar verir.
Temiz hava aklını ferahlatır
ve daha iyi düşünmesini sağlar.
Parka varabilmek için
önce yolun yarısını yürümesi gerekmektedir.
Yolculuğunun bu kısmı
belirli bir süre alır.
Orta noktaya geldiği zaman,
kalan uzaklığın yarısını yürümesi gerekmektedir.
Aynı şekilde bu da belirli bir zaman alır.
İkinci noktaya vardığında hala
kalan mesafenin yarısını yürümelidir,
bu da aynı şekilde belirli bir zaman alır.
Bu tekrar ve tekrar gerçekleşir.
Gördüğünüz gibi, her bir geçişi belirli
bir süre alan mesafeleri giderek,
daha küçük parçalara bölerek
bunu sonsuza kadar yapabiliriz.
Öyleyse Zeno'nun parka varması ne kadar sürer?
Bunu anlamak için yolculuğun her parçasının
aldığı zamanı toplamalısınız.
Buradaki problem, bu küçük parçalardan sonsuz tane olması.
Dolayısıyla toplam zaman sonsuz olmalı, değil mi?
Bu arada, buradaki argüman tamamen genel.
Paradoksa göre herhangi bir lokasyondan
bir diğerine gitmek sonsuz zaman almalı.
Başka bir deyişle, her hareket imkansızdır.
Bu sonuç bariz bir şekilde absürt,
ama mantığındaki kusur nerede?
Paradoksu çözmek için
hikayeyi matematik sorusuna çevirmek yardımcı olabilir.
Zeno'nun evinin parktan bir kilometre uzakta olduğunu
ve Zeno'nun saatte bir kilometre yürüdüğünü farz edelim.
Genel bilgimize göre bu yolculuk
bir saat kadar sürmeli.
Hadi olaya bir de Zeno'nun bakış açısından bakalım
ve yolu parçalara bölelim.
Yolculuğun ilk yarısı yarım saat alır,
ikinci kısmı 15 dakika sürer,
üçüncü kısmı ise bir saatin 1/8'i kadar
ve bu böyle gider.
Tüm bu süreleri toplayınca
buna benzer bir düzen elde ederiz.
Zeno şöyle diyebilirdi:
"Şimdi, sağ tarafta elemanlardan sonsuz tane
olduğundan ve her eleman
sonlu olduğundan,
toplam sonsuza eşit olmalı, değil mi?"
Zeno'nun argümanındaki sıkıntı işte burada.
Matematikçilerin de artık bildiği gibi,
sonsuz tane sonlu elemanı toplayıp
sonlu bir cevap elde etmek mümkün.
Nasıl mı?
Şöyle düşünelim:
Bir metrekarelik alanı olan bir kareyle başlayalım.
Şimdi kareyi ortadan ikiye bölelim,
sonra da kalan yarıyı ikiye bölelim
ve böyle devam edelim.
Bunu yaparken de
parçaların alanlarını gözlemleyelim.
İlk bölme iki parça oluşturur,
iki parçanın da alanı yarımdır.
İkinci bölüş de bu yarımlardan birini yarıya böler
ve bu düzen devam eder.
Ama kutuları ne kadar bölersek bölelim,
toplam alan hala tüm parçaların alanlarının toplamıdır.
Şimdi neden kareyi kesmek için bu yöntemi
seçtiğimizi anlayabilirsiniz.
Zeno'nun yolculuğundaki zamanda
elde ettiğimiz sonsuz diziyi elde ettik.
Gittikçe daha fazla mavi parça oluştururken
matematik jargonunu kullanırsak
ve n sonsuza giderken limitini alırsak
bütün kare maviyle kaplanır.
Ama karenin alanı sadece 1 birimdir,
bü yüzden de sonsuz toplam 1'e eşit olmalıdır.
Zeno'nun yolculuğuna dönersek
paradoksun nasıl çözüldüğünü şimdi anlayabiliriz.
Sonsuz serinin toplamı yalnızca sonlu bir cevap vermekle kalmıyor,
o sonlu cevap aynı zamanda
sağduyumuzun bize doğru olduğunu söylediği cevap.
Zeno'nun yolcuğulu bir saat sürüyor.