0:00:15.096,0:00:16.871
Bu Elealı Zeno,

0:00:16.871,0:00:18.377
kurduğu argümanları mantıklı

0:00:18.377,0:00:21.042
ama sonuçları absürd veya çelişkili olan

0:00:21.042,0:00:22.560
çeşitli paradokslarıyla ünlü

0:00:22.560,0:00:25.779
bir Antik Yunan filozofu.

0:00:25.779,0:00:27.183
2000 yılı aşkın bir süredir

0:00:27.183,0:00:29.694
Zeno'nun akıl çelici bilmeceleri,[br]

0:00:29.694,0:00:31.240
matematikçilere ve filozoflara

0:00:31.240,0:00:33.736
sonsuzluğu daha iyi anlama[br]konusunda ilham vermiştir.

0:00:33.736,0:00:35.715
Zeno'nun en bilinen problemlerinden biri,

0:00:35.715,0:00:37.741
Antik Yunancada "ikiye ayırma paradoksu"

0:00:37.741,0:00:41.527
anlamına gelen dikotomi paradoksudur.

0:00:41.527,0:00:43.315
Şöyle bir paradokstur:

0:00:43.315,0:00:46.154
Tüm gün boyunca oturup düşündükten sonra

0:00:46.154,0:00:48.950
Zeno evinden parka yürümeye karar verir.

0:00:48.950,0:00:50.397
Temiz hava aklını ferahlatır

0:00:50.397,0:00:51.920
ve daha iyi düşünmesini sağlar.

0:00:51.920,0:00:53.075
Parka varabilmek için

0:00:53.075,0:00:55.428
önce yolun yarısını yürümesi [br]gerekmektedir.

0:00:55.428,0:00:56.601
Yolculuğunun bu kısmı

0:00:56.601,0:00:58.443
belirli bir süre alır.

0:00:58.443,0:01:00.452
Orta noktaya geldiği zaman,

0:01:00.452,0:01:02.841
kalan uzaklığın yarısını[br]yürümesi gerekmektedir.

0:01:02.841,0:01:05.868
Aynı şekilde bu da belirli bir zaman alır.

0:01:05.868,0:01:08.040
İkinci noktaya vardığında hala

0:01:08.040,0:01:09.882
kalan mesafenin yarısını yürümelidir,

0:01:09.882,0:01:12.371
bu da aynı şekilde belirli bir zaman alır.

0:01:12.371,0:01:15.522
Bu tekrar ve tekrar gerçekleşir.

0:01:15.522,0:01:18.195
Gördüğünüz gibi, her bir geçişi belirli

0:01:18.195,0:01:19.857
bir süre alan mesafeleri giderek,

0:01:19.857,0:01:21.772
daha küçük parçalara bölerek

0:01:21.772,0:01:25.278
bunu sonsuza kadar yapabiliriz.

0:01:25.278,0:01:27.958
Öyleyse Zeno'nun parka varması [br]ne kadar sürer?

0:01:27.958,0:01:30.317
Bunu anlamak için[br]yolculuğun her parçasının

0:01:30.317,0:01:32.284
aldığı zamanı toplamalısınız.

0:01:32.284,0:01:36.616
Buradaki problem, bu küçük parçalardan[br]sonsuz tane olması.

0:01:36.616,0:01:39.750
Dolayısıyla toplam zaman[br]sonsuz olmalı, değil mi?

0:01:39.750,0:01:42.548
Bu arada, buradaki argüman tamamen genel.

0:01:42.548,0:01:45.092
Paradoksa göre herhangi bir lokasyondan

0:01:45.092,0:01:47.254
bir diğerine gitmek sonsuz zaman almalı.

0:01:47.254,0:01:51.006
Başka bir deyişle,[br]her hareket imkansızdır.

0:01:51.006,0:01:52.785
Bu sonuç bariz bir şekilde absürt,

0:01:52.785,0:01:54.784
ama mantığındaki kusur nerede?

0:01:54.784,0:01:55.966
Paradoksu çözmek için

0:01:55.966,0:01:58.731
hikayeyi matematik sorusuna [br]çevirmek yardımcı olabilir.

0:01:58.731,0:02:01.618
Zeno'nun evinin parktan[br]bir kilometre uzakta olduğunu

0:02:01.618,0:02:04.341
ve Zeno'nun saatte bir kilometre[br]yürüdüğünü farz edelim.

0:02:04.341,0:02:06.692
Genel bilgimize göre bu yolculuk

0:02:06.692,0:02:08.205
bir saat kadar sürmeli.

0:02:08.205,0:02:10.867
Hadi olaya bir de Zeno'nun [br]bakış açısından bakalım

0:02:10.867,0:02:13.196
ve yolu parçalara bölelim.

0:02:13.196,0:02:15.656
Yolculuğun ilk yarısı yarım saat alır,

0:02:15.656,0:02:17.782
ikinci kısmı 15 dakika sürer,

0:02:17.782,0:02:20.064
üçüncü kısmı ise bir saatin 1/8'i kadar

0:02:20.064,0:02:20.969
ve bu böyle gider.

0:02:20.969,0:02:22.266
Tüm bu süreleri toplayınca

0:02:22.266,0:02:24.372
buna benzer bir düzen elde ederiz.

0:02:24.372,0:02:25.624
Zeno şöyle diyebilirdi:

0:02:25.624,0:02:27.964
"Şimdi, sağ tarafta[br]elemanlardan sonsuz tane

0:02:27.964,0:02:29.621
olduğundan ve her eleman

0:02:29.621,0:02:31.883
sonlu olduğundan,

0:02:31.883,0:02:34.518
toplam sonsuza eşit olmalı, değil mi?"

0:02:34.518,0:02:36.670
Zeno'nun argümanındaki[br]sıkıntı işte burada.

0:02:36.670,0:02:38.855
Matematikçilerin de artık bildiği gibi,

0:02:38.855,0:02:42.618
sonsuz tane sonlu elemanı toplayıp

0:02:42.618,0:02:44.814
sonlu bir cevap elde etmek mümkün.

0:02:44.814,0:02:45.989
Nasıl mı?

0:02:45.989,0:02:47.486
Şöyle düşünelim:

0:02:47.486,0:02:50.390
Bir metrekarelik alanı olan[br]bir kareyle başlayalım.

0:02:50.390,0:02:52.528
Şimdi kareyi ortadan ikiye bölelim,

0:02:52.528,0:02:54.909
sonra da kalan yarıyı ikiye bölelim

0:02:54.909,0:02:56.172
ve böyle devam edelim.

0:02:56.172,0:02:57.239
Bunu yaparken de

0:02:57.239,0:03:00.380
parçaların alanlarını gözlemleyelim.

0:03:00.380,0:03:02.169
İlk bölme iki parça oluşturur,

0:03:02.169,0:03:04.028
iki parçanın da alanı yarımdır.

0:03:04.028,0:03:06.545
İkinci bölüş de bu yarımlardan[br]birini yarıya böler

0:03:06.545,0:03:07.796
ve bu düzen devam eder.

0:03:07.796,0:03:10.227
Ama kutuları ne kadar bölersek bölelim,

0:03:10.227,0:03:14.814
toplam alan hala tüm parçaların [br]alanlarının toplamıdır.

0:03:14.814,0:03:17.442
Şimdi neden kareyi kesmek için bu yöntemi

0:03:17.442,0:03:18.971
seçtiğimizi anlayabilirsiniz.

0:03:18.971,0:03:20.888
Zeno'nun yolculuğundaki zamanda

0:03:20.888,0:03:23.356
elde ettiğimiz sonsuz diziyi elde ettik.

0:03:23.356,0:03:25.791
Gittikçe daha fazla mavi[br]parça oluştururken

0:03:25.791,0:03:27.314
matematik jargonunu kullanırsak

0:03:27.314,0:03:30.742
ve n sonsuza giderken limitini alırsak

0:03:30.742,0:03:33.356
bütün kare maviyle kaplanır.

0:03:33.356,0:03:35.427
Ama karenin alanı sadece 1 birimdir,

0:03:35.427,0:03:38.700
bü yüzden de sonsuz toplam [br]1'e eşit olmalıdır.

0:03:38.700,0:03:40.204
Zeno'nun yolculuğuna dönersek

0:03:40.204,0:03:42.530
paradoksun nasıl[br]çözüldüğünü şimdi anlayabiliriz.

0:03:42.530,0:03:45.713
Sonsuz serinin toplamı yalnızca[br]sonlu bir cevap vermekle kalmıyor,

0:03:45.713,0:03:47.745
o sonlu cevap aynı zamanda

0:03:47.745,0:03:50.172
sağduyumuzun bize doğru[br]olduğunu söylediği cevap.

0:03:50.172,0:03:52.877
Zeno'nun yolcuğulu bir saat sürüyor.