WEBVTT

00:00:15.100 --> 00:00:16.871
Ovo je Zenon od Eleje,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
antički Grčki filozof

00:00:18.377 --> 00:00:20.972
poznat po tome što je izumeo
veliki broj paradoksa,

00:00:20.972 --> 00:00:22.590
argumenata koji se čine logičnim,

00:00:22.590 --> 00:00:24.280
ali čiji zaključak je apsurdan 


00:00:24.280 --> 00:00:25.719
ili kontradiktoran.

00:00:25.719 --> 00:00:27.183
Više od 2000 godina,

00:00:27.183 --> 00:00:29.070
Zenonove zbunjujuće zagonetke


00:00:29.070 --> 00:00:31.310
inspirišu matematičare i filozofe

00:00:31.310 --> 00:00:33.546
da bolje razumeju prirodu beskonačnosti.

00:00:33.546 --> 00:00:35.495
Jedan od najpoznatijih Zenonovih problema

00:00:35.495 --> 00:00:37.701
zove se paradoks dihotomije,

00:00:37.701 --> 00:00:41.527
što znači „paradoks deljenja na dva"
na antičkom Grčkom.

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Paradoks se može objasniti ovako:

00:00:43.315 --> 00:00:45.075
Posle dugog dana sedenja


00:00:45.075 --> 00:00:46.004
i razmišljenja

00:00:46.004 --> 00:00:48.950
Zenon odluči da prošeta 
od svoje kuće do parka.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
Svež vazduh ga osvežava

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
i pomaže mu da bolje misli.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Da bi došao do parka,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
on prvo mora da prođe 
polovinu puta do parka.

00:00:55.428 --> 00:00:56.501
Ovaj deo putovanja

00:00:56.501 --> 00:00:58.443
traje konačan period vremena.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Kada pređe pola puta,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
on mora da pređe drugu polovinu puta.

00:01:02.841 --> 00:01:05.738
Ponovo, ovo traje 
konačan period vremena.

00:01:05.738 --> 00:01:08.140
Kada stigne tamo, još uvek mora da pređe

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
polovinu puta koji mu preostaje,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
što traje još jedan 
konačan period vremena.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Ovo se ponavlja iznova i iznova i iznova.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Možete da vidite da ovako možemo zauvek,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
deleći preostali deo puta

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
na manje i manje delove,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
od kojih svaki traje 
ograničen period vremena da se pređe.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Dakle, koliko Zenonu treba vremena
da dođe do parka?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Pa, da biste saznali, 
morate da saberete vremena

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
koja su potrebna za svaki deo putovanja.

00:01:32.284 --> 00:01:33.746
Problem je u tome da postoji 


00:01:33.746 --> 00:01:36.616
beskonačno mnogo 
ovih vremenski ograničenih delova.

00:01:36.616 --> 00:01:39.730
Dakle, zar ukupno vreme 
ne bi bilo beskonačno?

00:01:39.730 --> 00:01:42.348
Ovaj argument je, inače, sasvim opšti.

00:01:42.348 --> 00:01:45.092
On tvrdi da putovanje 
sa jednog mesta na drugo

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
treba da traje beskonačno mnogo vremena.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
Drugim rečima, on tvrdi
da je svako kretanje nemoguće.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Ovaj zaključak je očigledno apsurdan,

00:01:52.785 --> 00:01:54.584
ali gde je greška u logici?

00:01:54.584 --> 00:01:55.966
Da rešimo paradoks,

00:01:55.966 --> 00:01:58.451
pomaže da pretvorimo priču 
u matematički problem.

00:01:58.451 --> 00:02:01.618
Pretpostavimo da je Zenonova kuća
od parka udaljena 1,6 kilometara

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
i da Zenon prelazi 1,6 kilometara na sat.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
Zdrav razum nam govori da vreme putovanja

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
treba da bude 1 sat.

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
Ipak, hajde da sagledamo stvari 
iz Zenonovog ugla

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
i podelimo putovanje u delove.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
Prva polovina putovanja traje pola sata,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
sledeća traje četvrt sata,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
sledeća osminu sata,

00:02:20.064 --> 00:02:20.889
i tako dalje.

00:02:20.889 --> 00:02:22.426
Kada saberemo sva ova vremena,

00:02:22.426 --> 00:02:24.202
dobijamo niz koji izgleda ovako.

00:02:24.202 --> 00:02:25.684
„Sada,” Zenon bi mogao da kaže,

00:02:25.684 --> 00:02:27.964
budući da postoji 
beskonačan broj izraza

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
sa desne strane jednačine,

00:02:29.621 --> 00:02:32.143
i da je svaki pojedinačan izraz konačan,

00:02:32.143 --> 00:02:34.638
zbir bi trebao da bude jednak 
beskonačnom, tako?"

00:02:34.638 --> 00:02:36.670
U tome je problem sa Zenonovim argumentom.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Kao što su matematičari od tada shvatili,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
moguće je zbrajati beskonačan niz 
mnogih konačnih izraza

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
i opet dobiti rezultat koji je konačan.

00:02:44.814 --> 00:02:45.899
„Kako?”, pitate se vi.

00:02:45.899 --> 00:02:47.486
Razmišljajmo o tome ovako.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Počnimo sa kvadratom 
koji zauzima površinu od jednog metra.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Sada, hajde da presečemo kvadrat na pola,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
i onda da presečemo 
preostalu polovinu na pola,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
i tako dalje.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Dok ovo radimo,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
hajde da beležimo površinu ovih delova.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
Prvi rez pravi dva dela,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
svaki sa površinom jedne polovine.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
Sledeći rez deli ove polovine na pola,

00:03:06.545 --> 00:03:07.716
i tako dalje.

00:03:07.716 --> 00:03:10.317
Ipak, koliko god puta 
mi da presečemo kvadrat,

00:03:10.317 --> 00:03:14.814
celokupna površina je 
još uvek zbir površina svih delova.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Sada uviđate zašto smo izabrali
baš ovaj način

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
da presecamo kvadrat.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Dobili smo isti beskonačan niz

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
koji smo imali za vreme 
Zenonovog putovanja.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Kako mi kombinujemo 
sve više i više plavih delova,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
da kažemo to matematički,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
kako mi za limit uzimamo „n” 
koji teži beskonačnom,

00:03:30.742 --> 00:03:33.276
ceo kvadrat postaje prekriven plavim.

00:03:33.276 --> 00:03:35.517
Ipak, površina kvadrata 
je samo jedna jedinica,

00:03:35.517 --> 00:03:38.560
stoga beskonačan zbir 
mora biti jednak jedinici.

00:03:38.560 --> 00:03:39.884
U Zenonovom putovanju,

00:03:39.884 --> 00:03:42.370
vidimo kako se paradoks može rešiti.

00:03:42.370 --> 00:03:44.620
Ne samo da je zbir beskonačnog niza


00:03:44.620 --> 00:03:45.713
konačan odgovor,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
nego je i konačan odgovor isti onaj

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
za koji nam zdrav razum
govori da je tačan.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
Zenonovo putovanje traje jedan sat.