1
00:00:15,100 --> 00:00:16,871
Ovo je Zenon od Eleje,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
antički Grčki filozof

3
00:00:18,377 --> 00:00:20,972
poznat po tome što je izumeo
veliki broj paradoksa,

4
00:00:20,972 --> 00:00:22,590
argumenata koji se čine logičnim,

5
00:00:22,590 --> 00:00:24,280
ali čiji zaključak je apsurdan 


6
00:00:24,280 --> 00:00:25,719
ili kontradiktoran.

7
00:00:25,719 --> 00:00:27,183
Više od 2000 godina,

8
00:00:27,183 --> 00:00:29,070
Zenonove zbunjujuće zagonetke


9
00:00:29,070 --> 00:00:31,310
inspirišu matematičare i filozofe

10
00:00:31,310 --> 00:00:33,546
da bolje razumeju prirodu beskonačnosti.

11
00:00:33,546 --> 00:00:35,495
Jedan od najpoznatijih Zenonovih problema

12
00:00:35,495 --> 00:00:37,701
zove se paradoks dihotomije,

13
00:00:37,701 --> 00:00:41,527
što znači „paradoks deljenja na dva"
na antičkom Grčkom.

14
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Paradoks se može objasniti ovako:

15
00:00:43,315 --> 00:00:45,075
Posle dugog dana sedenja


16
00:00:45,075 --> 00:00:46,004
i razmišljenja

17
00:00:46,004 --> 00:00:48,950
Zenon odluči da prošeta 
od svoje kuće do parka.

18
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
Svež vazduh ga osvežava

19
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
i pomaže mu da bolje misli.

20
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Da bi došao do parka,

21
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
on prvo mora da prođe 
polovinu puta do parka.

22
00:00:55,428 --> 00:00:56,501
Ovaj deo putovanja

23
00:00:56,501 --> 00:00:58,443
traje konačan period vremena.

24
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Kada pređe pola puta,

25
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
on mora da pređe drugu polovinu puta.

26
00:01:02,841 --> 00:01:05,738
Ponovo, ovo traje 
konačan period vremena.

27
00:01:05,738 --> 00:01:08,140
Kada stigne tamo, još uvek mora da pređe

28
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
polovinu puta koji mu preostaje,

29
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
što traje još jedan 
konačan period vremena.

30
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Ovo se ponavlja iznova i iznova i iznova.

31
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Možete da vidite da ovako možemo zauvek,

32
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
deleći preostali deo puta

33
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
na manje i manje delove,

34
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
od kojih svaki traje 
ograničen period vremena da se pređe.

35
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Dakle, koliko Zenonu treba vremena
da dođe do parka?

36
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Pa, da biste saznali, 
morate da saberete vremena

37
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
koja su potrebna za svaki deo putovanja.

38
00:01:32,284 --> 00:01:33,746
Problem je u tome da postoji 


39
00:01:33,746 --> 00:01:36,616
beskonačno mnogo 
ovih vremenski ograničenih delova.

40
00:01:36,616 --> 00:01:39,730
Dakle, zar ukupno vreme 
ne bi bilo beskonačno?

41
00:01:39,730 --> 00:01:42,348
Ovaj argument je, inače, sasvim opšti.

42
00:01:42,348 --> 00:01:45,092
On tvrdi da putovanje 
sa jednog mesta na drugo

43
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
treba da traje beskonačno mnogo vremena.

44
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
Drugim rečima, on tvrdi
da je svako kretanje nemoguće.

45
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
Ovaj zaključak je očigledno apsurdan,

46
00:01:52,785 --> 00:01:54,584
ali gde je greška u logici?

47
00:01:54,584 --> 00:01:55,966
Da rešimo paradoks,

48
00:01:55,966 --> 00:01:58,451
pomaže da pretvorimo priču 
u matematički problem.

49
00:01:58,451 --> 00:02:01,618
Pretpostavimo da je Zenonova kuća
od parka udaljena 1,6 kilometara

50
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
i da Zenon prelazi 1,6 kilometara na sat.

51
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Zdrav razum nam govori da vreme putovanja

52
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
treba da bude 1 sat.

53
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Ipak, hajde da sagledamo stvari 
iz Zenonovog ugla

54
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
i podelimo putovanje u delove.

55
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
Prva polovina putovanja traje pola sata,

56
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
sledeća traje četvrt sata,

57
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
sledeća osminu sata,

58
00:02:20,064 --> 00:02:20,889
i tako dalje.

59
00:02:20,889 --> 00:02:22,426
Kada saberemo sva ova vremena,

60
00:02:22,426 --> 00:02:24,202
dobijamo niz koji izgleda ovako.

61
00:02:24,202 --> 00:02:25,684
„Sada,” Zenon bi mogao da kaže,

62
00:02:25,684 --> 00:02:27,964
budući da postoji 
beskonačan broj izraza

63
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
sa desne strane jednačine,

64
00:02:29,621 --> 00:02:32,143
i da je svaki pojedinačan izraz konačan,

65
00:02:32,143 --> 00:02:34,638
zbir bi trebao da bude jednak 
beskonačnom, tako?"

66
00:02:34,638 --> 00:02:36,670
U tome je problem sa Zenonovim argumentom.

67
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
Kao što su matematičari od tada shvatili,

68
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
moguće je zbrajati beskonačan niz 
mnogih konačnih izraza

69
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
i opet dobiti rezultat koji je konačan.

70
00:02:44,814 --> 00:02:45,899
„Kako?”, pitate se vi.

71
00:02:45,899 --> 00:02:47,486
Razmišljajmo o tome ovako.

72
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Počnimo sa kvadratom 
koji zauzima površinu od jednog metra.

73
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Sada, hajde da presečemo kvadrat na pola,

74
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
i onda da presečemo 
preostalu polovinu na pola,

75
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
i tako dalje.

76
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
Dok ovo radimo,

77
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
hajde da beležimo površinu ovih delova.

78
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
Prvi rez pravi dva dela,

79
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
svaki sa površinom jedne polovine.

80
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
Sledeći rez deli ove polovine na pola,

81
00:03:06,545 --> 00:03:07,716
i tako dalje.

82
00:03:07,716 --> 00:03:10,317
Ipak, koliko god puta 
mi da presečemo kvadrat,

83
00:03:10,317 --> 00:03:14,814
celokupna površina je 
još uvek zbir površina svih delova.

84
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Sada uviđate zašto smo izabrali
baš ovaj način

85
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
da presecamo kvadrat.

86
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Dobili smo isti beskonačan niz

87
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
koji smo imali za vreme 
Zenonovog putovanja.

88
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Kako mi kombinujemo 
sve više i više plavih delova,

89
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
da kažemo to matematički,

90
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
kako mi za limit uzimamo „n” 
koji teži beskonačnom,

91
00:03:30,742 --> 00:03:33,276
ceo kvadrat postaje prekriven plavim.

92
00:03:33,276 --> 00:03:35,517
Ipak, površina kvadrata 
je samo jedna jedinica,

93
00:03:35,517 --> 00:03:38,560
stoga beskonačan zbir 
mora biti jednak jedinici.

94
00:03:38,560 --> 00:03:39,884
U Zenonovom putovanju,

95
00:03:39,884 --> 00:03:42,370
vidimo kako se paradoks može rešiti.

96
00:03:42,370 --> 00:03:44,620
Ne samo da je zbir beskonačnog niza


97
00:03:44,620 --> 00:03:45,713
konačan odgovor,

98
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
nego je i konačan odgovor isti onaj

99
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
za koji nam zdrav razum
govori da je tačan.

100
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Zenonovo putovanje traje jedan sat.