WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
Это Зенон Элейский —

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
древнегреческий философ,

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
известный тем, что открыл парадоксы,

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
где аргументы выглядят логично,

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
но заключения либо абсурдны,
либо противоречивы.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Вот уже более 2 000 лет

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
головоломки Зенона вдохновляют

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
математиков и философов

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
лучше понять природу бесконечности.

00:00:33.746 --> 00:00:35.645
Одна из самых известных задач Зенона

00:00:35.645 --> 00:00:37.741
называется парадокс дихотомии,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
что на древнегреческом означает
«парадокс деления на две части».

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Это звучит примерно так:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
после долгого дня,
проведённого в раздумьях,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Зенон решает прогуляться 
от своего дома до парка.

00:00:48.950 --> 00:00:50.497
Свежий воздух очищает его разум

00:00:50.497 --> 00:00:51.920
и помогает сосредоточиться.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Чтобы добраться до парка,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
сначала необходимо
преодолеть половину пути.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Эта часть путешествия

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
занимает некоторое конечное время.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Когда он достигнет середины пути,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
нужно будет пройти половину
оставшегося расстояния.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
И снова это займёт 
какое то конечное время.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
После, ему снова необходимо преодолеть

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
половину от оставшегося расстояния,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
на что снова понадобится
некоторое конечное время.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Это будет происходить снова и снова.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Как видите, Зенон 
может идти так бесконечно,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
деля оставшееся расстояние

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
на всё меньшие и меньшие части,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
каждая из которых требует
определённое время на прохождение.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Так как же долго Зенон шёл до парка?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Для начала мы должны сложить время,

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
потраченное на каждую часть путешествия.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
Но проблема в бесконечном
количестве этих частей-половинок.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Получается, что и время путешествия
будет бесконечным?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Этот аргумент можно обобщить:

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
«Путешествие из одного места
в любое другое место

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
занимает бесконечное время».

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
Другими словами,
любое движение невозможно.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Это заключение совершенно абсурдно!

00:01:52.785 --> 00:01:54.704
Но где же находится изъян в этой логике?

00:01:54.704 --> 00:01:55.986
Чтобы решить этот парадокс,

00:01:55.986 --> 00:01:58.731
нам следует перевести историю
в математическое уравнение.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Предположим, что дом Зенона
в одной миле от парка,

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
и Зенон идёт со скоростью одна миля в час.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
Простое арифметическое
вычисление показывает,

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
что путешествие продлится 1 час.

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
Но давайте взглянем на это
с точки зрения Зенона

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
и разобьём путешествие на части.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
Первая часть путешествия займёт 1/2 часа,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
следующая — 1/4 часа,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
следующая — 1/8 часа,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
и так далее.

00:02:20.969 --> 00:02:22.386
Сложив все временны́е отрезки,

00:02:22.386 --> 00:02:24.372
мы получим пример, выглядящий так.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
«Итак, — сказал бы Зенон, —

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
поскольку справа в уравнении

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
мы имеет бесконечное число частей

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
и каждая часть конечна,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
сумма должна равняться бесконечности,
не так ли?»

00:02:34.518 --> 00:02:36.790
В этом и заключается проблема
аргументации Зенона.

00:02:36.790 --> 00:02:38.855
Позже математики поняли,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
что возможно складывать
бесконечное множество частей

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
и при этом получать конечный ответ.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
Но вы спросите: «Как?»

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Взглянем на пример.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Начнём с квадрата площадью
в один квадратный метр.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Затем поделим его пополам,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
потом поделим половину ещё пополам

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
и так далее.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Пока мы это делаем,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
определим площадь получаемых частей.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
Первый разрез образует две части,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
каждая площадью, равной половине первой.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
Следующий разрез
делит одну из них ещё пополам

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
и так далее.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
Не важно, сколько раз
мы будем разрезать квадрат,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
общая площадь квадрата 
будет равняться сумме всех его частей.

00:03:14.814 --> 00:03:17.312
Теперь вы можете понять, почему мы выбрали

00:03:17.312 --> 00:03:18.991
именно этот способ деления квадрата.

00:03:18.991 --> 00:03:20.888
Мы получили ту же бесконечную серию,

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
что и в истории Зенона.

00:03:23.356 --> 00:03:25.611
Создавая всё новые
и новые голубые участки,

00:03:25.611 --> 00:03:27.314
или, выражаясь математическим языком,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
взяв предел при n,
стремящейся к бесконечности,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
до полного заполнения
квадрата голубым цветом.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
Но площадь квадрата — это целая часть,

00:03:35.427 --> 00:03:38.530
поэтому и сумма бесконечных частей
тоже должна быть равна одному.

00:03:38.530 --> 00:03:39.914
Вернёмся к путешествию Зенона.

00:03:39.914 --> 00:03:42.370
Теперь мы можем увидеть,
как разрешается парадокс.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
В сумме бесконечные части
дают нам конечный ответ,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
и этот конечный ответ такой же,

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
какой диктует нам наш здравый смысл.

00:03:50.172 --> 00:03:54.172
Путешествие Зенона заняло 1 час.