1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Acesta e Zeno din Elea,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
un filosof din Grecia antică

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
renumit pentru inventarea
unui număr de paradoxuri.

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
argumente care par logice,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
dar a căror concluzie e absurdă
sau contradictorie.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,723
Timp de mai mult de 2.000 de ani,

7
00:00:27,723 --> 00:00:29,914
ghicitorile lui Zeno au inspirat

8
00:00:29,914 --> 00:00:31,454
matematicieni și filosofi

9
00:00:31,454 --> 00:00:33,746
pentru a înțelege mai bine infinitul.

10
00:00:33,746 --> 00:00:36,135
Una dintre cele mai cunoscute
probleme ale lui Zeno

11
00:00:36,135 --> 00:00:38,121
se numește paradoxul dihotomiei,

12
00:00:38,121 --> 00:00:41,827
ceea ce în greaca veche
înseamnă „paradoxul tăierii în două”.

13
00:00:41,827 --> 00:00:43,315
Sună cam așa:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
După ce a petrecut mult timp gândindu-se,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zeno se hotărăște să se plimbe
de acasă până în parc.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,927
Aerul proaspăt îi limpezește gândurile

17
00:00:50,927 --> 00:00:52,640
și îl ajută să gândească mai bine.

18
00:00:52,640 --> 00:00:54,055
Pentru a ajunge în parc,

19
00:00:54,055 --> 00:00:56,018
trebuie să străbată jumătate de distanță.

20
00:00:56,018 --> 00:00:57,381
Această parte a plimbării

21
00:00:57,381 --> 00:00:58,953
îi ia o perioadă finită de timp.

22
00:00:58,953 --> 00:01:00,842
Odată ajuns la jumătatea traseului,

23
00:01:00,842 --> 00:01:03,131
trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă.

24
00:01:03,131 --> 00:01:05,868
Îi ia, din nou, un timp anume.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,400
Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă

26
00:01:08,410 --> 00:01:09,882
jumătate din distanța rămasă,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
ceea ce îi ia din nou o vreme.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,842
Asta se întâmplă iar și iar și iar.

29
00:01:15,842 --> 00:01:18,195
Vedeți că am putea continua
așa la nesfârșit,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
împărțind orice distanță rămasă

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
în părți tot mai mici,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
fiecare necesitând un anumit timp
pentru a fi parcursă.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Deci cât timp îi ia lui Zeno
să ajungă în parc?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
pentru fiecare distanță a călătoriei.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,726
Problema e că există un număr infinit
de astfel de „fragmente” de timp finite.

37
00:01:36,726 --> 00:01:39,750
N-ar trebui, deci,
ca timpul total să fie infinit?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
Apropos, acest argument e complet general.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,412
Spune că drumul de la orice locație
până la o altă locație

40
00:01:45,412 --> 00:01:47,744
ar trebuie să dureze
o perioadă infinită de timp.

41
00:01:47,744 --> 00:01:51,006
Cu alte cuvinte, 
spune că mișcarea e imposibilă.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,925
Evident, concluzia asta e absurdă,

43
00:01:52,925 --> 00:01:54,784
dar unde e fisura în logică?

44
00:01:54,784 --> 00:01:56,216
Pentru a rezolva paradoxul,

45
00:01:56,216 --> 00:01:59,171
ne ajută dacă transformăm povestea
într-o problemă matematică.

46
00:01:59,171 --> 00:02:02,048
Să presupunem că parcul 
e la un kilometru de casa lui Zeno.

47
00:02:02,048 --> 00:02:04,341
și că Zeno merge cu un kilometru pe oră.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Logica ne spune că timpul
necesar pentru călătorie

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
ar trebui să fie o oră.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Dar hai să privim lucrurile
prin raționamentul lui Zeno

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,179
și să împărțim călătoria în porțiuni.

52
00:02:13,179 --> 00:02:15,786
Prima jumătate a călătoriei durează
o jumătate de oră,

53
00:02:15,786 --> 00:02:17,962
următoarea porțiune durează
un sfert de oră,

54
00:02:17,962 --> 00:02:20,064
a treia parte durează o optime de oră,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
și așa mai departe.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,516
Adunând toate aceste perioade,

57
00:02:22,516 --> 00:02:24,372
obținem o serie care arată cam așa.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,754
„Acum”, ar spune Zeno,

59
00:02:25,754 --> 00:02:27,964
„din moment ce există 
o infinitate de termeni

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
în partea dreaptă a ecuației,

61
00:02:29,621 --> 00:02:32,183
și fiecare termen e finit,

62
00:02:32,183 --> 00:02:34,778
suma ar trebui să fie egală 
cu infinitul, nu-i așa?”

63
00:02:34,778 --> 00:02:36,840
Asta e problema în paradoxul lui Zeno.

64
00:02:36,840 --> 00:02:39,015
După cum au realizat matematicienii,

65
00:02:39,015 --> 00:02:42,618
e posibil să aduni o infinitate
de numere finite

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
și să obții un număr finit.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
„Cum?” veți întreba.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,846
Hai să privim lucrurile astfel.

69
00:02:47,846 --> 00:02:50,510
Să începem cu o suprafață
cu aria de un metru pătrat.

70
00:02:50,510 --> 00:02:52,528
Apoi să împărțim pătratul în jumătate,

71
00:02:52,528 --> 00:02:55,119
și jumătatea care rămâne în jumătate,

72
00:02:55,119 --> 00:02:56,432
și așa mai departe.

73
00:02:56,432 --> 00:02:57,639
În timp ce facem asta,

74
00:02:57,639 --> 00:03:00,380
să ținem evidența ariilor.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,319
Prima „felie” împarte pătratul în două,

76
00:03:02,319 --> 00:03:04,158
fiecare cu o arie de o jumătate.

77
00:03:04,158 --> 00:03:07,295
Următoarea felie împarte
una dintre cele două jumătăți în jumătate,

78
00:03:07,295 --> 00:03:08,266
și așa mai departe.

79
00:03:08,266 --> 00:03:10,227
Dar indiferent de câte ori o înjumătățim,

80
00:03:10,227 --> 00:03:15,164
aria totală e suma ariilor
tuturor părților.

81
00:03:15,164 --> 00:03:17,802
Înțelegeți acum de ce alegem acest fel

82
00:03:17,802 --> 00:03:18,971
de a tăia pătratul.

83
00:03:18,971 --> 00:03:21,138
Am obținut aceeași serie infinită

84
00:03:21,138 --> 00:03:23,616
pe care am avut-o
pentru timpul călătoriei lui Zeno.

85
00:03:23,616 --> 00:03:25,991
Pe măsură ce tăiem tot mai multe bucăți,

86
00:03:25,991 --> 00:03:27,314
în jargon matematic,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
atingem limita pentru n tinzând la infinit

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
când întregul pătrat 
e acoperit de albastru.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
Dar aria pătratului e doar o unitate,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
deci suma infinită trebuie
să fie egală cu unu.

91
00:03:38,700 --> 00:03:40,614
Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno,

92
00:03:40,614 --> 00:03:42,580
vedem acum cum e rezolvat paradoxul.

93
00:03:42,580 --> 00:03:45,713
Nu numai că seria infinită
are o sumă finită,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
dar acel număr finit e același

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
cu cel pe care ni-l indică rațiunea.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Plimbarea lui Zeno durează o oră.