Acesta e Zeno din Elea,
un filosof din Grecia antică
renumit pentru inventarea
unui număr de paradoxuri.
argumente care par logice,
dar a căror concluzie e absurdă
sau contradictorie.
Timp de mai mult de 2.000 de ani,
ghicitorile lui Zeno au inspirat
matematicieni și filosofi
pentru a înțelege mai bine infinitul.
Una dintre cele mai cunoscute
probleme ale lui Zeno
se numește paradoxul dihotomiei,
ceea ce în greaca veche
înseamnă „paradoxul tăierii în două”.
Sună cam așa:
După ce a petrecut mult timp gândindu-se,
Zeno se hotărăște să se plimbe
de acasă până în parc.
Aerul proaspăt îi limpezește gândurile
și îl ajută să gândească mai bine.
Pentru a ajunge în parc,
trebuie să străbată jumătate de distanță.
Această parte a plimbării
îi ia o perioadă finită de timp.
Odată ajuns la jumătatea traseului,
trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă.
Îi ia, din nou, un timp anume.
Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă
jumătate din distanța rămasă,
ceea ce îi ia din nou o vreme.
Asta se întâmplă iar și iar și iar.
Vedeți că am putea continua
așa la nesfârșit,
împărțind orice distanță rămasă
în părți tot mai mici,
fiecare necesitând un anumit timp
pentru a fi parcursă.
Deci cât timp îi ia lui Zeno
să ajungă în parc?
Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul
pentru fiecare distanță a călătoriei.
Problema e că există un număr infinit
de astfel de „fragmente” de timp finite.
N-ar trebui, deci,
ca timpul total să fie infinit?
Apropos, acest argument e complet general.
Spune că drumul de la orice locație
până la o altă locație
ar trebuie să dureze
o perioadă infinită de timp.
Cu alte cuvinte,
spune că mișcarea e imposibilă.
Evident, concluzia asta e absurdă,
dar unde e fisura în logică?
Pentru a rezolva paradoxul,
ne ajută dacă transformăm povestea
într-o problemă matematică.
Să presupunem că parcul
e la un kilometru de casa lui Zeno.
și că Zeno merge cu un kilometru pe oră.
Logica ne spune că timpul
necesar pentru călătorie
ar trebui să fie o oră.
Dar hai să privim lucrurile
prin raționamentul lui Zeno
și să împărțim călătoria în porțiuni.
Prima jumătate a călătoriei durează
o jumătate de oră,
următoarea porțiune durează
un sfert de oră,
a treia parte durează o optime de oră,
și așa mai departe.
Adunând toate aceste perioade,
obținem o serie care arată cam așa.
„Acum”, ar spune Zeno,
„din moment ce există
o infinitate de termeni
în partea dreaptă a ecuației,
și fiecare termen e finit,
suma ar trebui să fie egală
cu infinitul, nu-i așa?”
Asta e problema în paradoxul lui Zeno.
După cum au realizat matematicienii,
e posibil să aduni o infinitate
de numere finite
și să obții un număr finit.
„Cum?” veți întreba.
Hai să privim lucrurile astfel.
Să începem cu o suprafață
cu aria de un metru pătrat.
Apoi să împărțim pătratul în jumătate,
și jumătatea care rămâne în jumătate,
și așa mai departe.
În timp ce facem asta,
să ținem evidența ariilor.
Prima „felie” împarte pătratul în două,
fiecare cu o arie de o jumătate.
Următoarea felie împarte
una dintre cele două jumătăți în jumătate,
și așa mai departe.
Dar indiferent de câte ori o înjumătățim,
aria totală e suma ariilor
tuturor părților.
Înțelegeți acum de ce alegem acest fel
de a tăia pătratul.
Am obținut aceeași serie infinită
pe care am avut-o
pentru timpul călătoriei lui Zeno.
Pe măsură ce tăiem tot mai multe bucăți,
în jargon matematic,
atingem limita pentru n tinzând la infinit
când întregul pătrat
e acoperit de albastru.
Dar aria pătratului e doar o unitate,
deci suma infinită trebuie
să fie egală cu unu.
Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno,
vedem acum cum e rezolvat paradoxul.
Nu numai că seria infinită
are o sumă finită,
dar acel număr finit e același
cu cel pe care ni-l indică rațiunea.
Plimbarea lui Zeno durează o oră.