1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Acesta e Zeno din Elea,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
un filosof din Grecia antică

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
renumit pentru inventarea
unui număr de paradoxuri.

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
argumente care par logice,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
dar a căror concluzie e absurdă
sau contradictorie.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
Timp de mai mult de 2.000 de ani,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
ghicitorile lui Zeno au inspirat

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,994
matematicieni și filosofi

9
00:00:32,254 --> 00:00:33,746
pentru a înțelege mai bine infinitul.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
Una dintre cele mai cunoscute probleme
ale lui Zeno

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
se numește paradoxul dihotomiei,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
ceea ce în greaca veche
înseamnă „paradoxul tăierii în două”.

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Funcționează cam așa:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
După ce a petrecut mult timp gândindu-se,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zeno se hotărăște să se plimbe de acasă
până în parc.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
Aerul proaspăt îi limpezește gândurile

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
și îl ajută să gândească mai bine.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Pentru a ajunge la parc,

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
trebuie să străbată, mai întâi,
jumătatea distanței.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
Această parte a plimbării

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
îi ia o perioadă finită de timp.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Odată ajuns la jumătatea traseului,

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
Îi ia, din nou, un timp anume.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
jumătate din distanța rămasă,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
ceea ce îi ia din nou o vreme.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Asta se întâmplă iar și iar și iar.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Vedeți că am putea continua așa
la nesfârșit,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
împărțind orice distanță rămasă

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
în părți tot mai mici,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
fiecare necesitând un anumit timp
pentru a fi parcursă.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Deci cât timp îi ia lui Zeno
să ajungă în parc?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
pentru fiecare distanță a călătoriei.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
Problema e că există un număr infinit
de astfel de „fragmente” finite.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
N-ar trebui, deci, ca timpul total
să fie infinit?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
Apropos, acest argument
e pe de-a-ntregul general.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
Spune că drumul de la orice locație
până la o altă locație

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
ar trebuie să dureze
o perioadă infinită de timp.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
Cu alte cuvinte, 
spune că mișcarea e imposibilă.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
Evident, concluzia asta e absurdă,

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
dar unde e fisura în logică?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
Pentru a rezolva paradoxul,

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
ne ajută dacă transformăm povestea
într-o problemă de matematică.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
Să presupunem că parcul 
e la o milă depărtare de casa lui Zeno.

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
și că Zeno merge cu o milă pe oră.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Logica ne spune că timpul
pentru călătorie

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
ar trebui să fie o oră.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Dar hai să privim lucrurile
prin raționamentul lui Zeno

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,803
și să împărțim călătoria în porțiuni.

52
00:02:14,059 --> 00:02:15,656
Prima jumătate a călătoriei durează
o jumătate de oră,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
următoarea porțiune durează
un sfert de oră,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
a treia parte durează o optime de oră,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
și așa mai departe.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
Adunând toate aceste perioade,

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
obținem o serie care arată cam așa.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
„Acum”, ar spune Zeno,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
„din moment ce există 
o infinitate de termeni

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
în partea dreaptă a ecuației,

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
și fiecare termen e finit,

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
suma ar trebui să fie egală 
cu infinitul, nu-i așa?”

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
Asta-i dilema în argumentul lui Zeno.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
După cum au realizat matematicienii,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
e posibil să aduni o inifnitate de termeni finiți

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
și să obții un răspuns finit.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
„Cum?” o să întrebați.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
Hai să privim lucrurile astfel.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Să începem cu o suprafață
cu aria de un metru pătrat.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Să împărțim pătratul în jumătate,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
și jumătatea care rămâne în jumătate,

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
și așa mai departe.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,639
În timp ce facem asta,

74
00:02:57,639 --> 00:03:00,380
să ținem evidența ariilor părților.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
Prima „felie” devine două părți,

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
fiecare cu o arie de o jumătate.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
Următoarea felie împarte
una dintre cele două jumătăți în jumătate,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
și așa mai departe.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
Dar indiferent de câte ori
„feliem” cutiile,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
aria totală e suma ariilor
tuturor părților.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Înțelegeți acum de ce alegem acest fel

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
de a tăia pătratul.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Am obținut aceeași serie infinită

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
pe care am avut-o
pentru timpul călătoriei lui Zeno.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Pe măsură ce construim
tot mai multe piese,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
în jargon matematic,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
atingem limita 
pentru n tinzând la infinit

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
când întregul pătrat 
e acoperit de albastru.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
Dar aria pătratului e doar o unitate,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
deci suma infinită trebuie
să fie egală cu unu.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
vedem acum cum e rezolvat paradoxul.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
Nu numai că seria infinită
e însumată într-un număr finit,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
dar acel număr finit e același

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
cu cel pe care ni-l indică rațiunea.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Plimbarea lui Zeno durează o oră.