Acesta e Zeno din Elea,
un filosof din Grecia antică
faimos pentru inventarea unui număr de paradoxuri.
argumente care par logice,
dar a căror concluzie e absurdă sau contradictorie.
Timp de mai mult de 2.000 de ani,
ghicitorile lui Zeno au inspirat
matematicieni și filosofi
pentru a înțelege mai bine infinitul.
Una dintre cele mai cunoscute probleme ale lui Zeno
se numește paradoxul dihotomiei,
ceea ce în greaca veche înseamnă „paradoxul tăierii în două”.
Funcționează cam așa:
După ce a petrecut mult timp gândindu-se,
Zeno se hotărăște să se plimbe de acasă până în parc.
Aerul proaspăt îi limpezește gândurile
și îl ajută să gândească mai bine.
Pentru a ajunge la parc,
trebuie să străbată, mai întâi, jumătatea distanței.
Această parte a plimbării
îi ia o perioadă finită de timp.
Odată ajuns la jumătatea traseului,
trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă.
Îi ia, din nou, un timp anume.
Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă
jumătate din distanța rămasă,
ceea ce îi ia din nou o vreme.
Asta se întâmplă iar și iar și iar.
Vedeți că am putea continua așa la nesfârșit,
împărțind orice distanță rămasă
în părți tot mai mici,
fiecare necesitând un anumit timp pentru a fi parcursă.
Deci cât timp îi ia lui Zeno să ajungă în parc?
Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul
pentru fiecare distanță a călătoriei.
Problema e că există un număr infinit de astfel de „fragmente” finite.
N-ar trebui, deci, ca timpul total să fie infinit?
Apropos, acest argument e pe de-a-ntregul general.
Spune că drumul de la orice locație până la o altă locație
ar trebuie să dureze o perioadă infinită de timp.
Cu alte cuvinte, spune că mișcarea e imposibilă.
Evident, concluzia asta e absurdă,
dar unde e fisura în logică?
Pentru a rezolva paradoxul,
ne ajută dacă transformăm povestea într-o problemă de matematică.
Să presupunem că parcul e la o milă depărtare de casa lui Zeno.
și că Zeno merge cu o milă pe oră.
Logica ne spune că timpul pentru călătorie
ar trebui să fie o oră.
Dar hai să privim lucrurile prin raționamentul lui Zeno
și să împărțim călătoria în porțiuni.
Prima jumătate a călătoriei durează o jumătate de oră,
următoarea porțiune durează un sfert de oră,
a treia parte durează o optime de oră,
și așa mai departe.
Adunând toate aceste perioade,
obținem o serie care arată cam așa.
„Acum”, ar spune Zeno,
„din moment ce există o infinitate de termeni
în partea dreaptă a ecuației,
și fiecare termen e finit,
suma ar trebui să fie egală cu infinitul, nu-i așa?”
Asta-i dilema în argumentul lui Zeno.
După cum au realizat matematicienii,
e posibil să aduni o inifnitate de termeni finiți
și să obții un răspuns finit.
„Cum?” o să întrebați.
Hai să privim lucrurile astfel.
Să începem cu o suprafață cu aria de un metru pătrat.
Să împărțim pătratul în jumătate,
și jumătatea care rămâne în jumătate,
și așa mai departe.
În timp ce facem asta,
să ținem evidența ariilor părților.
Prima „felie” devine două părți,
fiecare cu o arie de o jumătate.
Următoarea felie împarte una dintre cele două jumătăți în jumătate,
și așa mai departe.
Dar indiferent de câte ori „feliem” cutiile,
aria totală e suma ariilor tuturor părților.
Înțelegeți acum de ce alegem acest fel
de a tăia pătratul.
Am obținut aceeași serie infinită
pe care am avut-o pentru timpul călătoriei lui Zeno.
Pe măsură ce construim tot mai multe piese,
în jargon matematic,
atingem limita pentru n tinzând la infinit
când întregul pătrat e acoperit de albastru.
Dar aria pătratului e doar o unitate,
deci suma infinită trebuie să fie egală cu unu.
Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno,
vedem acum cum e rezolvat paradoxul.
Nu numai că seria infinită e însumată într-un număr finit,
dar acel număr finit e același
cu cel pe care ni-l indică rațiunea.
Plimbarea lui Zeno durează o oră.