WEBVTT

00:00:15.323 --> 00:00:17.152
Este é Zenão de Eleia,

00:00:17.152 --> 00:00:18.740
um antigo filósofo grego

00:00:18.740 --> 00:00:21.432
famoso por inventar
uma série de paradoxos:

00:00:21.432 --> 00:00:23.187
argumentos que parecem lógicos,

00:00:23.187 --> 00:00:26.033
mas cuja conclusão
é absurda ou contraditória.

00:00:26.033 --> 00:00:27.919
Durante mais de 2000 anos,

00:00:27.919 --> 00:00:29.812
os quebra-cabeças complexos de Zenão

00:00:29.812 --> 00:00:31.855
inspiraram matemáticos e filósofos

00:00:31.855 --> 00:00:34.127
a compreender melhor
a natureza do infinito.

00:00:34.127 --> 00:00:36.134
Um dos problemas mais conhecidos de Zenão

00:00:36.134 --> 00:00:38.250
é o chamado paradoxo da dicotomia,

00:00:38.250 --> 00:00:41.527
que, em grego antigo, quer dizer
"o paradoxo de partir em dois".

00:00:41.617 --> 00:00:43.569
É algo deste género:

00:00:43.569 --> 00:00:46.154
Depois de um longo dia a pensar,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zenão decide ir de sua casa ao parque.

00:00:48.950 --> 00:00:51.897
O ar fresco ajuda-o a limpar a mente
e a pensar melhor.

00:00:51.920 --> 00:00:53.638
Para chegar ao parque,

00:00:53.638 --> 00:00:55.609
primeiro tem que chegar
a meio do caminho.

00:00:55.609 --> 00:00:58.573
Esta parte da sua viagem
demora um tempo finito

00:00:58.573 --> 00:01:00.624
Quando ele chega ao meio,

00:01:00.624 --> 00:01:03.195
tem que caminhar
metade da restante distância.

00:01:03.195 --> 00:01:05.868
Novamente, isto demora um tempo finito.

00:01:05.868 --> 00:01:08.503
Quando chega aí, ainda tem que caminhar

00:01:08.503 --> 00:01:10.245
metade da restante distância,

00:01:10.245 --> 00:01:12.589
o que volta a demorar
um período finito de tempo.

00:01:12.589 --> 00:01:15.658
Isto repete-se uma e outra e outra vez.

00:01:15.658 --> 00:01:18.240
Como podem ver,
podemos continuar isto para sempre,

00:01:18.240 --> 00:01:20.284
dividindo a distância que sobrar

00:01:20.284 --> 00:01:22.353
em pedaços cada vez mais pequenos

00:01:22.353 --> 00:01:25.450
sendo que cada um demora um 
tempo finito a ser percorrido.

00:01:25.450 --> 00:01:28.203
Então, quando tempo demora Zenão
a chegar ao parque?

00:01:28.203 --> 00:01:30.717
Para descobrirmos, 
temos que adicionar os tempos

00:01:30.717 --> 00:01:32.774
de cada uma das partes da viagem.

00:01:32.774 --> 00:01:36.616
O problema é que há infinitas partes
de tempo finito.

00:01:36.770 --> 00:01:40.095
Portanto, o total
não deveria ser infinito?

00:01:40.095 --> 00:01:42.784
Já agora, este argumento
é completamente geral.

00:01:42.784 --> 00:01:45.564
Diz que qualquer viagem
de um ponto para outro

00:01:45.564 --> 00:01:47.872
deveria demorar um tempo infinito.

00:01:47.872 --> 00:01:51.006
Por outras palavras, diz que qualquer 
movimento é impossível.

00:01:51.006 --> 00:01:52.966
Esta conclusão é claramente absurda,

00:01:52.966 --> 00:01:55.047
mas onde é que está o erro na lógica?

00:01:55.047 --> 00:01:56.647
Para resolver o paradoxo,

00:01:56.647 --> 00:01:59.076
vamos transformar a história 
num problema matemático.

00:01:59.076 --> 00:02:01.963
Vamos supor que a casa de Zenão
está a um quilómetro do parque

00:02:01.963 --> 00:02:04.686
e que Zenão anda a
um quilómetro por hora.

00:02:04.686 --> 00:02:06.992
O senso comum diz-nos
que o tempo da viagem

00:02:06.992 --> 00:02:08.877
deverá ser de uma hora.

00:02:08.877 --> 00:02:11.256
Mas vamos ver a questão
do ponto de vista de Zenão

00:02:11.256 --> 00:02:13.632
e dividir a viagem
em partes mais pequenas.

00:02:13.632 --> 00:02:16.065
A primeira metade da viagem
demora meia hora,

00:02:16.065 --> 00:02:18.245
a parte seguinte demora um quarto de hora,

00:02:18.245 --> 00:02:21.373
a terceira demora um oitavo de uma hora,
e assim por diante.

00:02:21.373 --> 00:02:23.075
Somando todos estes tempos,

00:02:23.075 --> 00:02:24.544
obtemos uma série com este aspeto.

00:02:24.544 --> 00:02:26.314
"Agora"– diria Zenão –

00:02:26.314 --> 00:02:29.718
"como o número de termos é infinito
do lado direito da equação,

00:02:29.718 --> 00:02:32.355
"e cada termo individual é finito,

00:02:32.355 --> 00:02:35.099
"a soma deveria ser
igual ao infinito, certo?"

00:02:35.099 --> 00:02:37.351
Este é o problema
com o argumento de Zenão.

00:02:37.351 --> 00:02:39.364
Como os matemáticos vieram a descobrir,

00:02:39.364 --> 00:02:42.763
é possível somar um número infinito
de termos finitos

00:02:42.763 --> 00:02:45.004
e, mesmo assim, obter uma resposta finita.

00:02:45.004 --> 00:02:46.625
"Como assim?" — perguntam vocês.

00:02:46.625 --> 00:02:48.058
Vamos ver as coisas desta forma.

00:02:48.058 --> 00:02:50.590
Vamos começar com um quadrado 
com um metro de área.

00:02:50.590 --> 00:02:52.873
Agora vamos partir o quadrado ao meio,

00:02:52.873 --> 00:02:56.227
e depois dividir o restante ao meio,
e assim por diante.

00:02:56.390 --> 00:02:57.829
Enquanto fazemos isto,

00:02:57.829 --> 00:03:00.116
vamos anotar as áreas das peças.

00:03:00.580 --> 00:03:02.632
O primeiro corte divide em duas partes,

00:03:02.632 --> 00:03:04.355
cada uma com uma área de uma metade.

00:03:04.355 --> 00:03:06.772
O próximo corte divide uma dessas 
metades em metade,

00:03:06.772 --> 00:03:08.268
e assim por diante.

00:03:08.268 --> 00:03:10.736
Mas, por mais vezes
que dividamos as caixas,

00:03:10.736 --> 00:03:14.514
a área total é sempre
a soma de todas as peças.

00:03:15.041 --> 00:03:18.933
Já percebem porque é que escolhemos 
esta forma específica de cortar o quadrado.

00:03:18.971 --> 00:03:21.006
Obtemos a mesma série infinita

00:03:21.006 --> 00:03:23.710
que tínhamos com o tempo
da viagem de Zenão.

00:03:23.710 --> 00:03:26.009
Ao construirmos mais e mais peças azuis,

00:03:26.009 --> 00:03:28.104
e usando o jargão matemático,

00:03:28.104 --> 00:03:31.060
quando chegamos ao limite 
com "n" a tender para o infinito,

00:03:31.060 --> 00:03:33.583
todo o quadrado fica coberto de azul.

00:03:33.583 --> 00:03:36.227
Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,

00:03:36.227 --> 00:03:38.745
e por isso a soma do infinito
tem que ser igual a um.

00:03:38.745 --> 00:03:40.272
Voltando à viagem de Zenão,

00:03:40.272 --> 00:03:42.651
podemos ver como o paradoxo é resolvido.

00:03:42.651 --> 00:03:45.967
Não só obtemos uma resposta finita
da soma da série infinita,

00:03:45.967 --> 00:03:48.063
como essa resposta finita é a mesma

00:03:48.063 --> 00:03:50.172
que o senso comum nos dá.

00:03:50.390 --> 00:03:53.077
A viagem do Zenão demora uma hora.