Este é Zenão de Eleia,
um antigo filósofo grego
famoso por inventar uma série de paradoxos:
argumentos que parecem lógicos,
mas cuja conclusão é absurda ou contraditória.
Durante mais de 2000 anos,
os quebra-cabeças complexos de Zenão
inspiraram matemáticos e filósofos
a compreender melhor a natureza do infinito.
Um dos problemas mais conhecidos de Zenão
é o chamado paradoxo da dicotomia,
que, em grego antigo, quer dizer "o paradoxo de partir em dois".
É algo deste género:
Depois de um longo dia a pensar,
Zenão decide ir de sua casa ao parque.
O ar fresco ajuda-o a limpar a mente e a pensar melhor.
Para chegar ao parque,
primeiro tem que chegar a meio do caminho.
Esta parte da sua viagem demora um tempo finito
Quando ele chega ao meio,
tem que caminhar metade da restante distância.
Novamente, isto demora um tempo finito.
Quando chega aí, ainda tem que caminhar
metade da restante distância,
o que volta a demorar um período finito de tempo.
Isto repete-se uma e outra e outra vez.
Como podem ver, podemos continuar isto para sempre,
dividindo a distância que sobrar
em pedaços cada vez mais pequenos
sendo que cada um demora um tempo finito a ser percorrido.
Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque?
Para descobrirmos, temos que adicionar os tempos
de cada uma das partes da viagem.
O problema é que há infinitas partes de tempo finito.
Portanto, o total não deveria ser infinito?
Já agora, este argumento é completamente geral.
Diz que qualquer viagem de um ponto para outro
deveria demorar um tempo infinito.
Por outras palavras, diz que qualquer movimento é impossível.
Esta conclusão é claramente absurda,
mas onde é que está o erro na lógica?
Para resolver o paradoxo,
vamos transformar a história num problema matemático.
Vamos supor que a casa de Zenão está a um quilómetro do parque
e que Zenão anda a um quilómetro por hora.
O senso comum diz-nos que o tempo da viagem
deverá ser de uma hora.
Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão
e dividir a viagem em partes mais pequenas.
A primeira metade da viagem demora meia hora,
a parte seguinte demora um quarto de hora,
a terceira demora um oitavo de uma hora, e assim por diante.
Somando todos estes tempos,
obtemos uma série com este aspeto.
"Agora"– diria Zenão –
"como o número de termos é infinito do lado direito da equação,
"e cada termo individual é finito,
"a soma deveria ser igual ao infinito, certo?"
Este é o problema com o argumento de Zenão.
Como os matemáticos vieram a descobrir,
é possível somar um número infinito de termos finitos
e, mesmo assim, obter uma resposta finita.
"Como assim?" — perguntam vocês.
Vamos ver as coisas desta forma.
Vamos começar com um quadrado com um metro de área.
Agora vamos partir o quadrado ao meio,
e depois dividir o restante ao meio, e assim por diante.
Enquanto fazemos isto,
vamos anotar as áreas das peças.
O primeiro corte divide em duas partes,
cada uma com uma área de uma metade.
O próximo corte divide uma dessas metades em metade,
e assim por diante.
Mas, por mais vezes que dividamos as caixas,
a área total é sempre a soma de todas as peças.
Já percebem porque é que escolhemos esta forma específica de cortar o quadrado.
Obtemos a mesma série infinita
que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão.
Ao construirmos mais e mais peças azuis,
e usando o jargão matemático,
quando chegamos ao limite com "n" a tender para o infinito,
todo o quadrado fica coberto de azul.
Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,
e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um.
Voltando à viagem de Zenão,
podemos ver como o paradoxo é resolvido.
Não só obtemos uma resposta finita da soma da série infinita,
como essa resposta finita é a mesma
que o senso comum nos dá.
A viagem do Zenão demora uma hora.