1
00:00:15,323 --> 00:00:17,152
Este é Zenão de Eleia,

2
00:00:17,152 --> 00:00:18,740
um antigo filósofo grego

3
00:00:18,740 --> 00:00:21,432
famoso por inventar
uma série de paradoxos:

4
00:00:21,432 --> 00:00:23,187
argumentos que parecem lógicos,

5
00:00:23,187 --> 00:00:26,033
mas cuja conclusão
é absurda ou contraditória.

6
00:00:26,033 --> 00:00:27,919
Durante mais de 2000 anos,

7
00:00:27,919 --> 00:00:29,812
os quebra-cabeças complexos de Zenão

8
00:00:29,812 --> 00:00:31,855
inspiraram matemáticos e filósofos

9
00:00:31,855 --> 00:00:34,127
a compreender melhor
a natureza do infinito.

10
00:00:34,127 --> 00:00:36,134
Um dos problemas mais conhecidos de Zenão

11
00:00:36,134 --> 00:00:38,250
é o chamado paradoxo da dicotomia,

12
00:00:38,250 --> 00:00:41,527
que, em grego antigo, quer dizer
"o paradoxo de partir em dois".

13
00:00:41,617 --> 00:00:43,569
É algo deste género:

14
00:00:43,569 --> 00:00:46,154
Depois de um longo dia a pensar,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zenão decide ir de sua casa ao parque.

16
00:00:48,950 --> 00:00:51,897
O ar fresco ajuda-o a limpar a mente
e a pensar melhor.

17
00:00:51,920 --> 00:00:53,638
Para chegar ao parque,

18
00:00:53,638 --> 00:00:55,609
primeiro tem que chegar
a meio do caminho.

19
00:00:55,609 --> 00:00:58,573
Esta parte da sua viagem
demora um tempo finito

20
00:00:58,573 --> 00:01:00,624
Quando ele chega ao meio,

21
00:01:00,624 --> 00:01:03,195
tem que caminhar
metade da restante distância.

22
00:01:03,195 --> 00:01:05,868
Novamente, isto demora um tempo finito.

23
00:01:05,868 --> 00:01:08,503
Quando chega aí, ainda tem que caminhar

24
00:01:08,503 --> 00:01:10,245
metade da restante distância,

25
00:01:10,245 --> 00:01:12,589
o que volta a demorar
um período finito de tempo.

26
00:01:12,589 --> 00:01:15,658
Isto repete-se uma e outra e outra vez.

27
00:01:15,658 --> 00:01:18,240
Como podem ver,
podemos continuar isto para sempre,

28
00:01:18,240 --> 00:01:20,284
dividindo a distância que sobrar

29
00:01:20,284 --> 00:01:22,353
em pedaços cada vez mais pequenos

30
00:01:22,353 --> 00:01:25,450
sendo que cada um demora um 
tempo finito a ser percorrido.

31
00:01:25,450 --> 00:01:28,203
Então, quando tempo demora Zenão
a chegar ao parque?

32
00:01:28,203 --> 00:01:30,717
Para descobrirmos, 
temos que adicionar os tempos

33
00:01:30,717 --> 00:01:32,774
de cada uma das partes da viagem.

34
00:01:32,774 --> 00:01:36,616
O problema é que há infinitas partes
de tempo finito.

35
00:01:36,770 --> 00:01:40,095
Portanto, o total
não deveria ser infinito?

36
00:01:40,095 --> 00:01:42,784
Já agora, este argumento
é completamente geral.

37
00:01:42,784 --> 00:01:45,564
Diz que qualquer viagem
de um ponto para outro

38
00:01:45,564 --> 00:01:47,872
deveria demorar um tempo infinito.

39
00:01:47,872 --> 00:01:51,006
Por outras palavras, diz que qualquer 
movimento é impossível.

40
00:01:51,006 --> 00:01:52,966
Esta conclusão é claramente absurda,

41
00:01:52,966 --> 00:01:55,047
mas onde é que está o erro na lógica?

42
00:01:55,047 --> 00:01:56,647
Para resolver o paradoxo,

43
00:01:56,647 --> 00:01:59,076
vamos transformar a história 
num problema matemático.

44
00:01:59,076 --> 00:02:01,963
Vamos supor que a casa de Zenão
está a um quilómetro do parque

45
00:02:01,963 --> 00:02:04,686
e que Zenão anda a
um quilómetro por hora.

46
00:02:04,686 --> 00:02:06,992
O senso comum diz-nos
que o tempo da viagem

47
00:02:06,992 --> 00:02:08,877
deverá ser de uma hora.

48
00:02:08,877 --> 00:02:11,256
Mas vamos ver a questão
do ponto de vista de Zenão

49
00:02:11,256 --> 00:02:13,632
e dividir a viagem
em partes mais pequenas.

50
00:02:13,632 --> 00:02:16,065
A primeira metade da viagem
demora meia hora,

51
00:02:16,065 --> 00:02:18,245
a parte seguinte demora um quarto de hora,

52
00:02:18,245 --> 00:02:21,373
a terceira demora um oitavo de uma hora,
e assim por diante.

53
00:02:21,373 --> 00:02:23,075
Somando todos estes tempos,

54
00:02:23,075 --> 00:02:24,544
obtemos uma série com este aspeto.

55
00:02:24,544 --> 00:02:26,314
"Agora"– diria Zenão –

56
00:02:26,314 --> 00:02:29,718
"como o número de termos é infinito
do lado direito da equação,

57
00:02:29,718 --> 00:02:32,355
"e cada termo individual é finito,

58
00:02:32,355 --> 00:02:35,099
"a soma deveria ser
igual ao infinito, certo?"

59
00:02:35,099 --> 00:02:37,351
Este é o problema
com o argumento de Zenão.

60
00:02:37,351 --> 00:02:39,364
Como os matemáticos vieram a descobrir,

61
00:02:39,364 --> 00:02:42,763
é possível somar um número infinito
de termos finitos

62
00:02:42,763 --> 00:02:45,004
e, mesmo assim, obter uma resposta finita.

63
00:02:45,004 --> 00:02:46,625
"Como assim?" — perguntam vocês.

64
00:02:46,625 --> 00:02:48,058
Vamos ver as coisas desta forma.

65
00:02:48,058 --> 00:02:50,590
Vamos começar com um quadrado 
com um metro de área.

66
00:02:50,590 --> 00:02:52,873
Agora vamos partir o quadrado ao meio,

67
00:02:52,873 --> 00:02:56,227
e depois dividir o restante ao meio,
e assim por diante.

68
00:02:56,390 --> 00:02:57,829
Enquanto fazemos isto,

69
00:02:57,829 --> 00:03:00,116
vamos anotar as áreas das peças.

70
00:03:00,580 --> 00:03:02,632
O primeiro corte divide em duas partes,

71
00:03:02,632 --> 00:03:04,355
cada uma com uma área de uma metade.

72
00:03:04,355 --> 00:03:06,772
O próximo corte divide uma dessas 
metades em metade,

73
00:03:06,772 --> 00:03:08,268
e assim por diante.

74
00:03:08,268 --> 00:03:10,736
Mas, por mais vezes
que dividamos as caixas,

75
00:03:10,736 --> 00:03:14,514
a área total é sempre
a soma de todas as peças.

76
00:03:15,041 --> 00:03:18,933
Já percebem porque é que escolhemos 
esta forma específica de cortar o quadrado.

77
00:03:18,971 --> 00:03:21,006
Obtemos a mesma série infinita

78
00:03:21,006 --> 00:03:23,710
que tínhamos com o tempo
da viagem de Zenão.

79
00:03:23,710 --> 00:03:26,009
Ao construirmos mais e mais peças azuis,

80
00:03:26,009 --> 00:03:28,104
e usando o jargão matemático,

81
00:03:28,104 --> 00:03:31,060
quando chegamos ao limite 
com "n" a tender para o infinito,

82
00:03:31,060 --> 00:03:33,583
todo o quadrado fica coberto de azul.

83
00:03:33,583 --> 00:03:36,227
Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,

84
00:03:36,227 --> 00:03:38,745
e por isso a soma do infinito
tem que ser igual a um.

85
00:03:38,745 --> 00:03:40,272
Voltando à viagem de Zenão,

86
00:03:40,272 --> 00:03:42,651
podemos ver como o paradoxo é resolvido.

87
00:03:42,651 --> 00:03:45,967
Não só obtemos uma resposta finita
da soma da série infinita,

88
00:03:45,967 --> 00:03:48,063
como essa resposta finita é a mesma

89
00:03:48,063 --> 00:03:50,172
que o senso comum nos dá.

90
00:03:50,390 --> 00:03:53,077
A viagem do Zenão demora uma hora.