Este é Zenão de Eleia,
um antigo filósofo grego
famoso por inventar uma série de paradoxos:
argumentos que parecem lógicos,
mas cuja conclusão é absurda ou contraditória.
Durante mais de 2000 anos,
os quebra-cabeças complexos de Zenão inspiraram
matemáticos e filósofos
a compreender melhor a natureza do infinito.
Um dos problemas mais conhecidos de Zenão
é o chamado paradoxo da dicotomia,
que, em grego antigo, quer dizer "o paradoxo de partir em dois".
É algo deste género:
Depois de um longo dia a pensar,
Zenão decide ir de sua casa ao parque.
O ar fresco ajuda-o a limpar a sua mente
e a pensar melhor.
De forma a chegar ao parque,
ele primeiro tem que chegar a meio do caminho.
Esta parte da sua viagem
demora um tempo finito.
Quando ele chega ao meio,
ainda tem que caminhar metade da restante distância.
Novamente, isto demora um tempo finito.
Quando chega aí, ainda tem que caminhar
metade da restante distância,
o que volta a demorar um período finito de tempo.
Isto repete-se uma e outra e outra vez.
Como podem ver, podemos continuar isto para sempre,
dividindo a distância que sobrar
em pedaços cada vez mais pequenos
sendo que cada um demora um tempo finito a ser percorrido.
Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque?
Bem, para descobrirmos, temos que adicionar os tempos
de cada uma das partes da viagem.
O problema é que há infinitas partes de tempo finito.
Portanto, não deveria o total ser infinito?
Já agora, este argumento é completamente geral.
Diz que qualquer viagem de um ponto para outro
deveria demorar um tempo infinito.
Por outras palavras, diz que qualquer movimento é impossível.
Esta conclusão é claramente absurda,
mas onde é que está o erro na lógica?
Para resolver o paradoxo,
ajuda transformar a história num problema matemático.
Vamos supor que a casa de Zenão está a pouco mais de um quilómetro e meio do parque
e que Zenão anda a pouco mais de um quilómetro e meio por hora.
O senso comum diz-nos que o tempo da viagem
deverá ser de uma hora.
Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão
e dividir a viagem em partes mais pequenas.
A primeira metade da viagem demora meia hora,
a parte seguinte demora um quarto de hora,
a terceira demora um oitavo de uma hora,
e assim por diante.
Somando todos estes tempos,
obtemos uma série com este aspeto.
– "Agora"– diria Zenão –
"como o número de termos é infinito
"do lado direito da equação,
"e cada termo individual é finito,
"a soma deveria ser igual ao infinito, certo?"
Este é o problema com o argumento de Zenão.
Como os matemáticos vieram a descobrir,
é possível somar um número infinito de termos finitos
e, mesmo assim, obter uma resposta finita.
– "Como?" – perguntam vocês.
Bem, vamos ver as coisas desta forma.
Vamos começar com um quadrado que tem um metro de área.
Agora vamos partir o quadrado ao meio,
e depois dividir o restante ao meio,
e assim por diante.
Enquanto fazemos isto,
vamos anotar as áreas das peças.
O primeiro corte divide em duas partes,
cada uma com uma área de uma metade.
O próximo corte divide uma dessas metades em metade,
e assim por diante.
Mas, não importa quantas vezes dividamos as caixas,
a área total é sempre a soma de todas as peças.
Agora já percebem porque é que escolhemos esta forma em específico
de cortar o quadrado.
Obtemos a mesma série infinita
que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão.
Ao construirmos mais e mais peças azuis,
e usando o jargão matemático,
quando chegamos ao limite com "n" a tender para o infinito,
todo o quadrado fica coberto de azul.
Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,
e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um.
Voltando à viagem de Zenão,
podemos então ver como o paradoxo é resolvido.
Não só obtemos uma resposta finita da soma da série infinita,
como essa resposta finita é a mesma
que o senso comum nos dá.
A viagem do Zenão demora uma hora.