WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
Este é Zenão de Eleia,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
um antigo filósofo grego

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
famoso por inventar uma série de paradoxos:

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
argumentos que parecem lógicos,

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
mas cuja conclusão é absurda ou contraditória.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Durante mais de 2000 anos,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
os quebra-cabeças complexos de Zenão inspiraram

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
matemáticos e filósofos

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
a compreender melhor a natureza do infinito.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
Um dos problemas mais conhecidos de Zenão

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
é o chamado paradoxo da dicotomia,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
que, em grego antigo, quer dizer
"o paradoxo de partir em dois".

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
É algo deste género:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
Depois de um longo dia a pensar,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zenão decide ir de sua casa ao parque.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
O ar fresco ajuda-o a limpar a sua mente

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
e a pensar melhor.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
De forma a chegar ao parque,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
ele primeiro tem que chegar a meio do caminho.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Esta parte da sua viagem

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
demora um tempo finito.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Quando ele chega ao meio,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
ainda tem que caminhar metade da restante distância.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
Novamente, isto demora um tempo finito.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
Quando chega aí, ainda tem que caminhar

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
metade da restante distância,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
o que volta a demorar um período finito de tempo.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Isto repete-se uma e outra e outra vez.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Como podem ver, podemos continuar isto para sempre,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
dividindo a distância que sobrar

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
em pedaços cada vez mais pequenos

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
sendo que cada um demora um 
tempo finito a ser percorrido.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Bem, para descobrirmos, 
temos que adicionar os tempos

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
de cada uma das partes da viagem.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
O problema é que há infinitas partes de tempo finito.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Portanto, não deveria o total ser infinito?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Já agora, este argumento é completamente geral.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
Diz que qualquer viagem de um ponto para outro

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
deveria demorar um tempo infinito.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
Por outras palavras, diz que qualquer 
movimento é impossível.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Esta conclusão é claramente absurda,

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
mas onde é que está o erro na lógica?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
Para resolver o paradoxo,

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
ajuda transformar a história 
num problema matemático.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Vamos supor que a casa de Zenão está a 
pouco mais de um quilómetro e meio do parque

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
e que Zenão anda a pouco mais de 
um quilómetro e meio por hora.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
O senso comum diz-nos que o tempo da viagem

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
deverá ser de pouco mais de uma hora.

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
e dividir a viagem em partes mais pequenas.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
A primeira metade da viagem demora meia hora,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
a parte seguinte demora um quarto de hora,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
a terceira demora um oitavo de uma hora,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
e assim por diante.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
Somando todos estes tempos,

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
obtemos uma série com este aspeto.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
– "Agora"– diria Zenão –

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
"como o número de termos é infinito

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
"do lado direito da equação,

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
"e cada termo individual é finito,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
"a soma deveria ser igual ao infinito, certo?"

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
Este é o problema com o argumento de Zenão.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Como os matemáticos vieram a descobrir,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
é possível somar um número infinito de termos finitos

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
e, mesmo assim, obter uma resposta finita.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
– "Como?" – perguntam vocês.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Bem, vamos ver as coisas desta forma.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Vamos começar com um quadrado 
que tem um metro de área.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Agora vamos partir o quadrado ao meio,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
e depois dividir o restante ao meio,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
e assim por diante.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Enquanto fazemos isto,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
vamos anotar as áreas das peças.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
O primeiro corte divide em duas partes,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
cada uma com uma área de uma metade.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
O próximo corte divide uma dessas 
metades em metade,

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
e assim por diante.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
Mas, não importa quantas vezes dividamos as caixas,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
a área total é sempre a soma de todas as peças.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Agora já percebem porque é que escolhemos 
esta forma em específico

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
de cortar o quadrado.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Obtemos a mesma série infinita

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Ao construirmos mais e mais peças azuis,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
e usando o jargão matemático,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
quando chegamos ao limite 
com "n" a tender para o infinito,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
todo o quadrado fica coberto de azul.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
Voltando à viagem de Zenão,

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
podemos então ver como o paradoxo é resolvido.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
Não só obtemos uma resposta finita 
da soma da série infinita,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
como essa resposta finita é a mesma

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
que o senso comum nos dá.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
A viagem do Zenão demora pouco mais de uma hora.