Este é Zenão de Eleia,
um filósofo da Grécia Antiga,
famoso por inventar alguns paradoxos,
argumentos que parecem lógicos,
mas que chegam a conclusões absurdas ou contraditórias.
Por mais de dois mil anos,
os complexos enigmas de Zenão inspiraram
matemáticos e filósofos
a tentar compreender melhor a natureza do infinito.
Um dos enigmas mais conhecidos de Zenão
é chamado de paradoxo da dicotomia,
que significa "o paradoxo da divisão em duas partes", grego antigo.
É mais ou menos assim:
Depois de um longo dia sentado, pensando,
Zenão decide caminhar de sua casa até o parque.
O ar fresco clareia sua mente
e o ajuda a pensar melhor.
Para conseguir chegar ao parque,
ele precisa primeiro caminhar metade do caminho até lá.
Essa parte de sua viagem
leva um período de tempo finito.
Quando ele chega à metade do caminho,
ele precisa caminhar metade da distância que falta.
Novamente, isso leva um período de tempo finito.
Quando terminar, ainda vai precisa caminhar
metade da distância que sobrou,
o que leva mais um período de tempo finito.
E assim sucessivamente.
Veja que podemos continuar eternamente fazendo isso,
dividindo seja qual for a distância que faltar
em pedaços cada vez menores,
cada qual levando um período de tempo finito para ser percorrido.
Então, quanto tempo Zenão levou para chegar ao parque?
Bem, para descobrir, é preciso somar os períodos
de cada um dos pedaços da viagem.
O problema é que existe uma infinidade desses pedaços finitos.
O tempo total não deveria, então, ser infinito?
Essa argumentação, a propósito, é completamente vaga.
Ela afirma que o percurso de um local a qualquer outro
leva um período de tempo igual ao infinito.
Ou seja, ela afirma que é impossível concluir o percurso inteiro.
Essa conclusão é obviamente absurda,
mas onde está a falha da lógica?
Para resolver esse paradoxo,
é preciso transformar essa história em uma equação matemática.
Vamos supor que a casa de Zenão fique a 1.6 km do parque
e que Zenão caminhe a 1.6 km por hora.
Todos podemos naturalmente concluir que essa viagem
deveria durar uma hora.
Mas vamos analisar as coisas sob a ótica de Zenão
e dividir essa viagem em pedaços.
A primeira metade da viagem leva meia hora,
a próxima parte leva 15 minutos,
a terceira parte leva 7.5 minutos,
e por aí vai.
Somando todos esses intervalos,
chegamos a um total parecido com isso.
"Agora", Zenão talvez diga,
"uma vez que existem muitos termos
do lado direito da equação,
e cada termo individual é finito,
a soma deveria ser igual ao infinito, correto?"
Esse é o problema da argumentação de Zenão.
Como os matemáticos perceberam,
é possível somar uma quantidade infinita de termos finitos
e, ainda assim, obter uma resposta finita.
"Como?", você se pergunta.
Bem, vamos pensar assim.
Vamos começar com um quadrado que possui uma área de 1 metro.
Agora, vamos cortar o quadrado ao meio,
e cortar uma das partes ao meio,
e assim por diante.
Enquanto estamos fazendo isso,
não vamos perder de vista as áreas dos pedaços.
O primeiro corte gera duas partes,
cada uma com a área de meio metro.
O próximo corte divide uma dessas partes pela metade,
e por aí vai.
Mas, não importa quantas vezes cortemos os quadrados,
a área total ainda é a soma das áreas de todas as partes.
Agora é possível entender por que escolhemos essa maneira
de cortar o quadrado.
Obtivemos a mesma soma infinita
a que chegamos com a viagem de Zenão.
Ao criarmos cada vez mais partes azuis,
(para sermos didáticos),
admitindo um limite onde "n" tende ao infinito,
teremos um quadrado inteiro de frações.
Mas a área do quadrado é apenas uma,
e por isso a soma infinita deve ser igual a 1.
Voltando à viagem de Zenão,
podemos ver como esse paradoxo é resolvido.
Essa soma infinita não só resulta em uma resposta finita,
como essa resposta finita é igual
ao que o bom senso nos sugere.
A viagem de Zenão leva uma hora.