WEBVTT 00:00:15.096 --> 00:00:16.871 Este é Zenão de Eleia, 00:00:16.871 --> 00:00:18.377 um filósofo da Grécia Antiga, 00:00:18.377 --> 00:00:21.042 famoso por inventar alguns paradoxos, 00:00:21.042 --> 00:00:22.560 argumentos que parecem lógicos, 00:00:22.560 --> 00:00:25.779 mas que chegam a conclusões absurdas ou contraditórias. 00:00:25.779 --> 00:00:27.183 Por mais de dois mil anos, 00:00:27.183 --> 00:00:29.694 os complexos enigmas de Zenão inspiraram 00:00:29.694 --> 00:00:31.310 matemáticos e filósofos 00:00:31.310 --> 00:00:33.746 a tentar compreender melhor a natureza do infinito. 00:00:33.746 --> 00:00:35.525 Um dos enigmas mais conhecidos de Zenão 00:00:35.525 --> 00:00:37.741 é chamado de paradoxo da dicotomia, 00:00:37.741 --> 00:00:41.527 que significa "o paradoxo da divisão em duas partes", grego antigo. 00:00:41.527 --> 00:00:43.315 É mais ou menos assim: 00:00:43.315 --> 00:00:46.154 Depois de um longo dia sentado, pensando, 00:00:46.154 --> 00:00:48.950 Zenão decide caminhar de sua casa até o parque. 00:00:48.950 --> 00:00:50.397 O ar fresco clareia sua mente 00:00:50.397 --> 00:00:51.920 e o ajuda a pensar melhor. 00:00:51.920 --> 00:00:53.075 Para conseguir chegar ao parque, 00:00:53.075 --> 00:00:55.428 ele precisa primeiro caminhar metade do caminho até lá. 00:00:55.428 --> 00:00:56.601 Essa parte de sua viagem 00:00:56.601 --> 00:00:58.443 leva um período de tempo finito. 00:00:58.443 --> 00:01:00.452 Quando ele chega à metade do caminho, 00:01:00.452 --> 00:01:02.841 ele precisa caminhar metade da distância que falta. 00:01:02.841 --> 00:01:05.868 Novamente, isso leva um período de tempo finito. 00:01:05.868 --> 00:01:08.140 Quando terminar, ainda vai precisa caminhar 00:01:08.140 --> 00:01:09.882 metade da distância que sobrou, 00:01:09.882 --> 00:01:12.371 o que leva mais um período de tempo finito. 00:01:12.371 --> 00:01:15.522 E assim sucessivamente. 00:01:15.522 --> 00:01:18.195 Veja que podemos continuar eternamente fazendo isso, 00:01:18.195 --> 00:01:19.857 dividindo seja qual for a distância que faltar 00:01:19.857 --> 00:01:21.772 em pedaços cada vez menores, 00:01:21.772 --> 00:01:25.278 cada qual levando um período de tempo finito para ser percorrido. 00:01:25.278 --> 00:01:27.958 Então, quanto tempo Zenão levou para chegar ao parque? 00:01:27.958 --> 00:01:30.317 Bem, para descobrir, é preciso somar os períodos 00:01:30.317 --> 00:01:32.284 de cada um dos pedaços da viagem. 00:01:32.284 --> 00:01:36.616 O problema é que existe uma infinidade desses pedaços finitos. 00:01:36.616 --> 00:01:39.750 O tempo total não deveria, então, ser infinito? 00:01:39.750 --> 00:01:42.548 Essa argumentação, a propósito, é completamente vaga. 00:01:42.548 --> 00:01:45.092 Ela afirma que o percurso de um local a qualquer outro 00:01:45.092 --> 00:01:47.254 leva um período de tempo igual ao infinito. 00:01:47.254 --> 00:01:51.006 Ou seja, ela afirma que é impossível concluir o percurso inteiro. 00:01:51.006 --> 00:01:52.785 Essa conclusão é obviamente absurda, 00:01:52.785 --> 00:01:54.784 mas onde está a falha da lógica? 00:01:54.784 --> 00:01:55.966 Para resolver esse paradoxo, 00:01:55.966 --> 00:01:58.731 é preciso transformar essa história em uma equação matemática. 00:01:58.731 --> 00:02:01.618 Vamos supor que a casa de Zenão fique a 1.6 km do parque 00:02:01.618 --> 00:02:04.341 e que Zenão caminhe a 1.6 km por hora. 00:02:04.341 --> 00:02:06.692 Todos podemos naturalmente concluir que essa viagem 00:02:06.692 --> 00:02:08.205 deveria durar uma hora. 00:02:08.205 --> 00:02:10.867 Mas vamos analisar as coisas sob a ótica de Zenão 00:02:10.867 --> 00:02:13.196 e dividir essa viagem em pedaços. 00:02:13.196 --> 00:02:15.656 A primeira metade da viagem leva meia hora, 00:02:15.656 --> 00:02:17.782 a próxima parte leva 15 minutos, 00:02:17.782 --> 00:02:20.064 a terceira parte leva 7.5 minutos, 00:02:20.064 --> 00:02:20.969 e por aí vai. 00:02:20.969 --> 00:02:22.266 Somando todos esses intervalos, 00:02:22.266 --> 00:02:24.372 chegamos a um total parecido com isso. 00:02:24.372 --> 00:02:25.624 "Agora", Zenão talvez diga, 00:02:25.624 --> 00:02:27.964 "uma vez que existem muitos termos 00:02:27.964 --> 00:02:29.621 do lado direito da equação, 00:02:29.621 --> 00:02:31.883 e cada termo individual é finito, 00:02:31.883 --> 00:02:34.518 a soma deveria ser igual ao infinito, correto?" 00:02:34.518 --> 00:02:36.670 Esse é o problema da argumentação de Zenão. 00:02:36.670 --> 00:02:38.855 Como os matemáticos perceberam, 00:02:38.855 --> 00:02:42.618 é possível somar uma quantidade infinita de termos finitos 00:02:42.618 --> 00:02:44.814 e, ainda assim, obter uma resposta finita. 00:02:44.814 --> 00:02:45.989 "Como?", você se pergunta. 00:02:45.989 --> 00:02:47.486 Bem, vamos pensar assim. 00:02:47.486 --> 00:02:50.390 Vamos começar com um quadrado que possui uma área de 1 metro. 00:02:50.390 --> 00:02:52.528 Agora, vamos cortar o quadrado ao meio, 00:02:52.528 --> 00:02:54.909 e cortar uma das partes ao meio, 00:02:54.909 --> 00:02:56.172 e assim por diante. 00:02:56.172 --> 00:02:57.239 Enquanto estamos fazendo isso, 00:02:57.239 --> 00:03:00.380 não vamos perder de vista as áreas dos pedaços. 00:03:00.380 --> 00:03:02.169 O primeiro corte gera duas partes, 00:03:02.169 --> 00:03:04.028 cada uma com a área de meio metro. 00:03:04.028 --> 00:03:06.545 O próximo corte divide uma dessas partes pela metade, 00:03:06.545 --> 00:03:07.796 e por aí vai. 00:03:07.796 --> 00:03:10.227 Mas, não importa quantas vezes cortemos os quadrados, 00:03:10.227 --> 00:03:14.814 a área total ainda é a soma das áreas de todas as partes. 00:03:14.814 --> 00:03:17.442 Agora é possível entender por que escolhemos essa maneira 00:03:17.442 --> 00:03:18.971 de cortar o quadrado. 00:03:18.971 --> 00:03:20.888 Obtivemos a mesma soma infinita 00:03:20.888 --> 00:03:23.356 a que chegamos com a viagem de Zenão. 00:03:23.356 --> 00:03:25.791 Ao criarmos cada vez mais partes azuis, 00:03:25.791 --> 00:03:27.314 (para sermos didáticos), 00:03:27.314 --> 00:03:30.742 admitindo um limite onde "n" tende ao infinito, 00:03:30.742 --> 00:03:33.356 teremos um quadrado inteiro de frações. 00:03:33.356 --> 00:03:35.427 Mas a área do quadrado é apenas uma, 00:03:35.427 --> 00:03:38.700 e por isso a soma infinita deve ser igual a 1. 00:03:38.700 --> 00:03:39.754 Voltando à viagem de Zenão, 00:03:39.754 --> 00:03:42.370 podemos ver como esse paradoxo é resolvido. 00:03:42.370 --> 00:03:45.713 Essa soma infinita não só resulta em uma resposta finita, 00:03:45.713 --> 00:03:47.745 como essa resposta finita é igual 00:03:47.745 --> 00:03:50.172 ao que o bom senso nos sugere. 00:03:50.172 --> 00:03:52.877 A viagem de Zenão leva uma hora.