0:00:15.096,0:00:16.871
Este é Zenão de Eleia,

0:00:16.871,0:00:18.377
um filósofo da Grécia Antiga,

0:00:18.377,0:00:21.042
famoso por inventar alguns paradoxos,

0:00:21.042,0:00:22.560
argumentos que parecem lógicos,

0:00:22.560,0:00:25.779
mas que chegam a conclusões absurdas ou contraditórias.

0:00:25.779,0:00:27.183
Por mais de dois mil anos,

0:00:27.183,0:00:29.694
os complexos enigmas de Zenão inspiraram

0:00:29.694,0:00:31.310
matemáticos e filósofos

0:00:31.310,0:00:33.746
a tentar compreender melhor a natureza do infinito.

0:00:33.746,0:00:35.525
Um dos enigmas mais conhecidos de Zenão

0:00:35.525,0:00:37.741
é chamado de paradoxo da dicotomia,

0:00:37.741,0:00:41.527
que significa "o paradoxo da divisão em duas partes", grego antigo.

0:00:41.527,0:00:43.315
É mais ou menos assim:

0:00:43.315,0:00:46.154
Depois de um longo dia sentado, pensando,

0:00:46.154,0:00:48.950
Zenão decide caminhar de sua casa até o parque.

0:00:48.950,0:00:50.397
O ar fresco clareia sua mente

0:00:50.397,0:00:51.920
e o ajuda a pensar melhor.

0:00:51.920,0:00:53.075
Para conseguir chegar ao parque,

0:00:53.075,0:00:55.428
ele precisa primeiro caminhar metade do caminho até lá.

0:00:55.428,0:00:56.601
Essa parte de sua viagem

0:00:56.601,0:00:58.443
leva um período de tempo finito.

0:00:58.443,0:01:00.452
Quando ele chega à metade do caminho,

0:01:00.452,0:01:02.841
ele precisa caminhar metade da distância que falta.

0:01:02.841,0:01:05.868
Novamente, isso leva um período de tempo finito.

0:01:05.868,0:01:08.140
Quando terminar, ainda vai precisa caminhar

0:01:08.140,0:01:09.882
metade da distância que sobrou,

0:01:09.882,0:01:12.371
o que leva mais um período de tempo finito.

0:01:12.371,0:01:15.522
E assim sucessivamente.

0:01:15.522,0:01:18.195
Veja que podemos continuar eternamente fazendo isso,

0:01:18.195,0:01:19.857
dividindo seja qual for a distância que faltar

0:01:19.857,0:01:21.772
em pedaços cada vez menores,

0:01:21.772,0:01:25.278
cada qual levando um período de tempo finito para ser percorrido.

0:01:25.278,0:01:27.958
Então, quanto tempo Zenão levou para chegar ao parque?

0:01:27.958,0:01:30.317
Bem, para descobrir, é preciso somar os períodos

0:01:30.317,0:01:32.284
de cada um dos pedaços da viagem.

0:01:32.284,0:01:36.616
O problema é que existe uma infinidade desses pedaços finitos.

0:01:36.616,0:01:39.750
O tempo total não deveria, então, ser infinito?

0:01:39.750,0:01:42.548
Essa argumentação, a propósito, é completamente vaga.

0:01:42.548,0:01:45.092
Ela afirma que o percurso de um local a qualquer outro

0:01:45.092,0:01:47.254
leva um período de tempo igual ao infinito.

0:01:47.254,0:01:51.006
Ou seja, ela afirma que é impossível concluir o percurso inteiro.

0:01:51.006,0:01:52.785
Essa conclusão é obviamente absurda,

0:01:52.785,0:01:54.784
mas onde está a falha da lógica?

0:01:54.784,0:01:55.966
Para resolver esse paradoxo,

0:01:55.966,0:01:58.731
é preciso transformar essa história em uma equação matemática.

0:01:58.731,0:02:01.618
Vamos supor que a casa de Zenão fique a 1.6 km do parque

0:02:01.618,0:02:04.341
e que Zenão caminhe a 1.6 km por hora.

0:02:04.341,0:02:06.692
Todos podemos naturalmente concluir que essa viagem

0:02:06.692,0:02:08.205
deveria durar uma hora.

0:02:08.205,0:02:10.867
Mas vamos analisar as coisas sob a ótica de Zenão

0:02:10.867,0:02:13.196
e dividir essa viagem em pedaços.

0:02:13.196,0:02:15.656
A primeira metade da viagem leva meia hora,

0:02:15.656,0:02:17.782
a próxima parte leva 15 minutos,

0:02:17.782,0:02:20.064
a terceira parte leva 7.5 minutos,

0:02:20.064,0:02:20.969
e por aí vai.

0:02:20.969,0:02:22.266
Somando todos esses intervalos,

0:02:22.266,0:02:24.372
chegamos a um total parecido com isso.

0:02:24.372,0:02:25.624
"Agora", Zenão talvez diga,

0:02:25.624,0:02:27.964
"uma vez que existem muitos termos

0:02:27.964,0:02:29.621
do lado direito da equação,

0:02:29.621,0:02:31.883
e cada termo individual é finito,

0:02:31.883,0:02:34.518
a soma deveria ser igual ao infinito, correto?"

0:02:34.518,0:02:36.670
Esse é o problema da argumentação de Zenão.

0:02:36.670,0:02:38.855
Como os matemáticos perceberam,

0:02:38.855,0:02:42.618
é possível somar uma quantidade infinita de termos finitos

0:02:42.618,0:02:44.814
e, ainda assim, obter uma resposta finita.

0:02:44.814,0:02:45.989
"Como?", você se pergunta.

0:02:45.989,0:02:47.486
Bem, vamos pensar assim.

0:02:47.486,0:02:50.390
Vamos começar com um quadrado que possui uma área de 1 metro.

0:02:50.390,0:02:52.528
Agora, vamos cortar o quadrado ao meio,

0:02:52.528,0:02:54.909
e cortar uma das partes ao meio,

0:02:54.909,0:02:56.172
e assim por diante.

0:02:56.172,0:02:57.239
Enquanto estamos fazendo isso,

0:02:57.239,0:03:00.380
não vamos perder de vista as áreas dos pedaços.

0:03:00.380,0:03:02.169
O primeiro corte gera duas partes,

0:03:02.169,0:03:04.028
cada uma com a área de meio metro.

0:03:04.028,0:03:06.545
O próximo corte divide uma dessas partes pela metade,

0:03:06.545,0:03:07.796
e por aí vai.

0:03:07.796,0:03:10.227
Mas, não importa quantas vezes cortemos os quadrados,

0:03:10.227,0:03:14.814
a área total ainda é a soma das áreas de todas as partes.

0:03:14.814,0:03:17.442
Agora é possível entender por que escolhemos essa maneira

0:03:17.442,0:03:18.971
de cortar o quadrado.

0:03:18.971,0:03:20.888
Obtivemos a mesma soma infinita

0:03:20.888,0:03:23.356
a que chegamos com a viagem de Zenão.

0:03:23.356,0:03:25.791
Ao criarmos cada vez mais partes azuis,

0:03:25.791,0:03:27.314
(para sermos didáticos),

0:03:27.314,0:03:30.742
admitindo um limite onde "n" tende ao infinito,

0:03:30.742,0:03:33.356
teremos um quadrado inteiro de frações.

0:03:33.356,0:03:35.427
Mas a área do quadrado é apenas uma,

0:03:35.427,0:03:38.700
e por isso a soma infinita deve ser igual a 1.

0:03:38.700,0:03:39.754
Voltando à viagem de Zenão,

0:03:39.754,0:03:42.370
podemos ver como esse paradoxo é resolvido.

0:03:42.370,0:03:45.713
Essa soma infinita não só resulta em uma resposta finita,

0:03:45.713,0:03:47.745
como essa resposta finita é igual

0:03:47.745,0:03:50.172
ao que o bom senso nos sugere.

0:03:50.172,0:03:52.877
A viagem de Zenão leva uma hora.