WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
To jest Zenon z Elei,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
starożytny grecki filozof,

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
który wymyślił wiele paradoksów -

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
argumentów,
które wydają się logiczne

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
ale prowadzą do absurdalnych
lub sprzecznych wniosków.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Przez ponad dwa tysiące lat

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
zawiłe zagadki Zenona

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
inspirowały matematyków i filozofów,

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
by lepiej zrozumieć
naturę nieskończoności.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
Jeden z najbardziej znanych
problemów Zenona

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
nazywamy paradoksem dychotomii

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
czyli paradoksem "dzielenia na pół"
w starożytnej grece.

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Było mniej więcej tak...

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
Po długim dniu rozmyślań

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zenon postanawia przejść się
na spacer do parku.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
Świeże powietrze oczyszcza umysł

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
i pomaga lepiej myśleć.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Żeby dostać się do parku,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
Zenon najpierw musi przejść
połowę drogi.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Ta część wycieczki

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
zajmuje pewną
skończoną ilość czasu.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Kiedy już jest w połowie,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
musi przejść połowę
pozostałej odległości.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
I znów, zajmuje to skończony czas.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
Następnie znów ma przed sobą

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
połowę pozostałej odległości,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
którą przebywa w określonym czasie.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Sytuacja powtarza się.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Widzicie, że możemy to robić
w nieskończoność,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
dzielić pozostałą odległość

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
na coraz mniejsze kawałki,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
a przebycie każdego to określony czas.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Ile więc zajmie droga
Zenona do parku?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Żeby to sprawdzić
musimy dodać czasy

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
wszystkich odcinków jego wycieczki.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
Problem w tym, że ilość tych skończonych
odcinków jest nieskończona.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Czy zatem całkowity czas
to nieskończoność?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Zauważcie, że ten argument
dotyczy wszystkiego.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
Chodzi o to, że podróż
z jednego punktu do innego

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
powinna trwać nieskończoność.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
Innymi słowy,
wszelki ruch jest niemożliwy.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Ten wniosek
jest oczywiście absurdalny.

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
Ale gdzie jest błąd w logice?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
By rozwiązać ten paradoks,

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
musimy posłużyć się matematyką.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Załóżmy, że park znajduje się
w odległości mili od domu Zenona,

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
a on chodzi z prędkością
jednej mili na godzinę.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
Na zdrowy rozum wiemy,

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
że droga powinna zająć godzinę.

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
Ale spójrzmy na to jak Zenon

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
i podzielmy drogę na kawałki.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
Pierwsza połowa
zajmie pół godziny,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
kolejna część ćwiartkę,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
trzecia jedną ósmą godziny,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
i tak dalej.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
Kiedy dodamy wszystkie te czasy

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
wyjdzie nam taki ciąg.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
"Teraz" - powiedziałby Zenon,

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
"skoro jest nieskończenie wiele czasów

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
po prawej stronie równania

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
a każdy z nich jest skończony,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
sumą powinna być
nieskończoność, tak?".

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
Oto problem z argumentem Zenona.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Jak zauważyli matematycy,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
możemy dodać nieskończenie
wiele skończonych części

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
i wciąż mieć skończony wynik.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
Pytacie jak?

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Cóż, spójrzmy na to w ten sposób.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Mamy kwadrat
o powierzchni jednego metra.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Podzielimy go na pół,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
następnie pozostałą część na pół

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
i tak dalej.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Ale dzieląc

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
przyjrzyjmy się powierzchni
powstałych części.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
Pierwsze cięcie tworzy dwie części,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
każda po powierzchni połowy.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
W kolejnym dzielimy
jedną z połówek na pół

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
i tak dalej.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
Jednak ile razy byśmy nie dzielili

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
powierzchnia całkowita
to wciąż suma wszystkich części.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Widzicie teraz dlaczego

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
pokazujemy to właśnie tak.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Powstała taka sama
nieskończona seria podziałów,

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
jak w przypadku
czasu podróży Zenona.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Kiedy tworzymy
kolejne niebieskie kawałki,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
mówiąc matematycznie -

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
zakładamy,
że n dąży do nieskończoności

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
cały kwadrat staje się niebieski.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
Ale kwadrat jest jeden,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
więc suma tej nieskończonej ilości
musi być równa 1.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
Wracając do podróży Zenona

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
możemy zobaczyć,
że rozwiązaliśmy paradoks.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
Nie tylko nieskończona seria
prowadzi do skończonego wyniku,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
ale ten wynik jest taki sam

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
jak ten, który podpowiadał nam
zdrowy rozsądek.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
Podróż Zenona zajmie godzinę.