To jest Zenon z Elei,
starożytny grecki filozof,
który wymyślił wiele paradoksów -
argumentów, które wydają się logiczne
ale prowadzą do absurdalnych lub sprzecznych wniosków.
Przez ponad dwa tysiące lat
zawiłe zagadki Zenona
inspirowały matematyków i filozofów,
by lepiej zrozumieć naturę nieskończoności.
Jeden z najbardziej znanych problemów Zenona
nazywamy paradoksem dychotomii
czyli paradoksem "dzielenia na pół" w starożytnej grece.
Było mniej więcej tak...
Po długim dniu rozmyślań
Zenon postanawia przejść się na spacer do parku.
Świeże powietrze oczyszcza umysł
i pomaga lepiej myśleć.
Żeby dostać się do parku,
Zenon najpierw musi przejść połowę drogi.
Ta część wycieczki
zajmuje pewną skończoną ilość czasu.
Kiedy już jest w połowie,
musi przejść połowę pozostałej odległości.
I znów, zajmuje to skończony czas.
Następnie znów ma przed sobą
połowę pozostałej odległości,
którą przebywa w określonym czasie.
Sytuacja powtarza się.
Widzicie, że możemy to robić w nieskończoność,
dzielić pozostałą odległość
na coraz mniejsze kawałki,
a przebycie każdego to określony czas.
Ile więc zajmie droga Zenona do parku?
Żeby to sprawdzić musimy dodać czasy
wszystkich odcinków jego wycieczki.
Problem w tym, że ilość tych skończonych odcinków jest nieskończona.
Czy zatem całkowity czas to nieskończoność?
Zauważcie, że ten argument dotyczy wszystkiego.
Chodzi o to, że podróż z jednego punktu do innego
powinna trwać nieskończoność.
Innymi słowy, wszelki ruch jest niemożliwy.
Ten wniosek jest oczywiście absurdalny.
Ale gdzie jest błąd w logice?
By rozwiązać ten paradoks,
musimy posłużyć się matematyką.
Załóżmy, że park znajduje się w odległości mili od domu Zenona,
a on chodzi z prędkością jednej mili na godzinę.
Na zdrowy rozum wiemy,
że droga powinna zająć godzinę.
Ale spójrzmy na to jak Zenon
i podzielmy drogę na kawałki.
Pierwsza połowa zajmie pół godziny,
kolejna część ćwiartkę,
trzecia jedną ósmą godziny,
i tak dalej.
Kiedy dodamy wszystkie te czasy
wyjdzie nam taki ciąg.
"Teraz" - powiedziałby Zenon,
"skoro jest nieskończenie wiele czasów
po prawej stronie równania
a każdy z nich jest skończony,
sumą powinna być nieskończoność, tak?".
Oto problem z argumentem Zenona.
Jak zauważyli matematycy,
możemy dodać nieskończenie wiele skończonych części
i wciąż mieć skończony wynik.
Pytacie jak?
Cóż, spójrzmy na to w ten sposób.
Mamy kwadrat o powierzchni jednego metra.
Podzielimy go na pół,
następnie pozostałą część na pół
i tak dalej.
Ale dzieląc
przyjrzyjmy się powierzchni powstałych części.
Pierwsze cięcie tworzy dwie części,
każda po powierzchni połowy.
W kolejnym dzielimy jedną z połówek na pół
i tak dalej.
Jednak ile razy byśmy nie dzielili
powierzchnia całkowita to wciąż suma wszystkich części.
Widzicie teraz dlaczego
pokazujemy to właśnie tak.
Powstała taka sama nieskończona seria podziałów,
jak w przypadku czasu podróży Zenona.
Kiedy tworzymy kolejne niebieskie kawałki,
mówiąc matematycznie -
zakładamy, że n dąży do nieskończoności
cały kwadrat staje się niebieski.
Ale kwadrat jest jeden,
więc suma tej nieskończonej ilości musi być równa 1.
Wracając do podróży Zenona
możemy zobaczyć, że rozwiązaliśmy paradoks.
Nie tylko nieskończona seria prowadzi do skończonego wyniku,
ale ten wynik jest taki sam
jak ten, który podpowiadał nam zdrowy rozsądek.
Podróż Zenona zajmie godzinę.