0:00:15.096,0:00:16.871
이 사람은 엘리아 출신의 제노입니다.

0:00:16.871,0:00:18.377
고대 그리스의 철학자로서

0:00:18.377,0:00:21.042
수많은 역설과 [br]얼핏 보기에는 논리적이지만

0:00:21.042,0:00:22.560
결과가 이상하거나 모순적인 논제를

0:00:22.560,0:00:25.779
만들어 낸 것으로 유명합니다.

0:00:25.779,0:00:27.183
2천년이 넘는 시간 동안,

0:00:27.183,0:00:29.694
생각을 혼동스럽게 하는[br]제노의 수수께끼들은

0:00:29.694,0:00:31.310
수학자들과 철학자들에게 영감을 불어넣어

0:00:31.310,0:00:33.746
무한의 특성을 잘 이해할 수 있도록 했습니다.

0:00:33.746,0:00:35.525
가장 잘 알려진 제노의 문제는

0:00:35.525,0:00:37.741
"이분법적 역설(dichotomy paradox)"이라고 합니다.

0:00:37.741,0:00:41.527
이것은 고대 그리스어로 [br]"반으로 잘라 생기는 역설"을 의미합니다.

0:00:41.527,0:00:43.315
이렇게 시작합니다:

0:00:43.315,0:00:46.154
하루 종일 앉아서 생각만하다가

0:00:46.154,0:00:48.950
제노는 집에서 공원까지 산책을 하기로 합니다.

0:00:48.950,0:00:50.397
신선한 공기는 그의 정신을 맑게 하고

0:00:50.397,0:00:51.920
생각을 더 잘 할 수 있도록 돕습니다.

0:00:51.920,0:00:53.075
공원에 가려면

0:00:53.075,0:00:55.428
그는 일단 공원의 중간 지점까지 가야합니다.

0:00:55.428,0:00:56.601
전체 여정에서 이 만큼은

0:00:56.601,0:00:58.443
유한한 양의 시간이 걸리죠.

0:00:58.443,0:01:00.452
중간 지점에 도달하면

0:01:00.452,0:01:02.841
나머지 거리의 반을 더 갑니다.

0:01:02.841,0:01:05.868
이번에도 유한한 양의 시간이 걸리죠.

0:01:05.868,0:01:08.140
거기까지 가면, 남은 거리의

0:01:08.140,0:01:09.882
반을 더 가야합니다.

0:01:09.882,0:01:12.371
이것 또한 유한한 양의 시간이 필요하죠.

0:01:12.371,0:01:15.522
이런 일이 계속 반복됩니다.

0:01:15.522,0:01:18.195
남은 거리가 얼마 이건 간에

0:01:18.195,0:01:19.857
더 작은 구간으로 계속 나누다 보면

0:01:19.857,0:01:21.772
이런 방식으로 영원히 갈 수 있다는 것을 [br]알 수 있을 것 입니다.

0:01:21.772,0:01:25.278
이 각각의 작은 구간을 지나는 데에는[br]유한한 시간이 걸립니다.

0:01:25.278,0:01:27.958
그러면 제노가 공원에 도달하기 위해서는 [br]모두 얼마의 시간이 걸릴까요?

0:01:27.958,0:01:30.317
그것을 알아내기 위해서,

0:01:30.317,0:01:32.284
각각의 짧은 구간에서 걸린 시간들을 [br]모두 더해야 합니다.

0:01:32.284,0:01:36.616
문제는 이런 유한한 시간들의 조각들이 [br]무한히 많이 있다는 점이에요.

0:01:36.616,0:01:39.750
그러면 시간의 전체 합은[br]무한대가 되어야하지 않을까요?

0:01:39.750,0:01:42.548
그런데 이런 논제는[br]아주 일반적인 것이에요.

0:01:42.548,0:01:45.092
한 지점에서 다른 지점까지 움직이는 데에는

0:01:45.092,0:01:47.254
무한히 긴 시간이 걸린다는 것이지요.

0:01:47.254,0:01:51.006
바꿔 말하면, 어떤 움직임도[br]불가능하다는 것이죠.

0:01:51.006,0:01:52.785
이런 결론은 정말 말도 안되는 것이지만

0:01:52.785,0:01:54.784
이 논리에 어떤 결함이 있는걸까요?

0:01:54.784,0:01:55.966
이 역설을 풀기 위해서

0:01:55.966,0:01:58.731
이야기를 수학 문제로 바꾸면 도움이 됩니다.

0:01:58.731,0:02:01.618
제노의 집이 공원에서 1 마일 [br]떨어져 있다고 가정해 보죠.

0:02:01.618,0:02:04.341
그리고 제노는 시간당 1마일을 걷습니다.

0:02:04.341,0:02:06.692
전체 이동 시간이 한 시간이라는 것을

0:02:06.692,0:02:08.205
상식적으로 알 수 있습니다.

0:02:08.205,0:02:10.867
하지만 이 상황을 제노의 관점에서

0:02:10.867,0:02:13.196
전체 여정을 작은 구간으로 [br]나누어 봅시다.

0:02:13.196,0:02:15.656
그 여정의 처음 반은 30분 걸리고,

0:02:15.656,0:02:17.782
그 다음은 15분이 걸리고,

0:02:17.782,0:02:20.064
그 나머지 반은 7.5분이 걸립니다.

0:02:20.064,0:02:20.969
이런식으로 계속되는 것이죠,

0:02:20.969,0:02:22.266
이 각각의 시간들을 모두 더하면

0:02:22.266,0:02:24.372
이런 모습의 "급수(series)"가 만들어집니다.

0:02:24.372,0:02:25.624
제노가 말합니다.

0:02:25.624,0:02:27.964
" 이제 이 식의 오른쪽에

0:02:27.964,0:02:29.621
무한히 많은 수가 있고

0:02:29.621,0:02:31.883
각 항은 유한하니까

0:02:31.883,0:02:34.518
그 총합은 무한대겠지?"

0:02:34.518,0:02:36.670
이것이 바로 제노의 논증에서[br]문제가 되는 부분입니다.

0:02:36.670,0:02:38.855
그 후에 수학자들이 알아냈 듯이

0:02:38.855,0:02:42.618
유한한 크기의 항을 무한히 더해도

0:02:42.618,0:02:44.814
그 값은 유한한 값이 될 수 있습니다.

0:02:44.814,0:02:45.989
"어떻게"라고 물으시겠죠.

0:02:45.989,0:02:47.486
자, 이렇게 생각해 봅시다.

0:02:47.486,0:02:50.390
넓이가 1 인 정사각형을 생각해보죠.

0:02:50.390,0:02:52.528
이제 그 사각형을 반으로 잘라내고

0:02:52.528,0:02:54.909
그 남은 반을 다시 반으로 자르기를

0:02:54.909,0:02:56.172
반복합니다.

0:02:56.172,0:02:57.239
이렇게 하면서

0:02:57.239,0:03:00.380
각 단계에서 남은 넓이를 생각해보죠.

0:03:00.380,0:03:02.169
첫번째 조각은 둘로 나뉘니까

0:03:02.169,0:03:04.028
각각은 넓이가 1/2이 됩니다.

0:03:04.028,0:03:06.545
그 한 조각을 반으로 나누면[br]반의 반이 되고,

0:03:06.545,0:03:07.796
이걸 반복하는 겁니다.

0:03:07.796,0:03:10.227
하지만 그 사각형을[br]아무리 여러번 조각내더라도

0:03:10.227,0:03:14.814
전체 넓이는 여전히[br]작은 조각들의 넓이의 합과 같습니다.

0:03:14.814,0:03:17.442
아마 이제 여러분들은[br]우리가 왜 하필 정사각형을

0:03:17.442,0:03:18.971
이렇게 잘랐는지 알게 될 것입니다.

0:03:18.971,0:03:20.888
이렇게 해서 얻은 무한 급수는

0:03:20.888,0:03:23.356
제노의 여정에서 나온 급수와 똑같아요.

0:03:23.356,0:03:25.791
파란색 조각을 계속해서 많이 만들고,

0:03:25.791,0:03:27.314
수학적 용어를 사용합니다.

0:03:27.314,0:03:30.742
n 이 무한대로 가는 극한을 취하면

0:03:30.742,0:03:33.356
전체 사각형은 파란색으로 뒤덮이게 되죠.

0:03:33.356,0:03:35.427
하지만 사각형의 넓이는 정확하게 1 이니까

0:03:35.427,0:03:38.700
무한 합은 1 이어야만 하죠.

0:03:38.700,0:03:39.754
제노의 여정으로 돌아가면,

0:03:39.754,0:03:42.370
우리는 제노의 역설이 어떻게 해결되는지 [br]알 수 있습니다.

0:03:42.370,0:03:45.713
무한 급수의 합이 유한한 값일 뿐만 아니라

0:03:45.713,0:03:47.745
그 유한의 답은 우리가[br]상식적으로 생각하는 그 값과

0:03:47.745,0:03:50.172
일치한다는 것 입니다.

0:03:50.172,0:03:52.877
제노의 여정은 1시간이 걸리죠.