WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
こちらはエレア派のゼノンです

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
古代ギリシャの哲学者で

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
多くのパラドクスを生み出したことで
知られています

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
一見 論理的なように思えても

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
導かれる結論が非合理的であるか
矛盾するものです

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
２千年以上もの間

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
ゼノンの難解な命題は

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
数学者や哲学者が
無限の性質についての

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
理解を深めるのに役立ってきました

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
ゼノンの立てた問いの
最も有名なもののひとつは

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
二分法のパラドクスです

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
古代ギリシャ語で
「２つに分けるパラドクス」の意味です

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
これは次のようなものです

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
一日中 座って
思索にふけっていたので

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
ゼノンは家から公園へ
散歩に行くことにしました

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
新鮮な空気でのおかげで
頭がすっきりし

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
思考に役立つからです

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
公園にたどりつくには

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
まずは公園まで半分の所まで
行かねばなりません

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
この部分の移動には

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
有限の時間がかかります

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
半分の地点に着いたら

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
残りの距離の半分を
進まねばなりません

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
これにも 有限の時間がかかります

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
そこまで行ったら
残りのさらに半分の距離を

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
歩かねばなりません

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
これにも有限の時間がかかります

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
これが何度も繰り返し起こります

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
これは永遠に繰り返されるのが
お分かりですね

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
残りの距離をどんどん

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
小さく分割していくと

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
どの部分を移動するにも
有限の時間がかかります

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
では 公園に着くまでには
どれ位の時間がかかるでしょう？

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
それを知るためには
それぞれの区間にかかる時間を

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
すべて足す必要があります

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
問題は 有限の大きさの部分が
無限に存在するということです

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
では 全体でかかる時間は
無限になるのでしょうか？

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
とはいえ この議論は
まったく大雑把なものです

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
ある一点から
別の一点までの移動には

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
無限の時間がかかると言っているのです

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
つまり あらゆる運動は
不可能だということです

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
この結論は明らかに
理屈に合いませんが

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
この論理のどこに
欠陥があるのでしょう？

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
このパラドクスを解明するには

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
このお話を数学の問いに
変換するといいでしょう

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
仮に ゼノンの家が公園から
１マイル離れており

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
ゼノンは時速１マイルで歩くとしましょう

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
常識的に考えれば
移動にかかる時間は

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
１時間のはずです

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
しかし ゼノンの視点から考えて

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
移動距離を分割してみましょう

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
最初の半分の距離に
かかる時間は30分

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
次の部分は15分

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
その次の部分は7.5分

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
といった具合です

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
これらの時間をすべて足すと

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
このような式になるはずです

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
ゼノンはこう言うかもしれません

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
「さて 式の右辺には
無限の数の

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
数字が続き

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
それぞれの数字は有限であるから

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
その総和は無限なはずだろう？」と

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
これがゼノンの議論における問題です

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
数学者がのちに
発見したところによると

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
有限の数を無限に足し続けて

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
有限の数を導くことは可能なのです

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
どうしてでしょう？

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
次のように考えてみてください

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
面積が１平方メートルの
四角形を考えてみましょう

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
この四角形を半分に分割して

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
半分をさらに半分にと

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
続けていきます

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
これを続ける一方で

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
各部分の総面積を
見失わないようにしましょう

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
最初の分割では
２つになり

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
それぞれが半分の面積です

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
次の分割では
半分をさらに半分にし

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
これが続いていきます

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
でも 何回四角形を
分割したとしても

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
総和はやはり
すべての部分の総和です

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
どうして このように
四角形を切ることにしたのか

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
もう おわかりですね

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
ゼノンの移動時間と同じような

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
無数の四角形が得られるからです

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
青い四角形が増えるにつれて

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
数学用語で言うなれば

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
分割の回数である n が
無限大に近づくにつれて

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
四角形全体が青色になっていきます

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
ですが 四角形の面積は
ちょうど１ですから

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
この無限の総和は１であるはずです

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
ゼノンに話を戻しましょう

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
もう パラドクスの解明方法が
わかりましたね

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
無限に続く数の総和が
有限の数であるだけでなく

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
その有限の数というのは

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
常識的な答えと同じなのです

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
ゼノンの移動には１時間かかるのです