1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
こちらはエレア派のゼノンです

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
古代ギリシャの哲学者で

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
多くのパラドクスを生み出したことで
知られています

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
一見 論理的なように思えても

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
導かれる結論が非合理的であるか
矛盾するものです

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
２千年以上もの間

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
ゼノンの難解な命題は

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
数学者や哲学者が
無限の性質についての

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
理解を深めるのに役立ってきました

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
ゼノンの立てた問いの
最も有名なもののひとつは

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
二分法のパラドクスです

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
古代ギリシャ語で
「２つに分けるパラドクス」の意味です

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
これは次のようなものです

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
一日中 座って
思索にふけっていたので

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
ゼノンは家から公園へ
散歩に行くことにしました

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
新鮮な空気でのおかげで
頭がすっきりし

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
思考に役立つからです

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
公園にたどりつくには

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
まずは公園まで半分の所まで
行かねばなりません

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
この部分の移動には

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
有限の時間がかかります

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
半分の地点に着いたら

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
残りの距離の半分を
進まねばなりません

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
これにも 有限の時間がかかります

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
そこまで行ったら
残りのさらに半分の距離を

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
歩かねばなりません

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
これにも有限の時間がかかります

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
これが何度も繰り返し起こります

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
これは永遠に繰り返されるのが
お分かりですね

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
残りの距離をどんどん

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
小さく分割していくと

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
どの部分を移動するにも
有限の時間がかかります

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
では 公園に着くまでには
どれ位の時間がかかるでしょう？

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
それを知るためには
それぞれの区間にかかる時間を

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
すべて足す必要があります

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
問題は 有限の大きさの部分が
無限に存在するということです

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
では 全体でかかる時間は
無限になるのでしょうか？

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
とはいえ この議論は
まったく大雑把なものです

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
ある一点から
別の一点までの移動には

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
無限の時間がかかると言っているのです

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
つまり あらゆる運動は
不可能だということです

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
この結論は明らかに
理屈に合いませんが

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
この論理のどこに
欠陥があるのでしょう？

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
このパラドクスを解明するには

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
このお話を数学の問いに
変換するといいでしょう

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
仮に ゼノンの家が公園から
１マイル離れており

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
ゼノンは時速１マイルで歩くとしましょう

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
常識的に考えれば
移動にかかる時間は

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
１時間のはずです

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,866
しかし ゼノンの視点から考えて

51
00:02:10,866 --> 00:02:13,196
移動距離を分割してみましょう

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
最初の半分の距離に
かかる時間は30分

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
次の部分は15分

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
その次の部分は7.5分

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
といった具合です

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
これらの時間をすべて足すと

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
このような式になるはずです

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
ゼノンはこう言うかもしれません

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
「さて 式の右辺には
無限の数の

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
数字が続き

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
それぞれの数字は有限であるから

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
その総和は無限なはずだろう？」と

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
これがゼノンの議論における問題です

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
数学者がのちに
発見したところによると

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
有限の数を無限に足し続けて

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
有限の数を導くことは可能なのです

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
どうしてでしょう？

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
次のように考えてみてください

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
面積が１平方メートルの
四角形を考えてみましょう

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
この四角形を半分に分割して

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
半分をさらに半分にと

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
続けていきます

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
これを続ける一方で

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
各部分の総面積を
見失わないようにしましょう

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
最初の分割では
２つになり

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
それぞれが半分の面積です

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
次の分割では
半分をさらに半分にし

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
これが続いていきます

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
でも 何回四角形を
分割したとしても

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
総和はやはり
すべての部分の総和です

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
どうして このように
四角形を切ることにしたのか

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
もう おわかりですね

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
ゼノンの移動時間と同じような

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
無数の四角形が得られるからです

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
青い四角形が増えるにつれて

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
数学用語で言うなれば

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
分割の回数である n が
無限大に近づくにつれて

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
四角形全体が青色になっていきます

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
ですが 四角形の面積は
ちょうど１ですから

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
この無限の総和は１であるはずです

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
ゼノンに話を戻しましょう

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
もう パラドクスの解明方法が
わかりましたね

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
無限に続く数の総和が
有限の数であるだけでなく

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
その有限の数というのは

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
常識的な答えと同じなのです

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
ゼノンの移動には１時間かかるのです