0:00:15.096,0:00:16.871
こちらはエレア派のゼノンです

0:00:16.871,0:00:18.377
古代ギリシャの哲学者で

0:00:18.377,0:00:21.042
多くのパラドクスを生み出したことで[br]知られています

0:00:21.042,0:00:22.560
一見 論理的なように思えても

0:00:22.560,0:00:25.779
導かれる結論が非合理的であるか[br]矛盾するものです

0:00:25.779,0:00:27.183
２千年以上もの間

0:00:27.183,0:00:29.694
ゼノンの難解な命題は

0:00:29.694,0:00:31.310
数学者や哲学者が[br]無限の性質についての

0:00:31.310,0:00:33.746
理解を深めるのに役立ってきました

0:00:33.746,0:00:35.525
ゼノンの立てた問いの[br]最も有名なもののひとつは

0:00:35.525,0:00:37.741
二分法のパラドクスです

0:00:37.741,0:00:41.527
古代ギリシャ語で[br]「２つに分けるパラドクス」の意味です

0:00:41.527,0:00:43.315
これは次のようなものです

0:00:43.315,0:00:46.154
一日中 座って[br]思索にふけっていたので

0:00:46.154,0:00:48.950
ゼノンは家から公園へ[br]散歩に行くことにしました

0:00:48.950,0:00:50.397
新鮮な空気でのおかげで[br]頭がすっきりし

0:00:50.397,0:00:51.920
思考に役立つからです

0:00:51.920,0:00:53.075
公園にたどりつくには

0:00:53.075,0:00:55.428
まずは公園まで半分の所まで[br]行かねばなりません

0:00:55.428,0:00:56.601
この部分の移動には

0:00:56.601,0:00:58.443
有限の時間がかかります

0:00:58.443,0:01:00.452
半分の地点に着いたら

0:01:00.452,0:01:02.841
残りの距離の半分を[br]進まねばなりません

0:01:02.841,0:01:05.868
これにも 有限の時間がかかります

0:01:05.868,0:01:08.140
そこまで行ったら[br]残りのさらに半分の距離を

0:01:08.140,0:01:09.882
歩かねばなりません

0:01:09.882,0:01:12.371
これにも有限の時間がかかります

0:01:12.371,0:01:15.522
これが何度も繰り返し起こります

0:01:15.522,0:01:18.195
これは永遠に繰り返されるのが[br]お分かりですね

0:01:18.195,0:01:19.857
残りの距離をどんどん

0:01:19.857,0:01:21.772
小さく分割していくと

0:01:21.772,0:01:25.278
どの部分を移動するにも[br]有限の時間がかかります

0:01:25.278,0:01:27.958
では 公園に着くまでには[br]どれ位の時間がかかるでしょう？

0:01:27.958,0:01:30.317
それを知るためには[br]それぞれの区間にかかる時間を

0:01:30.317,0:01:32.284
すべて足す必要があります

0:01:32.284,0:01:36.616
問題は 有限の大きさの部分が[br]無限に存在するということです

0:01:36.616,0:01:39.750
では 全体でかかる時間は[br]無限になるのでしょうか？

0:01:39.750,0:01:42.548
とはいえ この議論は[br]まったく大雑把なものです

0:01:42.548,0:01:45.092
ある一点から[br]別の一点までの移動には

0:01:45.092,0:01:47.254
無限の時間がかかると言っているのです

0:01:47.254,0:01:51.006
つまり あらゆる運動は[br]不可能だということです

0:01:51.006,0:01:52.785
この結論は明らかに[br]理屈に合いませんが

0:01:52.785,0:01:54.784
この論理のどこに[br]欠陥があるのでしょう？

0:01:54.784,0:01:55.966
このパラドクスを解明するには

0:01:55.966,0:01:58.731
このお話を数学の問いに[br]変換するといいでしょう

0:01:58.731,0:02:01.618
仮に ゼノンの家が公園から[br]１マイル離れており

0:02:01.618,0:02:04.341
ゼノンは時速１マイルで歩くとしましょう

0:02:04.341,0:02:06.692
常識的に考えれば[br]移動にかかる時間は

0:02:06.692,0:02:08.205
１時間のはずです

0:02:08.205,0:02:10.866
しかし ゼノンの視点から考えて

0:02:10.866,0:02:13.196
移動距離を分割してみましょう

0:02:13.196,0:02:15.656
最初の半分の距離に[br]かかる時間は30分

0:02:15.656,0:02:17.782
次の部分は15分

0:02:17.782,0:02:20.064
その次の部分は7.5分

0:02:20.064,0:02:20.969
といった具合です

0:02:20.969,0:02:22.266
これらの時間をすべて足すと

0:02:22.266,0:02:24.372
このような式になるはずです

0:02:24.372,0:02:25.624
ゼノンはこう言うかもしれません

0:02:25.624,0:02:27.964
「さて 式の右辺には[br]無限の数の

0:02:27.964,0:02:29.621
数字が続き

0:02:29.621,0:02:31.883
それぞれの数字は有限であるから

0:02:31.883,0:02:34.518
その総和は無限なはずだろう？」と

0:02:34.518,0:02:36.670
これがゼノンの議論における問題です

0:02:36.670,0:02:38.855
数学者がのちに[br]発見したところによると

0:02:38.855,0:02:42.618
有限の数を無限に足し続けて

0:02:42.618,0:02:44.814
有限の数を導くことは可能なのです

0:02:44.814,0:02:45.989
どうしてでしょう？

0:02:45.989,0:02:47.486
次のように考えてみてください

0:02:47.486,0:02:50.390
面積が１平方メートルの[br]四角形を考えてみましょう

0:02:50.390,0:02:52.528
この四角形を半分に分割して

0:02:52.528,0:02:54.909
半分をさらに半分にと

0:02:54.909,0:02:56.172
続けていきます

0:02:56.172,0:02:57.239
これを続ける一方で

0:02:57.239,0:03:00.380
各部分の総面積を[br]見失わないようにしましょう

0:03:00.380,0:03:02.169
最初の分割では[br]２つになり

0:03:02.169,0:03:04.028
それぞれが半分の面積です

0:03:04.028,0:03:06.545
次の分割では[br]半分をさらに半分にし

0:03:06.545,0:03:07.796
これが続いていきます

0:03:07.796,0:03:10.227
でも 何回四角形を[br]分割したとしても

0:03:10.227,0:03:14.814
総和はやはり[br]すべての部分の総和です

0:03:14.814,0:03:17.442
どうして このように[br]四角形を切ることにしたのか

0:03:17.442,0:03:18.971
もう おわかりですね

0:03:18.971,0:03:20.888
ゼノンの移動時間と同じような

0:03:20.888,0:03:23.356
無数の四角形が得られるからです

0:03:23.356,0:03:25.791
青い四角形が増えるにつれて

0:03:25.791,0:03:27.314
数学用語で言うなれば

0:03:27.314,0:03:30.742
分割の回数である n が[br]無限大に近づくにつれて

0:03:30.742,0:03:33.356
四角形全体が青色になっていきます

0:03:33.356,0:03:35.427
ですが 四角形の面積は[br]ちょうど１ですから

0:03:35.427,0:03:38.700
この無限の総和は１であるはずです

0:03:38.700,0:03:39.754
ゼノンに話を戻しましょう

0:03:39.754,0:03:42.370
もう パラドクスの解明方法が[br]わかりましたね

0:03:42.370,0:03:45.713
無限に続く数の総和が[br]有限の数であるだけでなく

0:03:45.713,0:03:47.745
その有限の数というのは

0:03:47.745,0:03:50.172
常識的な答えと同じなのです

0:03:50.172,0:03:52.877
ゼノンの移動には１時間かかるのです