Questo è Zenone di Elea,
un antico filosofo greco
famoso per aver inventato molti paradossi,
discorsi che sembrano illogici,
le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie.
Per più di 2000 anni,
gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato
matematici e filosofi
a comprendere meglio la natura dell'infinito.
Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone
è detto il paradosso della dicotomia,
che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti".
Più o meno è cosi:
dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare,
Zenone decide di camminare da casa sua al parco.
L'aria fresca gli schiarisce la mente
e lo aiuta a pensare meglio.
Per arrivare al parco,
deve prima arrivare a metà strada dal parco.
Il tragitto del suo cammino
richiede solo una quantità di tempo finita.
Una volta arrivato a metà strada,
deve camminare per il restante percorso.
Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo.
Una volta arrivato lì, deve ancora camminare
metà del precorso rimasto,
che richiede di nuovo una quantità di tempo finita.
Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora.
Si capisce che si può proseguire così per sempre,
dividendo qualsiasi distanza rimasta
in frammenti sempre più brevi,
ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso.
Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco?
Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi
di ciascuna parte del tragitto.
Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti.
Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito?
A proposito, questo problema è completamente generale.
Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto
dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita.
In altre parole, dice che il movimento non è possibile.
La conclusione è chiaramente assurda,
ma dov'è la falla nel ragionamento logico?
Per risolvere il paradosso,
bisogna tradurlo in un problema matematico.
Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco
e che Zenone cammini ad un miglio all'ora.
Il buon senso ci dice che la durata del tragitto
dovrebbe essere di un'ora.
Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone
e dividiamo il tragitto in parti.
La prima metà del tragitto dura una mezz'ora,
la seconda dura un quarto d'ora,
la terza dura un ottavo di un'ora,
e cosi via.
Facendo la somma di questi tempi
abbiamo una serie come questa.
"Ora", Zenone potrebbe dire,
"siccome vi sono infiniti termini dell'equazione
sulla parte destra dell'equazione stessa
e ognuno dei termini è finito
la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?"
Questo è il problema del ragionamento di Zenone.
Come hanno compreso i matematici,
si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti
e ottenere un termine finito come risultato.
"Come?" vi chiederete.
Pensiamola cosi.
Abbiamo un quadrato con un'area di un metro.
Ora, dividiamo il quadrato in due metà,
e poi dividiamo la metà rimanente a metà
e cosi via.
Mentre procediamo,
teniamo conto delle aree dei singoli pezzi.
La prima divisione produce due parti
ognuna delle quali ha un'area di un mezzo.
La seguente, divide una delle due parti a metà,
e cosi via.
Ma, non importa quante volte dividiamo le aree,
l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti.
Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo
per suddividere il quadrato.
Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite
come nel caso del tragitto di Zenone.
Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu,
in termini matematici,
considerando il limite di "n" tendente all'infinito,
il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu.
Ma l'area del quadrato è solo una unità,
e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno.
Tornando al tragitto di Zenone,
possiamo ora capire come risolvere il paradosso.
Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita,
ma quella risposta finita è la stessa
che il buon senso suggerisce essere vera.
Il tragitto di Zenone dura un'ora.