WEBVTT 00:00:15.096 --> 00:00:16.871 Questo è Zenone di Elea, 00:00:16.871 --> 00:00:18.377 un antico filosofo greco 00:00:18.377 --> 00:00:21.042 famoso per aver inventato molti paradossi, 00:00:21.042 --> 00:00:22.560 discorsi che sembrano illogici, 00:00:22.560 --> 00:00:25.779 le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie. 00:00:25.779 --> 00:00:27.183 Per più di 2000 anni, 00:00:27.183 --> 00:00:29.694 gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato 00:00:29.694 --> 00:00:31.310 matematici e filosofi 00:00:31.310 --> 00:00:33.746 a comprendere meglio la natura dell'infinito. 00:00:33.746 --> 00:00:35.525 Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone 00:00:35.525 --> 00:00:37.741 è detto il paradosso della dicotomia, 00:00:37.741 --> 00:00:41.527 che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti". 00:00:41.527 --> 00:00:43.315 Più o meno è cosi: 00:00:43.315 --> 00:00:46.154 dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare, 00:00:46.154 --> 00:00:48.950 Zenone decide di camminare da casa sua al parco. 00:00:48.950 --> 00:00:50.397 L'aria fresca gli schiarisce la mente 00:00:50.397 --> 00:00:51.920 e lo aiuta a pensare meglio. 00:00:51.920 --> 00:00:53.075 Per arrivare al parco, 00:00:53.075 --> 00:00:55.428 deve prima arrivare a metà strada dal parco. 00:00:55.428 --> 00:00:56.601 Il tragitto del suo cammino 00:00:56.601 --> 00:00:58.443 richiede solo una quantità di tempo finita. 00:00:58.443 --> 00:01:00.452 Una volta arrivato a metà strada, 00:01:00.452 --> 00:01:02.841 deve camminare per il restante percorso. 00:01:02.841 --> 00:01:05.868 Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo. 00:01:05.868 --> 00:01:08.140 Una volta arrivato lì, deve ancora camminare 00:01:08.140 --> 00:01:09.882 metà del precorso rimasto, 00:01:09.882 --> 00:01:12.371 che richiede di nuovo una quantità di tempo finita. 00:01:12.371 --> 00:01:15.522 Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora. 00:01:15.522 --> 00:01:18.195 Si capisce che si può proseguire così per sempre, 00:01:18.195 --> 00:01:19.857 dividendo qualsiasi distanza rimasta 00:01:19.857 --> 00:01:21.772 in frammenti sempre più brevi, 00:01:21.772 --> 00:01:25.278 ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso. 00:01:25.278 --> 00:01:27.958 Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco? 00:01:27.958 --> 00:01:30.317 Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi 00:01:30.317 --> 00:01:32.284 di ciascuna parte del tragitto. 00:01:32.284 --> 00:01:36.616 Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti. 00:01:36.616 --> 00:01:39.750 Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito? 00:01:39.750 --> 00:01:42.548 A proposito, questo problema è completamente generale. 00:01:42.548 --> 00:01:45.092 Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto 00:01:45.092 --> 00:01:47.254 dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita. 00:01:47.254 --> 00:01:51.006 In altre parole, dice che il movimento non è possibile. 00:01:51.006 --> 00:01:52.785 La conclusione è chiaramente assurda, 00:01:52.785 --> 00:01:54.784 ma dov'è la falla nel ragionamento logico? 00:01:54.784 --> 00:01:55.966 Per risolvere il paradosso, 00:01:55.966 --> 00:01:58.731 bisogna tradurlo in un problema matematico. 00:01:58.731 --> 00:02:01.618 Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco 00:02:01.618 --> 00:02:04.341 e che Zenone cammini ad un miglio all'ora. 00:02:04.341 --> 00:02:06.692 Il buon senso ci dice che la durata del tragitto 00:02:06.692 --> 00:02:08.205 dovrebbe essere di un'ora. 00:02:08.205 --> 00:02:10.867 Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone 00:02:10.867 --> 00:02:13.196 e dividiamo il tragitto in parti. 00:02:13.196 --> 00:02:15.656 La prima metà del tragitto dura una mezz'ora, 00:02:15.656 --> 00:02:17.782 la seconda dura un quarto d'ora, 00:02:17.782 --> 00:02:20.064 la terza dura un ottavo di un'ora, 00:02:20.064 --> 00:02:20.969 e cosi via. 00:02:20.969 --> 00:02:22.266 Facendo la somma di questi tempi 00:02:22.266 --> 00:02:24.372 abbiamo una serie come questa. 00:02:24.372 --> 00:02:25.624 "Ora", Zenone potrebbe dire, 00:02:25.624 --> 00:02:27.964 "siccome vi sono infiniti termini dell'equazione 00:02:27.964 --> 00:02:29.621 sulla parte destra dell'equazione stessa 00:02:29.621 --> 00:02:31.883 e ognuno dei termini è finito 00:02:31.883 --> 00:02:34.518 la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?" 00:02:34.518 --> 00:02:36.670 Questo è il problema del ragionamento di Zenone. 00:02:36.670 --> 00:02:38.855 Come hanno compreso i matematici, 00:02:38.855 --> 00:02:42.618 si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti 00:02:42.618 --> 00:02:44.814 e ottenere un termine finito come risultato. 00:02:44.814 --> 00:02:45.989 "Come?" vi chiederete. 00:02:45.989 --> 00:02:47.486 Pensiamola cosi. 00:02:47.486 --> 00:02:50.390 Abbiamo un quadrato con un'area di un metro. 00:02:50.390 --> 00:02:52.528 Ora, dividiamo il quadrato in due metà, 00:02:52.528 --> 00:02:54.909 e poi dividiamo la metà rimanente a metà 00:02:54.909 --> 00:02:56.172 e cosi via. 00:02:56.172 --> 00:02:57.239 Mentre procediamo, 00:02:57.239 --> 00:03:00.380 teniamo conto delle aree dei singoli pezzi. 00:03:00.380 --> 00:03:02.169 La prima divisione produce due parti 00:03:02.169 --> 00:03:04.028 ognuna delle quali ha un'area di un mezzo. 00:03:04.028 --> 00:03:06.545 La seguente, divide una delle due parti a metà, 00:03:06.545 --> 00:03:07.796 e cosi via. 00:03:07.796 --> 00:03:10.227 Ma, non importa quante volte dividiamo le aree, 00:03:10.227 --> 00:03:14.814 l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti. 00:03:14.814 --> 00:03:17.442 Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo 00:03:17.442 --> 00:03:18.971 per suddividere il quadrato. 00:03:18.971 --> 00:03:20.888 Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite 00:03:20.888 --> 00:03:23.356 come nel caso del tragitto di Zenone. 00:03:23.356 --> 00:03:25.791 Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu, 00:03:25.791 --> 00:03:27.314 in termini matematici, 00:03:27.314 --> 00:03:30.742 considerando il limite di "n" tendente all'infinito, 00:03:30.742 --> 00:03:33.356 il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu. 00:03:33.356 --> 00:03:35.427 Ma l'area del quadrato è solo una unità, 00:03:35.427 --> 00:03:38.700 e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno. 00:03:38.700 --> 00:03:39.754 Tornando al tragitto di Zenone, 00:03:39.754 --> 00:03:42.370 possiamo ora capire come risolvere il paradosso. 00:03:42.370 --> 00:03:45.713 Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita, 00:03:45.713 --> 00:03:47.745 ma quella risposta finita è la stessa 00:03:47.745 --> 00:03:50.172 che il buon senso suggerisce essere vera. 00:03:50.172 --> 00:03:52.877 Il tragitto di Zenone dura un'ora.