1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Questo è Zenone di Elea,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
un antico filosofo greco

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
famoso per aver inventato molti paradossi,

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
discorsi che sembrano illogici,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
Per più di 2000 anni,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
matematici e filosofi

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
a comprendere meglio la natura dell'infinito.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
è detto il paradosso della dicotomia,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti".

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Più o meno è cosi:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zenone decide di camminare da casa sua al parco.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
L'aria fresca gli schiarisce la mente

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
e lo aiuta a pensare meglio.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Per arrivare al parco,

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
deve prima arrivare a metà strada dal parco.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
Il tragitto del suo cammino

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
richiede solo una quantità di tempo finita.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Una volta arrivato a metà strada,

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
deve camminare per il restante percorso.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
Una volta arrivato lì, deve ancora camminare

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
metà del precorso rimasto,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
che richiede di nuovo una quantità di tempo finita.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Si capisce che si può proseguire così per sempre,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
dividendo qualsiasi distanza rimasta

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
in frammenti sempre più brevi,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
di ciascuna parte del tragitto.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
A proposito, questo problema è completamente generale.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
In altre parole, dice che il movimento non è possibile.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
La conclusione è chiaramente assurda,

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
ma dov'è la falla nel ragionamento logico?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
Per risolvere il paradosso,

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
bisogna tradurlo in un problema matematico.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
e che Zenone cammini ad un miglio all'ora.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Il buon senso ci dice che la durata del tragitto

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
dovrebbe essere di un'ora.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
e dividiamo il tragitto in parti.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
La prima metà del tragitto dura una mezz'ora,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
la seconda dura un quarto d'ora,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
la terza dura un ottavo di un'ora,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
e cosi via.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
Facendo la somma di questi tempi

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
abbiamo una serie come questa.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
"Ora", Zenone potrebbe dire,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
"siccome vi sono infiniti termini dell'equazione

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
sulla parte destra dell'equazione stessa

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
e ognuno dei termini è finito

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?"

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
Questo è il problema del ragionamento di Zenone.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
Come hanno compreso i matematici,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
e ottenere un termine finito come risultato.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
"Come?" vi chiederete.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
Pensiamola cosi.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Abbiamo un quadrato con un'area di un metro.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Ora, dividiamo il quadrato in due metà,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
e poi dividiamo la metà rimanente a metà

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
e cosi via.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
Mentre procediamo,

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
teniamo conto delle aree dei singoli pezzi.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
La prima divisione produce due parti

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
ognuna delle quali ha un'area di un mezzo.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
La seguente, divide una delle due parti a metà,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
e cosi via.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
Ma, non importa quante volte dividiamo le aree,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
per suddividere il quadrato.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
come nel caso del tragitto di Zenone.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
in termini matematici,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
considerando il limite di "n" tendente all'infinito,

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
Ma l'area del quadrato è solo una unità,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
Tornando al tragitto di Zenone,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
possiamo ora capire come risolvere il paradosso.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
ma quella risposta finita è la stessa

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
che il buon senso suggerisce essere vera.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Il tragitto di Zenone dura un'ora.