0:00:15.096,0:00:16.871
Questo è Zenone di Elea,

0:00:16.871,0:00:18.377
un antico filosofo greco

0:00:18.377,0:00:21.042
famoso per aver inventato molti paradossi,

0:00:21.042,0:00:22.560
discorsi che sembrano illogici,

0:00:22.560,0:00:25.779
le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie.

0:00:25.779,0:00:27.183
Per più di 2000 anni,

0:00:27.183,0:00:29.694
gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato

0:00:29.694,0:00:31.310
matematici e filosofi

0:00:31.310,0:00:33.746
a comprendere meglio la natura dell'infinito.

0:00:33.746,0:00:35.525
Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone

0:00:35.525,0:00:37.741
è detto il paradosso della dicotomia,

0:00:37.741,0:00:41.527
che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti".

0:00:41.527,0:00:43.315
Più o meno è cosi:

0:00:43.315,0:00:46.154
dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare,

0:00:46.154,0:00:48.950
Zenone decide di camminare da casa sua al parco.

0:00:48.950,0:00:50.397
L'aria fresca gli schiarisce la mente

0:00:50.397,0:00:51.920
e lo aiuta a pensare meglio.

0:00:51.920,0:00:53.075
Per arrivare al parco,

0:00:53.075,0:00:55.428
deve prima arrivare a metà strada dal parco.

0:00:55.428,0:00:56.601
Il tragitto del suo cammino

0:00:56.601,0:00:58.443
richiede solo una quantità di tempo finita.

0:00:58.443,0:01:00.452
Una volta arrivato a metà strada,

0:01:00.452,0:01:02.841
deve camminare per il restante percorso.

0:01:02.841,0:01:05.868
Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo.

0:01:05.868,0:01:08.140
Una volta arrivato lì, deve ancora camminare

0:01:08.140,0:01:09.882
metà del precorso rimasto,

0:01:09.882,0:01:12.371
che richiede di nuovo una quantità di tempo finita.

0:01:12.371,0:01:15.522
Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora.

0:01:15.522,0:01:18.195
Si capisce che si può proseguire così per sempre,

0:01:18.195,0:01:19.857
dividendo qualsiasi distanza rimasta

0:01:19.857,0:01:21.772
in frammenti sempre più brevi,

0:01:21.772,0:01:25.278
ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso.

0:01:25.278,0:01:27.958
Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco?

0:01:27.958,0:01:30.317
Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi

0:01:30.317,0:01:32.284
di ciascuna parte del tragitto.

0:01:32.284,0:01:36.616
Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti.

0:01:36.616,0:01:39.750
Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito?

0:01:39.750,0:01:42.548
A proposito, questo problema è completamente generale.

0:01:42.548,0:01:45.092
Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto

0:01:45.092,0:01:47.254
dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita.

0:01:47.254,0:01:51.006
In altre parole, dice che il movimento non è possibile.

0:01:51.006,0:01:52.785
La conclusione è chiaramente assurda,

0:01:52.785,0:01:54.784
ma dov'è la falla nel ragionamento logico?

0:01:54.784,0:01:55.966
Per risolvere il paradosso,

0:01:55.966,0:01:58.731
bisogna tradurlo in un problema matematico.

0:01:58.731,0:02:01.618
Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco

0:02:01.618,0:02:04.341
e che Zenone cammini ad un miglio all'ora.

0:02:04.341,0:02:06.692
Il buon senso ci dice che la durata del tragitto

0:02:06.692,0:02:08.205
dovrebbe essere di un'ora.

0:02:08.205,0:02:10.867
Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone

0:02:10.867,0:02:13.196
e dividiamo il tragitto in parti.

0:02:13.196,0:02:15.656
La prima metà del tragitto dura una mezz'ora,

0:02:15.656,0:02:17.782
la seconda dura un quarto d'ora,

0:02:17.782,0:02:20.064
la terza dura un ottavo di un'ora,

0:02:20.064,0:02:20.969
e cosi via.

0:02:20.969,0:02:22.266
Facendo la somma di questi tempi

0:02:22.266,0:02:24.372
abbiamo una serie come questa.

0:02:24.372,0:02:25.624
"Ora", Zenone potrebbe dire,

0:02:25.624,0:02:27.964
"siccome vi sono infiniti termini dell'equazione

0:02:27.964,0:02:29.621
sulla parte destra dell'equazione stessa

0:02:29.621,0:02:31.883
e ognuno dei termini è finito

0:02:31.883,0:02:34.518
la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?"

0:02:34.518,0:02:36.670
Questo è il problema del ragionamento di Zenone.

0:02:36.670,0:02:38.855
Come hanno compreso i matematici,

0:02:38.855,0:02:42.618
si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti

0:02:42.618,0:02:44.814
e ottenere un termine finito come risultato.

0:02:44.814,0:02:45.989
"Come?" vi chiederete.

0:02:45.989,0:02:47.486
Pensiamola cosi.

0:02:47.486,0:02:50.390
Abbiamo un quadrato con un'area di un metro.

0:02:50.390,0:02:52.528
Ora, dividiamo il quadrato in due metà,

0:02:52.528,0:02:54.909
e poi dividiamo la metà rimanente a metà

0:02:54.909,0:02:56.172
e cosi via.

0:02:56.172,0:02:57.239
Mentre procediamo,

0:02:57.239,0:03:00.380
teniamo conto delle aree dei singoli pezzi.

0:03:00.380,0:03:02.169
La prima divisione produce due parti

0:03:02.169,0:03:04.028
ognuna delle quali ha un'area di un mezzo.

0:03:04.028,0:03:06.545
La seguente, divide una delle due parti a metà,

0:03:06.545,0:03:07.796
e cosi via.

0:03:07.796,0:03:10.227
Ma, non importa quante volte dividiamo le aree,

0:03:10.227,0:03:14.814
l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti.

0:03:14.814,0:03:17.442
Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo

0:03:17.442,0:03:18.971
per suddividere il quadrato.

0:03:18.971,0:03:20.888
Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite

0:03:20.888,0:03:23.356
come nel caso del tragitto di Zenone.

0:03:23.356,0:03:25.791
Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu,

0:03:25.791,0:03:27.314
in termini matematici,

0:03:27.314,0:03:30.742
considerando il limite di "n" tendente all'infinito,

0:03:30.742,0:03:33.356
il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu.

0:03:33.356,0:03:35.427
Ma l'area del quadrato è solo una unità,

0:03:35.427,0:03:38.700
e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno.

0:03:38.700,0:03:39.754
Tornando al tragitto di Zenone,

0:03:39.754,0:03:42.370
possiamo ora capire come risolvere il paradosso.

0:03:42.370,0:03:45.713
Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita,

0:03:45.713,0:03:47.745
ma quella risposta finita è la stessa

0:03:47.745,0:03:50.172
che il buon senso suggerisce essere vera.

0:03:50.172,0:03:52.877
Il tragitto di Zenone dura un'ora.