WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
זה זינו מאליה,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
פילוסוף יווני עתיק

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים,

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
טיעונים שנראים הגיוניים,

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
במשך יותר מ 2000 שנה,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
החידות הקשות של זינו נתנו השראה

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
למתמטיקאים ופילוסופים

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
נקראת פרדוקס הדיכוטומיה,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה.

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
הוא הולך בערך ככה:

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
זינו מחליט ללכת מביתו לפארק.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
האויר הטרי מרענן את מוחו

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
ועוזר לו חשוב יותר בבהירות.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
כדי להגיע לפארק,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
החלק הזה של הטיול

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
לוקח זמן קבוע.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
חצי מהמרחק שנותר,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
מה שלוקח לו עוד זמן מסויים.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
זה קורה שוב ושוב ושוב.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
חלוקת המרחק שנותר

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
לחלקים קטנים יותר ויותר,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
של כל אחת מפיסות הדרך.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
צריך לקחת זמן אין סופי.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין,

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
אבל איפה הכשל בהיגיון?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
כדי לפתור את הפרדוקס הזה,

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
ושזינו הולך מייל אחד בשעה.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
צריך להיות שעה.

00:02:08.205 --> 00:02:10.867
אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו

00:02:10.867 --> 00:02:13.196
ונחלק את הדרך לקטעים.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
החלק הבא יקח רבע שעה,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
השלישי שמינית שעה,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
וכך הלאה.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
כשמסכמים את כל הזמנים האלה,

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
"עכשיו" זינו אולי יגיד,

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
"מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
בצד ימין של המשוואה,

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
וכל מונח הוא סופי,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?"

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
זו הבעיה של הטיעון של זינו.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
מה שמתמטיקאים הבינו מאז,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
ועדיין לקבל תשובה סופית.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
"איך?" אתם שואלים.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
ובכן, בואו נחשוב על זה כך.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
ואז את השארית לשניים,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
וכך הלאה.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
במן שאנחנו עושים את זה,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
החיתוך הראשון יוצר שני חלקים,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
כל אחד בשטח של חצי

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי,

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
וכך הלאה.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
של חיתוך ריבוע.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
השגנו את אותה סדרה אין סופית

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
כמו זמן ההליכה של זינו.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
אם נשתמש במונחים מתמטיים,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
כל הריבוע הופך למכוסה בכחול.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
אם נחזור להליכה של זינו,

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
שההגיון מכתיב לנו כנכונה.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
ההליכה של זינו לוקחת שעה.