זה זינו מאליה,
פילוסוף יווני עתיק
שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים,
טיעונים שנראים הגיוניים,
אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת.
במשך יותר מ 2000 שנה,
החידות הקשות של זינו נתנו השראה
למתמטיקאים ופילוסופים
כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף.
אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו
נקראת פרדוקס הדיכוטומיה,
שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה.
הוא הולך בערך ככה:
אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה,
זינו מחליט ללכת מביתו לפארק.
האויר הטרי מרענן את מוחו
ועוזר לו חשוב יותר בבהירות.
כדי להגיע לפארק,
הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק.
החלק הזה של הטיול
לוקח זמן קבוע.
ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע,
הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר.
שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע.
ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת
חצי מהמרחק שנותר,
מה שלוקח לו עוד זמן מסויים.
זה קורה שוב ושוב ושוב.
אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד,
חלוקת המרחק שנותר
לחלקים קטנים יותר ויותר,
כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור.
אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק?
ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים
של כל אחת מפיסות הדרך.
הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו.
אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי?
הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין.
הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת
צריך לקחת זמן אין סופי.
במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית.
המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין,
אבל איפה הכשל בהיגיון?
כדי לפתור את הפרדוקס הזה,
זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית.
בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק
ושזינו הולך מייל אחד בשעה.
ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה
צריך להיות שעה.
אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו
ונחלק את הדרך לקטעים.
החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה,
החלק הבא יקח רבע שעה,
השלישי שמינית שעה,
וכך הלאה.
כשמסכמים את כל הזמנים האלה,
אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה.
"עכשיו" זינו אולי יגיד,
"מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים
בצד ימין של המשוואה,
וכל מונח הוא סופי,
הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?"
זו הבעיה של הטיעון של זינו.
מה שמתמטיקאים הבינו מאז,
זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי
ועדיין לקבל תשובה סופית.
"איך?" אתם שואלים.
ובכן, בואו נחשוב על זה כך.
בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד.
עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים,
ואז את השארית לשניים,
וכך הלאה.
במן שאנחנו עושים את זה,
בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות.
החיתוך הראשון יוצר שני חלקים,
כל אחד בשטח של חצי
החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי,
וכך הלאה.
אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות,
השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים.
עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו
של חיתוך ריבוע.
השגנו את אותה סדרה אין סופית
כמו זמן ההליכה של זינו.
כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים,
אם נשתמש במונחים מתמטיים,
כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף,
כל הריבוע הופך למכוסה בכחול.
אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת,
וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד.
אם נחזור להליכה של זינו,
אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר.
לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית,
אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת
שההגיון מכתיב לנו כנכונה.
ההליכה של זינו לוקחת שעה.