1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
זה זינו מאליה,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
פילוסוף יווני עתיק

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים,

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
טיעונים שנראים הגיוניים,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
במשך יותר מ 2000 שנה,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
החידות הקשות של זינו נתנו השראה

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
למתמטיקאים ופילוסופים

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
נקראת פרדוקס הדיכוטומיה,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה.

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
הוא הולך בערך ככה:

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
זינו מחליט ללכת מביתו לפארק.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
האויר הטרי מרענן את מוחו

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
ועוזר לו חשוב יותר בבהירות.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
כדי להגיע לפארק,

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
החלק הזה של הטיול

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
לוקח זמן קבוע.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע,

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
חצי מהמרחק שנותר,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
מה שלוקח לו עוד זמן מסויים.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
זה קורה שוב ושוב ושוב.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
חלוקת המרחק שנותר

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
לחלקים קטנים יותר ויותר,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
של כל אחת מפיסות הדרך.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
צריך לקחת זמן אין סופי.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין,

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
אבל איפה הכשל בהיגיון?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
כדי לפתור את הפרדוקס הזה,

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
ושזינו הולך מייל אחד בשעה.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
צריך להיות שעה.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
ונחלק את הדרך לקטעים.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
החלק הבא יקח רבע שעה,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
השלישי שמינית שעה,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
וכך הלאה.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
כשמסכמים את כל הזמנים האלה,

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
"עכשיו" זינו אולי יגיד,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
"מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
בצד ימין של המשוואה,

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
וכל מונח הוא סופי,

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?"

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
זו הבעיה של הטיעון של זינו.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
מה שמתמטיקאים הבינו מאז,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
ועדיין לקבל תשובה סופית.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
"איך?" אתם שואלים.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
ובכן, בואו נחשוב על זה כך.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
ואז את השארית לשניים,

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
וכך הלאה.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
במן שאנחנו עושים את זה,

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
החיתוך הראשון יוצר שני חלקים,

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
כל אחד בשטח של חצי

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
וכך הלאה.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
של חיתוך ריבוע.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
השגנו את אותה סדרה אין סופית

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
כמו זמן ההליכה של זינו.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
אם נשתמש במונחים מתמטיים,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף,

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
כל הריבוע הופך למכוסה בכחול.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
אם נחזור להליכה של זינו,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
שההגיון מכתיב לנו כנכונה.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
ההליכה של זינו לוקחת שעה.