0:00:15.096,0:00:16.871
זה זינו מאליה,

0:00:16.871,0:00:18.377
פילוסוף יווני עתיק

0:00:18.377,0:00:21.042
שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים,

0:00:21.042,0:00:22.560
טיעונים שנראים הגיוניים,

0:00:22.560,0:00:25.779
אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת.

0:00:25.779,0:00:27.183
במשך יותר מ 2000 שנה,

0:00:27.183,0:00:29.694
החידות הקשות של זינו נתנו השראה

0:00:29.694,0:00:31.310
למתמטיקאים ופילוסופים

0:00:31.310,0:00:33.746
כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף.

0:00:33.746,0:00:35.525
אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו

0:00:35.525,0:00:37.741
נקראת פרדוקס הדיכוטומיה,

0:00:37.741,0:00:41.527
שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה.

0:00:41.527,0:00:43.315
הוא הולך בערך ככה:

0:00:43.315,0:00:46.154
אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה,

0:00:46.154,0:00:48.950
זינו מחליט ללכת מביתו לפארק.

0:00:48.950,0:00:50.397
האויר הטרי מרענן את מוחו

0:00:50.397,0:00:51.920
ועוזר לו חשוב יותר בבהירות.

0:00:51.920,0:00:53.075
כדי להגיע לפארק,

0:00:53.075,0:00:55.428
הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק.

0:00:55.428,0:00:56.601
החלק הזה של הטיול

0:00:56.601,0:00:58.443
לוקח זמן קבוע.

0:00:58.443,0:01:00.452
ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע,

0:01:00.452,0:01:02.841
הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר.

0:01:02.841,0:01:05.868
שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע.

0:01:05.868,0:01:08.140
ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת

0:01:08.140,0:01:09.882
חצי מהמרחק שנותר,

0:01:09.882,0:01:12.371
מה שלוקח לו עוד זמן מסויים.

0:01:12.371,0:01:15.522
זה קורה שוב ושוב ושוב.

0:01:15.522,0:01:18.195
אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד,

0:01:18.195,0:01:19.857
חלוקת המרחק שנותר

0:01:19.857,0:01:21.772
לחלקים קטנים יותר ויותר,

0:01:21.772,0:01:25.278
כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור.

0:01:25.278,0:01:27.958
אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק?

0:01:27.958,0:01:30.317
ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים

0:01:30.317,0:01:32.284
של כל אחת מפיסות הדרך.

0:01:32.284,0:01:36.616
הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו.

0:01:36.616,0:01:39.750
אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי?

0:01:39.750,0:01:42.548
הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין.

0:01:42.548,0:01:45.092
הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת

0:01:45.092,0:01:47.254
צריך לקחת זמן אין סופי.

0:01:47.254,0:01:51.006
במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית.

0:01:51.006,0:01:52.785
המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין,

0:01:52.785,0:01:54.784
אבל איפה הכשל בהיגיון?

0:01:54.784,0:01:55.966
כדי לפתור את הפרדוקס הזה,

0:01:55.966,0:01:58.731
זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית.

0:01:58.731,0:02:01.618
בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק

0:02:01.618,0:02:04.341
ושזינו הולך מייל אחד בשעה.

0:02:04.341,0:02:06.692
ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה

0:02:06.692,0:02:08.205
צריך להיות שעה.

0:02:08.205,0:02:10.867
אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו

0:02:10.867,0:02:13.196
ונחלק את הדרך לקטעים.

0:02:13.196,0:02:15.656
החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה,

0:02:15.656,0:02:17.782
החלק הבא יקח רבע שעה,

0:02:17.782,0:02:20.064
השלישי שמינית שעה,

0:02:20.064,0:02:20.969
וכך הלאה.

0:02:20.969,0:02:22.266
כשמסכמים את כל הזמנים האלה,

0:02:22.266,0:02:24.372
אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה.

0:02:24.372,0:02:25.624
"עכשיו" זינו אולי יגיד,

0:02:25.624,0:02:27.964
"מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים

0:02:27.964,0:02:29.621
בצד ימין של המשוואה,

0:02:29.621,0:02:31.883
וכל מונח הוא סופי,

0:02:31.883,0:02:34.518
הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?"

0:02:34.518,0:02:36.670
זו הבעיה של הטיעון של זינו.

0:02:36.670,0:02:38.855
מה שמתמטיקאים הבינו מאז,

0:02:38.855,0:02:42.618
זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי

0:02:42.618,0:02:44.814
ועדיין לקבל תשובה סופית.

0:02:44.814,0:02:45.989
"איך?" אתם שואלים.

0:02:45.989,0:02:47.486
ובכן, בואו נחשוב על זה כך.

0:02:47.486,0:02:50.390
בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד.

0:02:50.390,0:02:52.528
עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים,

0:02:52.528,0:02:54.909
ואז את השארית לשניים,

0:02:54.909,0:02:56.172
וכך הלאה.

0:02:56.172,0:02:57.239
במן שאנחנו עושים את זה,

0:02:57.239,0:03:00.380
בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות.

0:03:00.380,0:03:02.169
החיתוך הראשון יוצר שני חלקים,

0:03:02.169,0:03:04.028
כל אחד בשטח של חצי

0:03:04.028,0:03:06.545
החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי,

0:03:06.545,0:03:07.796
וכך הלאה.

0:03:07.796,0:03:10.227
אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות,

0:03:10.227,0:03:14.814
השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים.

0:03:14.814,0:03:17.442
עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו

0:03:17.442,0:03:18.971
של חיתוך ריבוע.

0:03:18.971,0:03:20.888
השגנו את אותה סדרה אין סופית

0:03:20.888,0:03:23.356
כמו זמן ההליכה של זינו.

0:03:23.356,0:03:25.791
כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים,

0:03:25.791,0:03:27.314
אם נשתמש במונחים מתמטיים,

0:03:27.314,0:03:30.742
כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף,

0:03:30.742,0:03:33.356
כל הריבוע הופך למכוסה בכחול.

0:03:33.356,0:03:35.427
אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת,

0:03:35.427,0:03:38.700
וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד.

0:03:38.700,0:03:39.754
אם נחזור להליכה של זינו,

0:03:39.754,0:03:42.370
אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר.

0:03:42.370,0:03:45.713
לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית,

0:03:45.713,0:03:47.745
אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת

0:03:47.745,0:03:50.172
שההגיון מכתיב לנו כנכונה.

0:03:50.172,0:03:52.877
ההליכה של זינו לוקחת שעה.