WEBVTT

00:00:15.096 --> 00:00:16.871
Voici Zénon d'Élée,

00:00:16.871 --> 00:00:18.377
un philosophe grec

00:00:18.377 --> 00:00:21.042
célèbre pour avoir inventé 
un certain nombre de paradoxes,

00:00:21.042 --> 00:00:22.560
des arguments qui semblent logiques,

00:00:22.560 --> 00:00:25.779
mais dont la conclusion 
est absurde ou contradictoire.

00:00:25.779 --> 00:00:27.183
Depuis plus de 2 000 ans,

00:00:27.183 --> 00:00:29.694
les énigmes hallucinantes 
de Zénon ont inspiré

00:00:29.694 --> 00:00:31.310
mathématiciens et philosophes

00:00:31.310 --> 00:00:33.746
à mieux comprendre la nature de l'infini.

00:00:33.746 --> 00:00:35.525
L'un des plus connus 
des problèmes de Zénon

00:00:35.525 --> 00:00:37.741
on appelle le paradoxe de la dichotomie,

00:00:37.741 --> 00:00:41.527
ce qui signifie, « le paradoxe 
de couper en deux » en grec ancien.

00:00:41.527 --> 00:00:43.315
Il dit à peu près ceci :

00:00:43.315 --> 00:00:46.154
Après une longue journée 
assis à réfléchir,

00:00:46.154 --> 00:00:48.950
Zénon décide de marcher 
de sa maison jusqu'au parc.

00:00:48.950 --> 00:00:50.397
L'air frais clarifie son esprit

00:00:50.397 --> 00:00:51.920
et l'aide à mieux réfléchir.

00:00:51.920 --> 00:00:53.075
Pour accéder au parc,

00:00:53.075 --> 00:00:55.428
il doit d'abord arriver 
à mi-chemin du parc.

00:00:55.428 --> 00:00:56.601
Cette partie de son trajet

00:00:56.601 --> 00:00:58.443
prend un certain laps de temps.

00:00:58.443 --> 00:01:00.452
Une fois qu'il arrive à mi-chemin,

00:01:00.452 --> 00:01:02.841
il a besoin de parcourir 
la moitié restante de la distance.

00:01:02.841 --> 00:01:05.868
Encore une fois, 
cela prend un laps de temps.

00:01:05.868 --> 00:01:08.140
Une fois qu'il y arrive, 
il a encore besoin de parcourir

00:01:08.140 --> 00:01:09.882
la moitié de la distance qui reste,

00:01:09.882 --> 00:01:12.371
qui prend un autre laps de temps.

00:01:12.371 --> 00:01:15.522
Cela se produit encore et encore et encore.

00:01:15.522 --> 00:01:18.195
Vous pouvez voir que nous pouvons 
continuer comme ça à l'infini,

00:01:18.195 --> 00:01:19.857
divisant la distance restante
quelle qu'elle soit

00:01:19.857 --> 00:01:21.772
en de plus en plus petits bouts,

00:01:21.772 --> 00:01:25.278
chacun prenant 
un laps de temps à traverser.

00:01:25.278 --> 00:01:27.958
Alors, combien de temps faut-il à Zénon
pour rejoindre le parc ?

00:01:27.958 --> 00:01:30.317
Eh bien, pour le savoir, 
vous devez additionner les temps

00:01:30.317 --> 00:01:32.284
de chacun des bouts du trajet.

00:01:32.284 --> 00:01:36.616
Le problème est qu'il y a une infinité 
de ces bouts de taille finie.

00:01:36.616 --> 00:01:39.750
Alors, la durée totale 
ne doit-elle pas être infinie ?

00:01:39.750 --> 00:01:42.548
Cet argument, d'ailleurs, 
est complètement général.

00:01:42.548 --> 00:01:45.092
Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque
à un autre endroit quelconque

00:01:45.092 --> 00:01:47.254
devrait prendre un laps de temps infini.

00:01:47.254 --> 00:01:51.006
En d'autres termes, il dit 
que tout mouvement est impossible.

00:01:51.006 --> 00:01:52.785
Cette conclusion 
est manifestement absurde,

00:01:52.785 --> 00:01:54.784
mais où est la faille dans la logique ?

00:01:54.784 --> 00:01:55.966
Pour résoudre le paradoxe,

00:01:55.966 --> 00:01:58.731
il est utile de transformer l'histoire 
en un problème de mathématiques.

00:01:58.731 --> 00:02:01.618
Supposons que la maison de Zénon 
est à 1,6 km du parc

00:02:01.618 --> 00:02:04.341
et que Zénon marche à 1,6 km/h.

00:02:04.341 --> 00:02:06.692
Le bon sens nous dit que 
le temps pour le trajet

00:02:06.692 --> 00:02:08.205
devrait être une heure.

00:02:08.205 --> 00:02:10.866
Mais, regardons les choses 
du point de vue de Zénon

00:02:10.866 --> 00:02:13.196
et divisons le trajet en bouts.

00:02:13.196 --> 00:02:15.656
La première moitié du trajet 
prend une demi-heure,

00:02:15.656 --> 00:02:17.782
la partie suivante prend 
un quart d'heure,

00:02:17.782 --> 00:02:20.064
la troisième partie prend 
un huitième d'une heure,

00:02:20.064 --> 00:02:20.969
et ainsi de suite.

00:02:20.969 --> 00:02:22.266
Si on récapitule tous ces temps,

00:02:22.266 --> 00:02:24.372
on obtient une série 
qui ressemble à ceci.

00:02:24.372 --> 00:02:25.624
« Maintenant », pourrait dire Zénon,

00:02:25.624 --> 00:02:27.964
« puisqu'il y a une infinité de termes

00:02:27.964 --> 00:02:29.621
du côté droit de l'équation,

00:02:29.621 --> 00:02:31.883
et chaque terme individuel est fini,

00:02:31.883 --> 00:02:34.518
la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? »

00:02:34.518 --> 00:02:36.670
C'est le problème avec l'argument de Zénon.

00:02:36.670 --> 00:02:38.855
Comme les mathématiciens 
s'en sont rendu compte depuis,

00:02:38.855 --> 00:02:42.618
il est possible d'ajouter à l'infini
de nombreux termes de taille finie

00:02:42.618 --> 00:02:44.814
et toujours obtenir une réponse finie.

00:02:44.814 --> 00:02:45.989
« Comment ? » demandez-vous.

00:02:45.989 --> 00:02:47.486
Eh bien, réfléchissons-y 
de la manière suivante.

00:02:47.486 --> 00:02:50.390
Commençons par un carré 
qui a une surface d'un mètre.

00:02:50.390 --> 00:02:52.528
Maintenant coupons le carré en deux,

00:02:52.528 --> 00:02:54.909
et puis coupez l'autre moitié en deux,

00:02:54.909 --> 00:02:56.172
et ainsi de suite.

00:02:56.172 --> 00:02:57.239
Alors que nous faisons ça,

00:02:57.239 --> 00:03:00.380
gardons une trace 
des surfaces des bouts.

00:03:00.380 --> 00:03:02.169
La première tranche crée deux parties,

00:03:02.169 --> 00:03:04.028
chacune d'une superficie de moitié.

00:03:04.028 --> 00:03:06.545
La tranche suivante divise 
une de ces moitiés en deux,

00:03:06.545 --> 00:03:07.796
et ainsi de suite.

00:03:07.796 --> 00:03:10.227
Mais, peu importe combien de fois 
nous coupons les boîtes,

00:03:10.227 --> 00:03:14.814
la superficie totale est toujours la somme 
des surfaces de tous les bouts.

00:03:14.814 --> 00:03:17.442
Maintenant vous pouvez voir pourquoi 
nous avons choisi cette façon particulière

00:03:17.442 --> 00:03:18.971
de couper le carré.

00:03:18.971 --> 00:03:20.888
Nous avons obtenu la même série infinie

00:03:20.888 --> 00:03:23.356
que pour le temps de trajet de Zénon.

00:03:23.356 --> 00:03:25.791
Quand nous construisons 
de plus en plus de bouts bleus,

00:03:25.791 --> 00:03:27.314
pour utiliser le jargon des mathématiques,

00:03:27.314 --> 00:03:30.742
quand nous prenons la limite où 
n tend vers l'infini,

00:03:30.742 --> 00:03:33.356
le carré entier est recouvert de bleu.

00:03:33.356 --> 00:03:35.427
Mais la surface du carré est une seule unité,

00:03:35.427 --> 00:03:38.700
donc la somme infinie doit être égale à un.

00:03:38.700 --> 00:03:39.754
Pour en revenir au trajet de Zénon,

00:03:39.754 --> 00:03:42.370
nous pouvons maintenant voir 
comment le paradoxe est résolu.

00:03:42.370 --> 00:03:45.713
Non seulement la somme de la série infinie 
aboutit à une réponse finie,

00:03:45.713 --> 00:03:47.745
mais cette réponse finie est la même que celle

00:03:47.745 --> 00:03:50.172
que le bon sens nous dit vraie.

00:03:50.172 --> 00:03:52.877
Le trajet de Zénon prend une heure.