Voici Zénon d'Élée,
un philosophe grec
célèbre pour avoir inventé un certain nombre de paradoxes,
des arguments qui semblent logiques,
mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire.
Depuis plus de 2 000 ans,
les énigmes hallucinantes de Zénon ont inspiré
mathématiciens et philosophes
à mieux comprendre la nature de l'infini.
L'un des plus connus des problèmes de Zénon
on appelle le paradoxe de la dichotomie,
ce qui signifie, « le paradoxe de couper en deux » en grec ancien.
Il dit à peu près ceci :
Après une longue journée assis à réfléchir,
Zénon décide de marcher de sa maison jusqu'au parc.
L'air frais clarifie son esprit
et l'aide à mieux réfléchir.
Pour accéder au parc,
il doit d'abord arriver à mi-chemin du parc.
Cette partie de son trajet
prend un certain laps de temps.
Une fois qu'il arrive à mi-chemin,
il a besoin de parcourir la moitié restante de la distance.
Encore une fois, cela prend un laps de temps.
Une fois qu'il y arrive, il a encore besoin de parcourir
la moitié de la distance qui reste,
qui prend un autre laps de temps.
Cela se produit encore et encore et encore.
Vous pouvez voir que nous pouvons continuer comme ça à l'infini,
divisant la distance restante quelle qu'elle soit
en de plus en plus petits bouts,
chacun prenant un laps de temps à traverser.
Alors, combien de temps faut-il à Zénon pour rejoindre le parc ?
Eh bien, pour le savoir, vous devez additionner les temps
de chacun des bouts du trajet.
Le problème est qu'il y a une infinité de ces bouts de taille finie.
Alors, la durée totale ne doit-elle pas être infinie ?
Cet argument, d'ailleurs, est complètement général.
Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque à un autre endroit quelconque
devrait prendre un laps de temps infini.
En d'autres termes, il dit que tout mouvement est impossible.
Cette conclusion est manifestement absurde,
mais où est la faille dans la logique ?
Pour résoudre le paradoxe,
il est utile de transformer l'histoire en un problème de mathématiques.
Supposons que la maison de Zénon est à 1,6 km du parc
et que Zénon marche à 1,6 km/h.
Le bon sens nous dit que le temps pour le trajet
devrait être une heure.
Mais, regardons les choses du point de vue de Zénon
et divisons le trajet en bouts.
La première moitié du trajet prend une demi-heure,
la partie suivante prend un quart d'heure,
la troisième partie prend un huitième d'une heure,
et ainsi de suite.
Si on récapitule tous ces temps,
on obtient une série qui ressemble à ceci.
« Maintenant », pourrait dire Zénon,
« puisqu'il y a une infinité de termes
du côté droit de l'équation,
et chaque terme individuel est fini,
la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? »
C'est le problème avec l'argument de Zénon.
Comme les mathématiciens s'en sont rendu compte depuis,
il est possible d'ajouter à l'infini de nombreux termes de taille finie
et toujours obtenir une réponse finie.
« Comment ? » demandez-vous.
Eh bien, réfléchissons-y de la manière suivante.
Commençons par un carré qui a une surface d'un mètre.
Maintenant coupons le carré en deux,
et puis coupez l'autre moitié en deux,
et ainsi de suite.
Alors que nous faisons ça,
gardons une trace des surfaces des bouts.
La première tranche crée deux parties,
chacune d'une superficie de moitié.
La tranche suivante divise une de ces moitiés en deux,
et ainsi de suite.
Mais, peu importe combien de fois nous coupons les boîtes,
la superficie totale est toujours la somme des surfaces de tous les bouts.
Maintenant vous pouvez voir pourquoi nous avons choisi cette façon particulière
de couper le carré.
Nous avons obtenu la même série infinie
que pour le temps de trajet de Zénon.
Quand nous construisons de plus en plus de bouts bleus,
pour utiliser le jargon des mathématiques,
quand nous prenons la limite où n tend vers l'infini,
le carré entier est recouvert de bleu.
Mais la surface du carré est une seule unité,
donc la somme infinie doit être égale à un.
Pour en revenir au trajet de Zénon,
nous pouvons maintenant voir comment le paradoxe est résolu.
Non seulement la somme de la série infinie aboutit à une réponse finie,
mais cette réponse finie est la même que celle
que le bon sens nous dit vraie.
Le trajet de Zénon prend une heure.