1
00:00:15,096 --> 00:00:16,871
Voici Zénon d'Élée,

2
00:00:16,871 --> 00:00:18,377
un philosophe grec

3
00:00:18,377 --> 00:00:21,042
célèbre pour avoir inventé 
un certain nombre de paradoxes,

4
00:00:21,042 --> 00:00:22,560
des arguments qui semblent logiques,

5
00:00:22,560 --> 00:00:25,779
mais dont la conclusion 
est absurde ou contradictoire.

6
00:00:25,779 --> 00:00:27,183
Depuis plus de 2 000 ans,

7
00:00:27,183 --> 00:00:29,694
les énigmes hallucinantes 
de Zénon ont inspiré

8
00:00:29,694 --> 00:00:31,310
mathématiciens et philosophes

9
00:00:31,310 --> 00:00:33,746
à mieux comprendre la nature de l'infini.

10
00:00:33,746 --> 00:00:35,525
L'un des plus connus 
des problèmes de Zénon

11
00:00:35,525 --> 00:00:37,741
on appelle le paradoxe de la dichotomie,

12
00:00:37,741 --> 00:00:41,527
ce qui signifie, « le paradoxe 
de couper en deux » en grec ancien.

13
00:00:41,527 --> 00:00:43,315
Il dit à peu près ceci :

14
00:00:43,315 --> 00:00:46,154
Après une longue journée 
assis à réfléchir,

15
00:00:46,154 --> 00:00:48,950
Zénon décide de marcher 
de sa maison jusqu'au parc.

16
00:00:48,950 --> 00:00:50,397
L'air frais clarifie son esprit

17
00:00:50,397 --> 00:00:51,920
et l'aide à mieux réfléchir.

18
00:00:51,920 --> 00:00:53,075
Pour accéder au parc,

19
00:00:53,075 --> 00:00:55,428
il doit d'abord arriver 
à mi-chemin du parc.

20
00:00:55,428 --> 00:00:56,601
Cette partie de son trajet

21
00:00:56,601 --> 00:00:58,443
prend un certain laps de temps.

22
00:00:58,443 --> 00:01:00,452
Une fois qu'il arrive à mi-chemin,

23
00:01:00,452 --> 00:01:02,841
il a besoin de parcourir 
la moitié restante de la distance.

24
00:01:02,841 --> 00:01:05,868
Encore une fois, 
cela prend un laps de temps.

25
00:01:05,868 --> 00:01:08,140
Une fois qu'il y arrive, 
il a encore besoin de parcourir

26
00:01:08,140 --> 00:01:09,882
la moitié de la distance qui reste,

27
00:01:09,882 --> 00:01:12,371
qui prend un autre laps de temps.

28
00:01:12,371 --> 00:01:15,522
Cela se produit encore et encore et encore.

29
00:01:15,522 --> 00:01:18,195
Vous pouvez voir que nous pouvons 
continuer comme ça à l'infini,

30
00:01:18,195 --> 00:01:19,857
divisant la distance restante
quelle qu'elle soit

31
00:01:19,857 --> 00:01:21,772
en de plus en plus petits bouts,

32
00:01:21,772 --> 00:01:25,278
chacun prenant 
un laps de temps à traverser.

33
00:01:25,278 --> 00:01:27,958
Alors, combien de temps faut-il à Zénon
pour rejoindre le parc ?

34
00:01:27,958 --> 00:01:30,317
Eh bien, pour le savoir, 
vous devez additionner les temps

35
00:01:30,317 --> 00:01:32,284
de chacun des bouts du trajet.

36
00:01:32,284 --> 00:01:36,616
Le problème est qu'il y a une infinité 
de ces bouts de taille finie.

37
00:01:36,616 --> 00:01:39,750
Alors, la durée totale 
ne doit-elle pas être infinie ?

38
00:01:39,750 --> 00:01:42,548
Cet argument, d'ailleurs, 
est complètement général.

39
00:01:42,548 --> 00:01:45,092
Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque
à un autre endroit quelconque

40
00:01:45,092 --> 00:01:47,254
devrait prendre un laps de temps infini.

41
00:01:47,254 --> 00:01:51,006
En d'autres termes, il dit 
que tout mouvement est impossible.

42
00:01:51,006 --> 00:01:52,785
Cette conclusion 
est manifestement absurde,

43
00:01:52,785 --> 00:01:54,784
mais où est la faille dans la logique ?

44
00:01:54,784 --> 00:01:55,966
Pour résoudre le paradoxe,

45
00:01:55,966 --> 00:01:58,731
il est utile de transformer l'histoire 
en un problème de mathématiques.

46
00:01:58,731 --> 00:02:01,618
Supposons que la maison de Zénon 
est à 1,6 km du parc

47
00:02:01,618 --> 00:02:04,341
et que Zénon marche à 1,6 km/h.

48
00:02:04,341 --> 00:02:06,692
Le bon sens nous dit que 
le temps pour le trajet

49
00:02:06,692 --> 00:02:08,205
devrait être une heure.

50
00:02:08,205 --> 00:02:10,867
Mais, regardons les choses 
du point de vue de Zénon

51
00:02:10,867 --> 00:02:13,196
et divisons le trajet en bouts.

52
00:02:13,196 --> 00:02:15,656
La première moitié du trajet 
prend une demi-heure,

53
00:02:15,656 --> 00:02:17,782
la partie suivante prend 
un quart d'heure,

54
00:02:17,782 --> 00:02:20,064
la troisième partie prend 
un huitième d'une heure,

55
00:02:20,064 --> 00:02:20,969
et ainsi de suite.

56
00:02:20,969 --> 00:02:22,266
Si on récapitule tous ces temps,

57
00:02:22,266 --> 00:02:24,372
on obtient une série 
qui ressemble à ceci.

58
00:02:24,372 --> 00:02:25,624
« Maintenant », pourrait dire Zénon,

59
00:02:25,624 --> 00:02:27,964
« puisqu'il y a une infinité de termes

60
00:02:27,964 --> 00:02:29,621
du côté droit de l'équation,

61
00:02:29,621 --> 00:02:31,883
et chaque terme individuel est fini,

62
00:02:31,883 --> 00:02:34,518
la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? »

63
00:02:34,518 --> 00:02:36,670
C'est le problème avec l'argument de Zénon.

64
00:02:36,670 --> 00:02:38,855
Comme les mathématiciens 
s'en sont rendu compte depuis,

65
00:02:38,855 --> 00:02:42,618
il est possible d'ajouter à l'infini
de nombreux termes de taille finie

66
00:02:42,618 --> 00:02:44,814
et toujours obtenir une réponse finie.

67
00:02:44,814 --> 00:02:45,989
« Comment ? » demandez-vous.

68
00:02:45,989 --> 00:02:47,486
Eh bien, réfléchissons-y 
de la manière suivante.

69
00:02:47,486 --> 00:02:50,390
Commençons par un carré 
qui a une surface d'un mètre.

70
00:02:50,390 --> 00:02:52,528
Maintenant coupons le carré en deux,

71
00:02:52,528 --> 00:02:54,909
et puis coupez l'autre moitié en deux,

72
00:02:54,909 --> 00:02:56,172
et ainsi de suite.

73
00:02:56,172 --> 00:02:57,239
Alors que nous faisons ça,

74
00:02:57,239 --> 00:03:00,380
gardons une trace 
des surfaces des bouts.

75
00:03:00,380 --> 00:03:02,169
La première tranche crée deux parties,

76
00:03:02,169 --> 00:03:04,028
chacune d'une superficie de moitié.

77
00:03:04,028 --> 00:03:06,545
La tranche suivante divise 
une de ces moitiés en deux,

78
00:03:06,545 --> 00:03:07,796
et ainsi de suite.

79
00:03:07,796 --> 00:03:10,227
Mais, peu importe combien de fois 
nous coupons les boîtes,

80
00:03:10,227 --> 00:03:14,814
la superficie totale est toujours la somme 
des surfaces de tous les bouts.

81
00:03:14,814 --> 00:03:17,442
Maintenant vous pouvez voir pourquoi 
nous avons choisi cette façon particulière

82
00:03:17,442 --> 00:03:18,971
de couper le carré.

83
00:03:18,971 --> 00:03:20,888
Nous avons obtenu la même série infinie

84
00:03:20,888 --> 00:03:23,356
que pour le temps de trajet de Zénon.

85
00:03:23,356 --> 00:03:25,791
Quand nous construisons 
de plus en plus de bouts bleus,

86
00:03:25,791 --> 00:03:27,314
pour utiliser le jargon des mathématiques,

87
00:03:27,314 --> 00:03:30,742
quand nous prenons la limite où 
n tend vers l'infini,

88
00:03:30,742 --> 00:03:33,356
le carré entier est recouvert de bleu.

89
00:03:33,356 --> 00:03:35,427
Mais la surface du carré est une seule unité,

90
00:03:35,427 --> 00:03:38,700
donc la somme infinie doit être égale à un.

91
00:03:38,700 --> 00:03:39,754
Pour en revenir au trajet de Zénon,

92
00:03:39,754 --> 00:03:42,370
nous pouvons maintenant voir 
comment le paradoxe est résolu.

93
00:03:42,370 --> 00:03:45,713
Non seulement la somme de la série infinie 
aboutit à une réponse finie,

94
00:03:45,713 --> 00:03:47,745
mais cette réponse finie est la même que celle

95
00:03:47,745 --> 00:03:50,172
que le bon sens nous dit vraie.

96
00:03:50,172 --> 00:03:52,877
Le trajet de Zénon prend une heure.