0:00:15.096,0:00:16.871
Voici Zénon d'Élée,

0:00:16.871,0:00:18.377
un philosophe grec

0:00:18.377,0:00:21.042
célèbre pour avoir inventé [br]un certain nombre de paradoxes,

0:00:21.042,0:00:22.560
des arguments qui semblent logiques,

0:00:22.560,0:00:25.779
mais dont la conclusion [br]est absurde ou contradictoire.

0:00:25.779,0:00:27.183
Depuis plus de 2 000 ans,

0:00:27.183,0:00:29.694
les énigmes hallucinantes [br]de Zénon ont inspiré

0:00:29.694,0:00:31.310
mathématiciens et philosophes

0:00:31.310,0:00:33.746
à mieux comprendre la nature de l'infini.

0:00:33.746,0:00:35.525
L'un des plus connus [br]des problèmes de Zénon

0:00:35.525,0:00:37.741
on appelle le paradoxe de la dichotomie,

0:00:37.741,0:00:41.527
ce qui signifie, « le paradoxe [br]de couper en deux » en grec ancien.

0:00:41.527,0:00:43.315
Il dit à peu près ceci :

0:00:43.315,0:00:46.154
Après une longue journée [br]assis à réfléchir,

0:00:46.154,0:00:48.950
Zénon décide de marcher [br]de sa maison jusqu'au parc.

0:00:48.950,0:00:50.397
L'air frais clarifie son esprit

0:00:50.397,0:00:51.920
et l'aide à mieux réfléchir.

0:00:51.920,0:00:53.075
Pour accéder au parc,

0:00:53.075,0:00:55.428
il doit d'abord arriver [br]à mi-chemin du parc.

0:00:55.428,0:00:56.601
Cette partie de son trajet

0:00:56.601,0:00:58.443
prend un certain laps de temps.

0:00:58.443,0:01:00.452
Une fois qu'il arrive à mi-chemin,

0:01:00.452,0:01:02.841
il a besoin de parcourir [br]la moitié restante de la distance.

0:01:02.841,0:01:05.868
Encore une fois, [br]cela prend un laps de temps.

0:01:05.868,0:01:08.140
Une fois qu'il y arrive, [br]il a encore besoin de parcourir

0:01:08.140,0:01:09.882
la moitié de la distance qui reste,

0:01:09.882,0:01:12.371
qui prend un autre laps de temps.

0:01:12.371,0:01:15.522
Cela se produit encore et encore et encore.

0:01:15.522,0:01:18.195
Vous pouvez voir que nous pouvons [br]continuer comme ça à l'infini,

0:01:18.195,0:01:19.857
divisant la distance restante[br]quelle qu'elle soit

0:01:19.857,0:01:21.772
en de plus en plus petits bouts,

0:01:21.772,0:01:25.278
chacun prenant [br]un laps de temps à traverser.

0:01:25.278,0:01:27.958
Alors, combien de temps faut-il à Zénon[br]pour rejoindre le parc ?

0:01:27.958,0:01:30.317
Eh bien, pour le savoir, [br]vous devez additionner les temps

0:01:30.317,0:01:32.284
de chacun des bouts du trajet.

0:01:32.284,0:01:36.616
Le problème est qu'il y a une infinité [br]de ces bouts de taille finie.

0:01:36.616,0:01:39.750
Alors, la durée totale [br]ne doit-elle pas être infinie ?

0:01:39.750,0:01:42.548
Cet argument, d'ailleurs, [br]est complètement général.

0:01:42.548,0:01:45.092
Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque[br]à un autre endroit quelconque

0:01:45.092,0:01:47.254
devrait prendre un laps de temps infini.

0:01:47.254,0:01:51.006
En d'autres termes, il dit [br]que tout mouvement est impossible.

0:01:51.006,0:01:52.785
Cette conclusion [br]est manifestement absurde,

0:01:52.785,0:01:54.784
mais où est la faille dans la logique ?

0:01:54.784,0:01:55.966
Pour résoudre le paradoxe,

0:01:55.966,0:01:58.731
il est utile de transformer l'histoire [br]en un problème de mathématiques.

0:01:58.731,0:02:01.618
Supposons que la maison de Zénon [br]est à 1,6 km du parc

0:02:01.618,0:02:04.341
et que Zénon marche à 1,6 km/h.

0:02:04.341,0:02:06.692
Le bon sens nous dit que [br]le temps pour le trajet

0:02:06.692,0:02:08.205
devrait être une heure.

0:02:08.205,0:02:10.867
Mais, regardons les choses [br]du point de vue de Zénon

0:02:10.867,0:02:13.196
et divisons le trajet en bouts.

0:02:13.196,0:02:15.656
La première moitié du trajet [br]prend une demi-heure,

0:02:15.656,0:02:17.782
la partie suivante prend [br]un quart d'heure,

0:02:17.782,0:02:20.064
la troisième partie prend [br]un huitième d'une heure,

0:02:20.064,0:02:20.969
et ainsi de suite.

0:02:20.969,0:02:22.266
Si on récapitule tous ces temps,

0:02:22.266,0:02:24.372
on obtient une série [br]qui ressemble à ceci.

0:02:24.372,0:02:25.624
« Maintenant », pourrait dire Zénon,

0:02:25.624,0:02:27.964
« puisqu'il y a une infinité de termes

0:02:27.964,0:02:29.621
du côté droit de l'équation,

0:02:29.621,0:02:31.883
et chaque terme individuel est fini,

0:02:31.883,0:02:34.518
la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? »

0:02:34.518,0:02:36.670
C'est le problème avec l'argument de Zénon.

0:02:36.670,0:02:38.855
Comme les mathématiciens [br]s'en sont rendu compte depuis,

0:02:38.855,0:02:42.618
il est possible d'ajouter à l'infini[br]de nombreux termes de taille finie

0:02:42.618,0:02:44.814
et toujours obtenir une réponse finie.

0:02:44.814,0:02:45.989
« Comment ? » demandez-vous.

0:02:45.989,0:02:47.486
Eh bien, réfléchissons-y [br]de la manière suivante.

0:02:47.486,0:02:50.390
Commençons par un carré [br]qui a une surface d'un mètre.

0:02:50.390,0:02:52.528
Maintenant coupons le carré en deux,

0:02:52.528,0:02:54.909
et puis coupez l'autre moitié en deux,

0:02:54.909,0:02:56.172
et ainsi de suite.

0:02:56.172,0:02:57.239
Alors que nous faisons ça,

0:02:57.239,0:03:00.380
gardons une trace [br]des surfaces des bouts.

0:03:00.380,0:03:02.169
La première tranche crée deux parties,

0:03:02.169,0:03:04.028
chacune d'une superficie de moitié.

0:03:04.028,0:03:06.545
La tranche suivante divise [br]une de ces moitiés en deux,

0:03:06.545,0:03:07.796
et ainsi de suite.

0:03:07.796,0:03:10.227
Mais, peu importe combien de fois [br]nous coupons les boîtes,

0:03:10.227,0:03:14.814
la superficie totale est toujours la somme [br]des surfaces de tous les bouts.

0:03:14.814,0:03:17.442
Maintenant vous pouvez voir pourquoi [br]nous avons choisi cette façon particulière

0:03:17.442,0:03:18.971
de couper le carré.

0:03:18.971,0:03:20.888
Nous avons obtenu la même série infinie

0:03:20.888,0:03:23.356
que pour le temps de trajet de Zénon.

0:03:23.356,0:03:25.791
Quand nous construisons [br]de plus en plus de bouts bleus,

0:03:25.791,0:03:27.314
pour utiliser le jargon des mathématiques,

0:03:27.314,0:03:30.742
quand nous prenons la limite où [br]n tend vers l'infini,

0:03:30.742,0:03:33.356
le carré entier est recouvert de bleu.

0:03:33.356,0:03:35.427
Mais la surface du carré est une seule unité,

0:03:35.427,0:03:38.700
donc la somme infinie doit être égale à un.

0:03:38.700,0:03:39.754
Pour en revenir au trajet de Zénon,

0:03:39.754,0:03:42.370
nous pouvons maintenant voir [br]comment le paradoxe est résolu.

0:03:42.370,0:03:45.713
Non seulement la somme de la série infinie [br]aboutit à une réponse finie,

0:03:45.713,0:03:47.745
mais cette réponse finie est la même que celle

0:03:47.745,0:03:50.172
que le bon sens nous dit vraie.

0:03:50.172,0:03:52.877
Le trajet de Zénon prend une heure.